Introdução à Reta

Resumo Completo

Quando você olha para a figura a seguir, o que te vem a mente?

A figura é uma reta!! Exatamente!! Se eu te disser que a direção da reta é a mesma do vetor v = ( 1 ,   2 ,   3 ) e que o ponto A = ( 1 ,   1   , 1 ) pertence a reta! Você sabe escrever a equação da reta?

Não sabe?! Não tem problema!! Vamos te ensinar direitinho!! Vamos por partes!!

Uma reta nada mais é que um vetor infinito! Como assim? Ela tem direção, mas seu tamanho é infinito e não possui um sentido determinado como o vetor. Vamos dar uma olhada na figura a seguir:

Uma reta possui infinitos pontos e possui uma direção. Os pontos A e P representam dois dos pontos que pertencem à reta r e o vetor v indica sua direção. Assim, para que uma reta fique bem definida, temos que ter que o vetor A P seja colinear ao vetor v . Para que sejam colineares temos que devem ser proporcionais, logo:

A P = t v P - A = t v

P = A + t v

Assim, com a expressão acima podemos determinar de qual reta estamos falando. Sendo, P um ponto genérico, A um ponto conhecido da reta e v o vetor diretor.

Assim, com os dados que nos foram dados da nossa primeira reta teríamos:

P x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + t ( 1 ,   2 ,   3 )

Essa equação que acabamos de escrever se chama Equação Vetorial da Reta. Então, o formato geral dela é:

Para tornar nosso estudo mais simples, sempre usaremos ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) como sendo as coordenadas de um ponto conhecido e ( a , b ,   c ) as coordenadas do vetor diretor. Blz?

Mas, só tem essa forma de representar uma reta? Nada disso!! Temos ainda a forma paramétrica, simétrica e a reduzida. Vamos falar de cada uma ;).

A forma paramétrica é na verdade uma forma diferente de escrever a equação vetorial. Se escrevermos coordenada a coordenada a expressão vetorial da reta:

P x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + t ( 1 ,   2 ,   3 )

teremos as seguintes equações:

x = 1 + 1 t y = 1 + 2 t z = 1 + 3 t

Então, essas são as equações paramétricas da nossa reta. Escrevendo de uma forma genérica, temos:

Bom, como encontrar a equação vetorial e as paramétricas eu já entendi. E aquela tal de simétrica? Ahh, sim, vamos falar nela!!

As equações simétricas da reta provêm da paramétrica. Mas, como? Se colocarmos o parâmetro t em evidência nas equações da nossa reta, teremos o seguinte:

t = x - 1 1 t = y - 1 2 t = z - 1 3

E se igualarmos todas as equações, teremos:

x - 1 1 = y - 1 2 = z - 1 3

Pronto, achamos as equações simétricas da nossa reta ;). Escrevendo ela genericamente, temos:

Nas Equações Simétricas vale ressaltar que como elas são uma divisão, elas só existirão se a b c 0 , pois não faz sentido uma divisão por zero.

Agora sim!! Vamos falar da útlima, mas não menos importante!! Equação Reduzida da Reta!

Bom, você, talvez, esteja pensando: A reduzida deve ser um desdobramento das Equações Simétricas!!! E é exatamente isso!

A equação reduzida consiste em escrevermos duas das coordenadas em função da terceira. Como assim? É tipo se eu escrever   y e   z em função de x . Como eu faria isso usando as simétricas? Bem, por meio das simétricas, podemos escrever:

x - x 1 a = y - y 1 b                 e           x - x 1 a = z - z 1 c

Colocando y em evidência na primeira e z na segunda temos:

y = b a x - x 1 + y 1

z = c a x - x 1 + z 1

Para a nossa reta, teríamos:

y = 2 x - 1 + 1

z = 3 x - 1 + 1

Como, as equações reduzidas podem variar dependendo da variável em que as demais ficarão em função, não temos uma única forma da equação reduzida. Por isso, o importante é saber como construí-las ;).

Importante: Em qualquer uma das 4 equações da reta as variáveis x ,   y ,   e z representam as coordenadas de um ponto geral pertencente à reta.

Não ficou 100% ainda? Bora praticar, que você vai ficar fera!!

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Exercício Resolvido #1

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 114-1.

Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) e tem a direção do vetor v = 3 i + 2 k .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto A , pelo qual a reta que queremos descobrir passa e também nos diz que a reta tem a direção do vetor v . Queremos saber quais as equações da reta que possui essas características. Equações? Como assim?

Calma!! Vamos devagar esquentando os motores!! haha..

Bom, uma reta pode ser representada por 4 equações diferentes: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Tudo isso vimos na teoria, lembra?

Como o enunciado não especifica quais ele quer, então vamos assumir que ele quer as três primeiras, pois em geral, quando ele quiser a reduzida ele deve falar em função de qual coordenada a mesma deve ser escrita.

Passo 2

Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!

Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:

P x ,   y ,   z = A x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t ( a ,   b ,   c )

Pela teoria, sabemos que ( a ,   b ,   c ) são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é v = ( 3 ,   0 ,   2 ) . Lembrando, que o vetor v foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:

i x

j y

k z

Sabemos também que o ponto A x 1 ,   y 1 ,   z 1 é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) . Como P x ,   y ,   z é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:

P x ,   y ,   z = A - 2 ,   3 ,   - 2 + t ( 3 ,   0 ,   2 )

Pronto!! Primeira equação feita!!!

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Essa equação, como vimos, é na verdade escrevermos a equação vetorial para cada uma das coordenadas, assim oh:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Então, temos tudo o precisamos, pois: A x 1 ,   y 1 ,   z 1 = A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) e a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   2 )

Nossa equação paramétrica fica assim:

x = - 2 + t 3 y = 3 + t 0 z = - 2 + t 2                       x = - 2 + 3 t y = 3 z = - 2 + 2 t  

Passo 4

Para terminar, falta escrevermos a equação simétrica!! Ufa, está quase terminando!!

Para escrever as equações simétricas devemos escrever as equações paramétricas de forma a isolar o " t " . Aí fica assim:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Mas, aqui temos que tomar um cuidado!! Se um dos valores a ,   b   ou c for igual a zero, não poderemos escrever a equação simétrica nessa variável. Olha!!! Nosso vetor a ,   b ,   c é ( 3 ,   0 ,   2 ) . Ops!!! O b = 0 , então só conseguiremos escrever na forma simétrica o a e o c , o b devemos deixar na forma paramétrica mesmo. Então, ficará assim:

x + 2 3 = z + 2 2         y = 3

Antes de finalizarmos, só um detalhe no sinal!! Na expressão da equação paramétrica temos:

x - x 1

E no final, a nossa ficou   x + 2 , o menos ficou mais, porque o x 1 é - 2 , assim menos com menos ficou + . O mesmo aconteceu com o z .

Prontinho, então, agora temos as três equações que queríamos descobrir ;).

Resposta

Equação Vetorial da reta:

P x ,   y ,   z = A - 2 ,   3 ,   - 2 + t ( 3 ,   0 ,   2 )

Equação Paramétrica da Reta:

    x = - 2 + 3 t y = 3 z = - 2 + 2 t

Equações Simétricas da Reta:

x + 2 3 = z + 2 2         y = 3

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 130-1.

Ache as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A = 1 ,   0 ,   1 e B = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos pede as equações da reta na forma vetorial, paramétrica e simétrica e simplesmente nos fala que a reta que queremos encontrar passa pelos pontos A e B . Mas, como vou escrever as equações se só tenho pontos??

Acho que já sei!!! Para determinar uma reta eu preciso do vetor diretor e de um ponto que a reta passa, certo? Corretíssimo!!!

Bem, eu tenho o ponto, mas falta o vetor diretor! O vetor diretor, nos dá a direção da reta! Perfeito!! E, como eu tenho dois pontos dessa reta, eu posso dizer que o meu vetor diretor é formado por esses dois pontos!!! Bingoo, é isso mesmo!! Como podemos ver na figura abaixo:

Passo 2

Então, vamos começar definindo o nosso vetor diretor que será A B ou B A . Tanto faz o sentido dos vetores, aqui não importa o sentido, mas a direção!! Escolhendo A B :

A B = B - A = 0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 = - 1 ,   1 ,   - 1

A B = ( a ,   b ,   c ) = - 1 ,   1 ,   - 1

Definido o vetor diretor, vamos escolher um dos pontos A ou B para colocarmos nas expressões. Como eu gosto da letra A , vou escolher essa para escrever as equações da reta. Você pode escolher o B que não estará errado.

Agora, para determinar as equações é o mesmo processo que fizemos no exercício anterior. Mão na massa!!

Temos, que a ,   b ,   c = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) e como escolhi o ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 ) . Assim, nossa Equação Vetorial da reta, fica:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 3

Agora, que já temos a equação vetorial escrever a paramétrica fica mais fácil ;). Como sabemos que o jeitão da paramétrica é:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Então, substituindo os valores, temos a Equação Paramétrica da reta:

x = 1 - t y = 0 + t z = 1 - t

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, só falta a equação simétrica!!

Que é escrita assim:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Nosso a ,   b ,   c = A B = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) e x 1 ,   y 1 ,   z 1 = A = ( 1 ,   0 ,   1 ) . Então, teremos:

x - 1 - 1 = y 1 = z - 1 - 1

Resposta

Equação Vetorial da Reta:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Equação Paramétrica da Reta:

x = 1 - t y = 0 + t z = 1 - t

Equação Simétrica da Reta:

x - 1 - 1 = y 1 = z - 1 - 1

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-5.

Dadas equações paramétricas

x = 1 + 3 λ y = 2 λ z = 6 - 5 λ             ( λ   R )

de uma reta r , achar uma equação vetorial de r .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O exercício nos dá as equações paramétricas da reta r e devemos determinar a equação vetorial. Então, o que teremos que fazer é retirar todas as informações possíveis das equações paramétricas para conseguirmos montar a equação vetorial.

Então, vamos começar!!!

Passo 2

Sabemos que as equações paramétricas são do seguinte formato:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Sabemos também que ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) são as coordenadas de um ponto que está na reta r e que ( a ,   b , c ) são as coordenadas do vetor diretor da reta r . Assim, temos que:

  ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) = ( 1,0 ,   6 )

a ,   b ,   c = ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Passo 3

Já temos o vetor diretor da reta r e um ponto dessa reta. E o que precisamos para escrever a equação vetorial?

Bom, a equação vetorial possui o seguinte jeitão:

P x ,   y ,   z =   ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) + t ( a ,   b ,   c )

Pelo que estou vendo, temos tudo o que precisamos!? Exatamente!!

Então, nossa equação vetorial será:

P x ,   y ,   z = ( 1 ,   0 ,   6 ) + t ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Substituindo o t   pelo λ do enunciado, teremos:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   6 + λ ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Resposta

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   6 + λ ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-6.

Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto A ( 4 ,   0 ,   - 3 ) e tem a direção do vetor v = 2 i + 4 j + 5 k .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema nos fornece os seguintes dados:

Dados:

A 4 ,   0 ,   - 3 = ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 )

v = 2 i + 4 j + 5 k = 2 ,   4 ,   5 = ( a ,   b ,   c )

Com esses dados devemos escrever as equações reduzidas da reta sendo que elas devem ser expressas em função de x . Equação reduzida? Ainda não vimos nenhum exercício com isso!!!

Relaxa Aíi!!!! Vamos relembrar a teoria e fazer o passo a passo para você entender tudinho!!! ;).

Passo 2

Vimos na teoria que as equações reduzidas da reta nada mais são do que pegar as equações simétricas da reta e escrever as equações em função da variável que queremos, no nosso caso o x . Escrevendo as quações simétricas temos que:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Podemos isolar também da seguinte forma:

x - x 1 a = y - y 1 b               e         x - x 1 a = z - z 1 c

Escrevendo y em função de x e z   em função de x temos:

y = b a x - x 1 + y 1

z = c a x - x 1 + z 1

Passo 3

Pronto, já temos as expressões das equações reduzidas da reta, basta substituirmos os valores de a ,   b ,   c = ( 2 ,   4 ,   5 ) e x 1 ,   y 1 ,   z 1 = ( 4 ,   0 ,   - 3 ) .

Substituindo teremos:

y = 4 2 x - 4 + 0 y = 2 ( x - 4 )

y = 2 x - 8

z = 5 2 x - 4 + ( - 3 ) z = 5 2 x - 4 - 3

z = 5 2 x - 13

Resposta

y = 2 x - 8

z = 5 2 x - 13

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 132-1.

Verificar se os pontos P 1 ( 5 ,   - 5 ,   6 ) e P 2 ( 4 ,   - 1 ,   12 ) pertencem à reta

r : x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá a equação simétrica da reta r . Com essa equação devemos determinar se os pontos P 1 e P 2 pertencem à reta. Mas, como eu verifico isso??

Não precisa ficar estressado!!! Você vai ficar fera nisso! ;)

Vimos na teoria que as incógnitas x ,   y   e   z das equações da reta, representam as coordenadas de um ponto genérico da reta. Então, se queremos verificar se um ponto pertence ou não à reta, basta substituirmos x ,   y e z pelos valores das coordenadas do ponto que queremos verificar se pertence ou não à reta.

Passo 2

Já que é só substituir e ver a validade da equação, então vamos começar pelo ponto P 1 ( 5 ,   - 5 ,   6 ) :

x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2   5 - 3 - 1 = - 5 + 1 2 = 6 - 2 - 2

2 - 1 = - 4 2 = 4 - 2     - 2 = - 2 = - 2

Como todas as igualdades dão o mesmo valor, então, siginifica que o ponto P 1 pertence à reta r .

Passo 3

E o ponto P 2 ( 4 ,   - 1 ,   12 ) pertence? Vamos descobrir agora!!!

x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2   4 - 3 - 1 = - 1 + 1 2 = 12 - 2 - 2

1 - 1 = 0 2 = 10 - 2     - 1 0 - 5

Os valores são diferentes, assim o ponto P 2 não pertence à reta r .

Resposta

P 1 pertence à reta r .

P 2 não pertence à reta r .

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-2.

Determinar o ponto da reta

r :   x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2 t

Que tem abscissa 4.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos as equações paramétricas da reta r que o enunciado nos dá. E queremos descobrir o ponto da reta que tenha a coordenada x = 4 (abscissa).

Como vimos, na questão anterior as incógnitas x ,   y e z são as coordenadas de um ponto genérico da reta r . Então, se temos que x deve valer 4 , só precisamos substituir na primeira expressão o x = 4 para descobrir o valor de t e assim conseguiremos descobrir o valor das demais coordenadas. Blz?

Passo 2

Substituindo x = 4 , na expressão:

x = 2 - t   4 = 2 - t

t = - 2

Substituindo o valor de t = - 2 , nas outras expressões temos:

y = 3 + t y = 3 - 2

y = 1

z = 1 - 2 t z = 1 - 2 - 2

z = 5

Então, o ponto é:

P = ( 4 ,   1 ,   5 )

Resposta

P = ( 4 ,   1 ,   5 )

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-10.

Qual deve ser o valor de m para que os pontos A 3 ,   m ,   1 ,   B 1 ,   1 ,   - 1     e   C ( - 2 ,   10 ,   - 4 ) pertençam à mesma reta?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema nos dá os pontos A , B e C e devemos determinar o valor de m para que os pontos pertençam à mesma reta.

FErrouuu!!! Nunca vi isso antes!!! Não sei nem por onde começar!!

Calma!!! Não se desespere!! Realmente você ainda não viu nada disso nesse tópico, por isso vamos te dar algumas dicas!! ;)

Passo 2

A dica que você precisa para resolver esse exercício é a seguinte:

A B e A C :

A B = B - A = 1 ,   1 ,   - 1 - 3 ,   m ,   1   A B = ( - 2 ,   1 - m ,   - 2 )

A C = C - A = - 2 ,   10 ,   - 4 - 3 ,   m ,   1   A C = ( - 5 ,   10 - m ,   - 5 )

Passo 3

Tendo os vetores A B   e   A C , podemos escrever a relação A B = n A C , que fica assim:

- 2 ,   1 - m ,   - 2 = n ( - 5 ,   10 - m ,   - 5 )

Agora, podemos igualar coordenada a coordenada:

x   - 2 = - 5 n

y 1 - m = n 10 - m

z   - 2 = - 5 n

Pela primeira ou pela última expressão conseguimos descobrir o valor de n que é:

n = 2 5

Sabendo o valor de n basta substituirmos na segunda equação para descobrirmos m (que é o que queremos ;)).

1 - m = 2 5 10 - m 5 - 5 m = 20 - 2 m

3 m = - 15 m = - 5

m = - 5

Resposta

m = - 5

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 136-3.

Obtenha equações paramétricas para os três eixos coordenados.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado quer que apresentemos as equações paramétricas de cada um dos eixos coordenados, ou seja, as equações paramétricas do eixo   x , do eixo y e do eixo z . Como vimos na teoria, para determinar uma reta, ou um eixo, que não deixa de ser uma reta, precisamos de um ponto pertencente à esta reta e seu vetor diretor. Para o caso dos eixos coordenados vamos analisar a seguinte figura:

Passo 2

Vamos começar analisando o eixo x .

Pela figura vemos que temos o ponto O que é a origem, então O = ( 0 ,   0 ,   0 ) e escolhemos o ponto X = ( 1 ,   0 ,   0 ) , e determinamos também o vetor O X . Aqui, poderíamos ter escolhido qualquer outros pontos que pertencem ao eixo x , o fundamental é que o ponto escolhido esteja no eixo x . Assim, já temos o ponto e o vetor diretor do eixo   x , logo podemos determinar suas equações paramétricas, que serão determinados por:

X = 1 ,   0 ,   0 = x 1 ,   y 1 ,   z 1

O X = X - O = 1 ,   0 ,   0 - 0 ,   0 ,   0 = 1 ,   0 ,   0   O X = 1 ,   0 ,   0 = a ,   b ,   c

Então, as equações paramétricas do eixo x ficam:

x = 1 + 1 t y = 0 + 0 t z = 0 + 0 t x = 1 + t y = 0 z = 0             ( t R )

Passo 3

Agora, analisando o eixo y . Pela figura determinamos o ponto Y = ( 0 ,   1 ,   0 ) e o vetor diretor do eixo y , O Y = Y - O = ( 0 ,   1 ,   0 ) . Podemos escrever as equações paramétricas do eixo y :

x = 0 + 0 t y = 1 + 1 t z = 0 + 0 t x = 0 y = 1 + t z = 0       ( t R )

Lembrando, que poderíamos ter escolhido outro ponto, desde que o mesmo esteja no eixo y . O mesmo podemos dizer do vetor diretor, poderíamos escolher outro, desde que os pontos que dão a direção do vetor, ambos, pertençam ao eixo y .

Passo 4

Para finalizar, o eixo z .

Novamente, pela figura temos o ponto Z = ( 0 ,   0 ,   1 ) e o vetor O Z = Z - O = ( 0 ,   0 ,   1 ) . Com esses dados conseguimos determinar as equações paramétricas do eixo z .

x = 0 + 0 t y = 0 + 0 t z = 1 + 1 t x = 0 y = 0 z = 1 + t           ( t R )

Resposta

Equações paramétricas do eixo x :

x = 1 + t y = 0 z = 0           ( t R )

Equações paramétricas do eixo y :

x = 0 y = 1 + t z = 0             ( t R )

Equações paramétricas do eixo z :

x = 0 y = 0 z = 1 + t             ( t R )

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 186-54.

Determinar o ponto de interseção das retas

r :   3 x + y + 6 z + 13 = 0 9 x + 3 y + 5 z = 0       e       s :   x = 1 4 x + y - z - 9 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas r e s e pede para determinarmos a interseção dessas duas retas. Como são retas, precisamos determinar o ponto em que as duas se cruzam.

Pela figura devemos determinar o ponto P . O ponto onde as retas se cruzam é o único ponto em que as duas retas tem em comum certo? Isso aí!!

Então, basta igualarmos as expressões das retas, a fim de achar as componentes de P ( x ,   y ,   z ) .

Passo 2

Vamos começar então!!! Primeiro vamos analisar as equações das retas dadas:

r :   3 x + y + 6 z + 13 = 0 9 x + 3 y + 5 z = 0       e       s :   x = 1 4 x + y - z - 9 = 0

Aqui não precisamos nos preocupar em tentar descobrir em qual formato está cada equação, porque se você ver as equações da reta r não estão em nenhum dos formatos de equações que vimos, masss, isso não importa ;). Pelas expressões da reta s sabemos que x deve valer 1 . Pronto! Já temos um ponto de partida!

x = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir x = 1 em todas as expressões tanto de r como de s .

r :   3 + y + 6 z + 13 = 0 9 + 3 y + 5 z = 0       e     s :   x = 1 4 + y - z - 9 = 0  

Temos o seguinte sistema:

y + 6 z = - 16             ( 1 ) 3 y + 5 z = - 9             ( 2 ) y - z = 5                             ( 3 )

Com essas três equações devemos achar o valor de y e z . Subtraindo a equação ( 3 ) da equação ( 1 ) , temos:

7 z = - 21 z = - 3

Substituindo   z = - 3 , na equação ( 3 ) , temos:

y - z = 5 y + 3 = 5 y = 2

Como, z = - 3 e y = 2 devem ser valores válidos em todas as expressões 1 ,   2 e 3 . Então, basta vermos se esses valores são satisfeitos pela equação ( 2 ) .

3 y + 5 z = - 9

3 2 + 5 . ( - 3 ) = - 9

Portanto, satisfaz, assim as retas se interceptam no ponto     P = 1 ,   2 ,   - 3 .

Importante: Se os valores encontrados não satisfizessem todas as equações, então, significaria, que as retas não possuem um ponto em comum, ou sejam, não se interceptam em nenhum lugar.

Resposta

P = 1 ,   2 ,   - 3

Exercício Resolvido #10

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 134-11. Questão Modificada: A questão original possui 6 itens, foram escolhidos os 3 primeiros.

Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:

  1. x + 1 3 = z - 3 4 y = 1
  2. x = 2 y z = 3
  3. x = 2 t y = - 1 z = 2 - t
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Agora o desafio é um pouco diferente haha!!! Já que é nosso último exercício, vamos fazer uma revisão sobre todos os tipos de equações que podemos representar uma reta e ver se você entendeu direitinho o que é cada componente dessas equações.

Em cada um dos item o exercício nos dá a equação de uma reta e com essa equação devemos determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Blz? Então, vamos nessa!!!

Passo 2

Letra a

Temos as seguintes equações:

x + 1 3 = z - 3 4 y = 1

A primeira expressão tem a forma da equação simétrica da reta. Mas, e a segunda expressão y = 1 está em qual formato? Bom, na verdade a segunda expressão só está desse jeito, porque o valor de b é zero, e como vimos em um exercício anterior, só podemos escrever na forma simétrica quando os valores de a ,   b e   c são diferentes de ZERO. Então, é como se reescrevéssemos, da seguintes forma:

x + 1 3 = z - 3 4 = y - 1 0

Claro, que escrevemos assim, só para ficar mais fácil de acharmos o vetor diretor ( a ,   b ,   c ) e o ponto ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) , mas essa expressão não existe, pois não faz sentido a divisão por ZERO ;).

Então, comparando as seguintes formas:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c               e         x + 1 3 = z - 3 4 = y - 1 0

Temos, que:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = - 1 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   4 )

Esse item terminamos!!

Passo 3

Letra b

x = 2 y z = 3

Temos duas formas de resolver!!

Primeira maneira:

A primeira equação está no formato da equação reduzida. E, a segunda também. Detalhe, que nessas equações reduzidas x e z são escritos em função de y . Como já vimos, as variáveis x ,   y   e z são as coordenadas de um ponto que pertence à reta, então temos que:

P = ( 2 y ,   y ,   3 )

Assim, se dermos valores para y , acharemos pontos pertencentes à reta:

y = 0 A = 0 ,   0 ,   3

y = 1 B = ( 2 ,   1 ,   3 )

Com esses dois pontos conseguimos determinar o vetor diretor que pode ser A B ou B A . Escolhendo A B :

A B = B - A = 2 ,   1 ,   3 - 0 ,   0 ,   3 = ( 2 ,   1 ,   0 )

Assim, já temos dois pontos pertencentes à reta dada pelas equações reduzidas e o vetor diretor:

A B = ( 2 ,   1 ,   0 )

A = 0 ,   0 ,   3

B = ( 1 ,   2 ,   3 )

Segunda maneira:

Vamos começar da equação simétrica para então chegarmos na equação reduzida, onde devemos deixar x e z em função de y .

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

x - x 1 a = y - y 1 b       e         z - z 1 c =   y - y 1 b    

Isolando x , temos:

x = a b y - y 1 + x 1           ( 1 )

Isolando z , temos:

z = c b y - y 1 + z 1             ( 2 )

Comparando as expressões ( 1 ) e ( 2 ) com as equações dadas pelo enunciado, chegamos que: a b = 2

- 2 y 1 + x 1 = 0

c b = 0 c = 0

- c b y 1 + z 1 = 3 z 1 = 3

Com a b = 2 , podemos dizer que a = 2 e b = 1 , pois o importante é respeitar a proporção. Da segunda expressão - 2 y 1 + x 1 = 0 , podemos escolher x 1 = 2 e y 1 = 1 , que satisaz também a expressão, poderíamos, escolher outros valores, desde que a expressão seja satisfeita, não tem problema.

Assim, temos tudo o que precisamos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 2 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   1 ,   0 )

Passo 4

Letra c

x = 2 t y = - 1 z = 2 - t

As equações dadas são as equações paramétricas da reta, vamos só escrevê-la de uma forma diferente:

x = 2 t y = - 1 z = 2 - t   x = 0 + 2 t y = - 1 + 0 t z = 2 - 1 t

Comparando o formato geral, com o dado, temos:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c             e     x = 0 + 2 t y = - 1 + 0 t z = 2 - 1 t  

x 1 = 0 ,   y 1 = - 1 ,   z 1 = 2 ,   a = 2 ,   b = 0   e   c = - 1

Assim, temos tudo o que precisamos:

x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 0 ,   - 1 ,   2     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   0 ,   - 1 )

Resposta

  1. x 1 ,   y 1 ,   z 1 = - 1 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   4 )
  2. x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 2 ,   1 ,   3     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   1 ,   0 )
  3. x 1 ,   y 1 ,   z 1 = 0 ,   - 1 ,   2     e   a ,   b ,   c = ( 2 ,   0 ,   - 1 )

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