Introdução à Reta

Teoria Completa

O que é uma reta?

No dia a dia a gente fala que uma reta é qualquer coisa sem curva, contínua, certo? Tipo essa estrada:

Agora imagina uma estrada dessa infinita disposta no plano (em 2D) ou no espaço (em 3D). Opa, como assim?

Quando a gente tem um segmento reto e infinito, vamos chamar ele de reta, então uma reta nada mais é que um vetor infinito! Como assim? Ela tem direção, mas seu tamanho é infinito e não possui um sentido determinado como o vetor, tipo assim ó:

Uma reta possui infinitos pontos e possui uma direção. Os pontos A e P representam dois dos pontos que pertencem à reta r e o vetor v → indica sua direção.

Bora entender melhor isso aí :P

Retas

Se tivermos uma expressão em três dimensões (ou seja, com três coordenadas):

r : ( x ,   y ,   z ) = 1 ,   2 ,   4 + λ . ( 2 ,   1 ,   3 )

Sendo λ qualquer número inteiro.

Vamos tentar colocar esse lugar geométrico em um gráfico pra 3 valores diferentes de λ , de acordo com a tabela abaixo (a gente só substitui o valor de λ , multiplica por ( 2 ,   1 ,   3 ) e faz a soma beleza?):

Colocando os pontos P , Q e S no espaço, a gente tem isso aqui:

Lembra daquela brincadeira de ligar os pontos? Vamos ligar esses 3 pontos que encontrarmos haha, vamos ter esse segmento preto:

Ta mas e aí que isso?

Esse segmento é a reta r , da equação r :   X x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   4 + λ . ( 2 ,   1 ,   3 ) .

Deixa eu te explicar melhor, existem INFINITOS λ , cada um vai nos dar um pontinho do espaço, e ligando todos os pontos temos o segmento que chamamos de reta, que no caso vai ser infinita também, ali na figura temos apenas uma amostra :P.

O vetor que determina a direção dessa reta pode ser P Q → , Q S → , P S → , enfim, qualquer vetor que ligue dois pontos dessa reta serve!! Afinal todos eles são paralelos então vão dar a mesma direção pra reta ;)

Equação vetorial de uma reta

A equação que vimos no exemplo ( r : x ,   y ,   z = X = 1 ,   2 ,   4 + λ . ( 2 ,   1 ,   3 ) ) é chamada de equação vetorial da reta.

Pra entender melhor, vamos voltar naquela imagem do comecinho:

Para que uma reta fique bem definida, o vetor A P → = P - A deve ser colinear ao vetor v → . Para que sejam colineares eles devem ser múltiplos, logo:

A P → = t v →

P - A = t v →

P = A + t v →

Assim, com a expressão acima podemos determinar de qual reta estamos falando. Sendo, P um ponto genérico ( x ,   y ,   z ) , A um ponto conhecido da reta e v → o vetor diretor.

Assim, na reta r podemos ter certeza que ela passa pelo ponto A = ( 1 ,   2 ,   4 ) (isso acontece quando λ = 0 ) e que seu vetor diretor é ( 2 ,   1 ,   3 ) (ou qualquer múltiplo dele).

LEMBRANDO: na nossa equação usamos λ como parâmetro, mas podemos usar t , s , qualquer letra (fora x , y e z , pra não confundirmos com as coordenadas).

O formato geral da equação vetorial é:

Para tornar nosso estudo mais simples, sempre usaremos ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) como sendo as coordenadas de um ponto conhecido e ( a , b ,   c ) as coordenadas do vetor diretor. Blz?

Mas, só tem essa forma de representar uma reta? Nada disso!! Temos ainda a forma paramétrica, simétrica e a reduzida. Vamos falar de cada uma ;).

Equação paramétrica da reta

A forma paramétrica é na verdade uma forma diferente de escrever a equação vetorial. Se escrevermos coordenada a coordenada a expressão vetorial da reta:

X x ,   y ,   z = 1 ,   2 ,   4 + λ ( 2 ,   1 ,   3 )

teremos as seguintes equações:

x = 1 + 2 λ y = 2 + 1 λ z = 4 + 3 λ

Então, essas são as equações paramétricas da nossa reta. Escrevendo de uma forma genérica, temos:

Equação simétrica da reta

As equações simétricas da reta provêm da paramétrica. Mas, como? Se isolarmos o parâmetro λ nas equações da nossa reta, teremos o seguinte:

λ = x - 1 2 λ = y - 2 1 λ = z - 4 3

E se igualarmos todas as equações, teremos:

x - 1 2 = y - 2 1 = z - 4 3

Pronto, achamos as equações simétricas da nossa reta ;). Escrevendo ela genericamente, temos:

Nas Equações Simétricas vale ressaltar que como elas são uma divisão, elas só existirão se a ,   b ,   c ≠ 0 , pois não faz sentido uma divisão por zero.

Equação reduzida da reta

Bom, você, talvez, esteja pensando: A reduzida deve ser um desdobramento das Equações Simétricas!!! E é exatamente isso!

A equação reduzida consiste em escrevermos duas das coordenadas em função da terceira. Como assim? É tipo se eu escrever   y e   z em função de x . Como eu faria isso usando as simétricas? Bem, por meio das simétricas, podemos escrever:

x - x 1 a = y - y 1 b                 e           x - x 1 a = z - z 1 c

Isolando y na primeira e z na segunda temos:

y = b a x - x 1 + y 1

z = c a x - x 1 + z 1

Para a nossa reta, teríamos:

y = 1 2 x - 1 + 2

z = 3 2 x - 1 + 4

Importante: Em qualquer uma das 4 equações da reta as variáveis x ,   y ,   e z representam as coordenadas de um ponto geral pertencente à reta.

Não ficou 100% ainda? Bora praticar, que você vai ficar fera!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 114-1.

Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) e tem a direção do vetor v → = 3 i → + 2 k → .

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Passo 1

O enunciado nos dá o ponto A , pelo qual a reta que queremos descobrir passa e também nos diz que a reta tem a direção do vetor v → . Queremos saber quais as equações da reta que possui essas características. Equações? Como assim?

Calma!! Vamos devagar esquentando os motores!! haha..

Bom, uma reta pode ser representada por 4 equações diferentes: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida. Tudo isso vimos na teoria, lembra?

Como o enunciado não especifica quais ele quer, então vamos assumir que ele quer as três primeiras, pois em geral, quando ele quiser a reduzida ele deve falar em função de qual coordenada a mesma deve ser escrita.

Passo 2

Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!

Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:

P x ,   y ,   z = A x 1 ,   y 1 ,   z 1 + t ( a ,   b ,   c )

Pela teoria, sabemos que ( a ,   b ,   c ) são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é v → = ( 3 ,   0 ,   2 ) . Lembrando, que o vetor v → foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:

i → → x

j → → y

k → → z

Sabemos também que o ponto A x 1 ,   y 1 ,   z 1 é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) . Como P x ,   y ,   z é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:

P x ,   y ,   z = A - 2 ,   3 ,   - 2 + t ( 3 ,   0 ,   2 )

Pronto!! Primeira equação feita!!!

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta. Essa equação, como vimos, é na verdade escrevermos a equação vetorial para cada uma das coordenadas, assim oh:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Então, temos tudo o precisamos, pois: A x 1 ,   y 1 ,   z 1 = A ( - 2 ,   3 ,   - 2 ) e a ,   b ,   c = ( 3 ,   0 ,   2 )

Nossa equação paramétrica fica assim:

x = - 2 + t 3 y = 3 + t 0 z = - 2 + t 2         →               x = - 2 + 3 t y = 3 z = - 2 + 2 t  

Passo 4

Para terminar, falta escrevermos a equação simétrica!! Ufa, está quase terminando!!

Para escrever as equações simétricas devemos escrever as equações paramétricas de forma a isolar o " t " . Aí fica assim:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Mas, aqui temos que tomar um cuidado!! Se um dos valores a ,   b   ou c for igual a zero, não poderemos escrever a equação simétrica nessa variável. Olha!!! Nosso vetor a ,   b ,   c é ( 3 ,   0 ,   2 ) . Ops!!! O b = 0 , então só conseguiremos escrever na forma simétrica o a e o c , o b devemos deixar na forma paramétrica mesmo. Então, ficará assim:

x + 2 3 = z + 2 2         y = 3

Antes de finalizarmos, só um detalhe no sinal!! Na expressão da equação paramétrica temos:

x - x 1

E no final, a nossa ficou   x + 2 , o menos ficou mais, porque o x 1 é - 2 , assim menos com menos ficou + . O mesmo aconteceu com o z .

Prontinho, então, agora temos as três equações que queríamos descobrir ;).

Resposta

Equação Vetorial da reta:

P x ,   y ,   z = A - 2 ,   3 ,   - 2 + t ( 3 ,   0 ,   2 )

Equação Paramétrica da Reta:

    x = - 2 + 3 t y = 3 z = - 2 + 2 t

Equações Simétricas da Reta:

x + 2 3 = z + 2 2         y = 3

Exercício Resolvido #2

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 130-1.

Ache as equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica da reta que passa pelos pontos A = 1 ,   0 ,   1 e B = ( 0 ,   1 ,   0 ) .

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Passo 1

O enunciado nos pede as equações da reta na forma vetorial, paramétrica e simétrica e simplesmente nos fala que a reta que queremos encontrar passa pelos pontos A e B . Mas, como vou escrever as equações se só tenho pontos??

Acho que já sei!!! Para determinar uma reta eu preciso do vetor diretor e de um ponto que a reta passa, certo? Corretíssimo!!!

Bem, eu tenho o ponto, mas falta o vetor diretor! O vetor diretor, nos dá a direção da reta! Perfeito!! E, como eu tenho dois pontos dessa reta, eu posso dizer que o meu vetor diretor é formado por esses dois pontos!!! Bingoo, é isso mesmo!! Como podemos ver na figura abaixo:

Passo 2

Então, vamos começar definindo o nosso vetor diretor que será A B → ou B A → . Tanto faz o sentido dos vetores, aqui não importa o sentido, mas a direção!! Escolhendo A B → :

A B → = B - A = 0 ,   1 ,   0 - 1 ,   0 ,   1 = - 1 ,   1 ,   - 1

A B → = ( a ,   b ,   c ) = - 1 ,   1 ,   - 1

Definido o vetor diretor, vamos escolher um dos pontos A ou B para colocarmos nas expressões. Como eu gosto da letra A , vou escolher essa para escrever as equações da reta. Você pode escolher o B que não estará errado.

Agora, para determinar as equações é o mesmo processo que fizemos no exercício anterior. Mão na massa!!

Temos, que a ,   b ,   c = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) e como escolhi o ponto A = ( 1 ,   0 ,   1 ) . Assim, nossa Equação Vetorial da reta, fica:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Passo 3

Agora, que já temos a equação vetorial escrever a paramétrica fica mais fácil ;). Como sabemos que o jeitão da paramétrica é:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Então, substituindo os valores, temos a Equação Paramétrica da reta:

x = 1 - t y = 0 + t z = 1 - t

Passo 4

Para fechar com chave de ouro, só falta a equação simétrica!!

Que é escrita assim:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Nosso a ,   b ,   c = A B → = ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) e x 1 ,   y 1 ,   z 1 = A = ( 1 ,   0 ,   1 ) . Então, teremos:

x - 1 - 1 = y 1 = z - 1 - 1

Resposta

Equação Vetorial da Reta:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 + t ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Equação Paramétrica da Reta:

x = 1 - t y = 0 + t z = 1 - t

Equação Simétrica da Reta:

x - 1 - 1 = y 1 = z - 1 - 1

Exercício Resolvido #3

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-5.

Dadas equações paramétricas

x = 1 + 3 λ y = 2 λ z = 6 - 5 λ             ( λ   ∈ R )

de uma reta r , achar uma equação vetorial de r .

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Passo 1

O exercício nos dá as equações paramétricas da reta r e devemos determinar a equação vetorial. Então, o que teremos que fazer é retirar todas as informações possíveis das equações paramétricas para conseguirmos montar a equação vetorial.

Então, vamos começar!!!

Passo 2

Sabemos que as equações paramétricas são do seguinte formato:

x = x 1 + t a y = y 1 + t b z = z 1 + t c

Sabemos também que ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) são as coordenadas de um ponto que está na reta r e que ( a ,   b , c ) são as coordenadas do vetor diretor da reta r . Assim, temos que:

  ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) = ( 1,0 ,   6 )

a ,   b ,   c = ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Passo 3

Já temos o vetor diretor da reta r e um ponto dessa reta. E o que precisamos para escrever a equação vetorial?

Bom, a equação vetorial possui o seguinte jeitão:

P x ,   y ,   z =   ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 ) + t ( a ,   b ,   c )

Pelo que estou vendo, temos tudo o que precisamos!? Exatamente!!

Então, nossa equação vetorial será:

P x ,   y ,   z = ( 1 ,   0 ,   6 ) + t ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Substituindo o t   pelo λ do enunciado, teremos:

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   6 + λ ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Resposta

P x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   6 + λ ( 3 ,   2 ,   - 5 )

Exercício Resolvido #4

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-6.

Determinar as equações reduzidas, com variável independente x , da reta que passa pelo ponto A ( 4 ,   0 ,   - 3 ) e tem a direção do vetor v → = 2 i → + 4 j → + 5 k → .

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Passo 1

O problema nos fornece os seguintes dados:

Dados:

A 4 ,   0 ,   - 3 = ( x 1 ,   y 1 ,   z 1 )

v → = 2 i → + 4 j → + 5 k → = 2 ,   4 ,   5 = ( a ,   b ,   c )

Com esses dados devemos escrever as equações reduzidas da reta sendo que elas devem ser expressas em função de x . Equação reduzida? Ainda não vimos nenhum exercício com isso!!!

Relaxa Aíi!!!! Vamos relembrar a teoria e fazer o passo a passo para você entender tudinho!!! ;).

Passo 2

Vimos na teoria que as equações reduzidas da reta nada mais são do que pegar as equações simétricas da reta e escrever as equações em função da variável que queremos, no nosso caso o x . Escrevendo as quações simétricas temos que:

x - x 1 a = y - y 1 b = z - z 1 c

Podemos isolar também da seguinte forma:

x - x 1 a = y - y 1 b               e         x - x 1 a = z - z 1 c

Escrevendo y em função de x e z   em função de x temos:

y = b a x - x 1 + y 1

z = c a x - x 1 + z 1

Passo 3

Pronto, já temos as expressões das equações reduzidas da reta, basta substituirmos os valores de a ,   b ,   c = ( 2 ,   4 ,   5 ) e x 1 ,   y 1 ,   z 1 = ( 4 ,   0 ,   - 3 ) .

Substituindo teremos:

y = 4 2 x - 4 + 0 → y = 2 ( x - 4 )

y = 2 x - 8

z = 5 2 x - 4 + ( - 3 ) → z = 5 2 x - 4 - 3

z = 5 2 x - 13

Resposta

y = 2 x - 8

z = 5 2 x - 13

Exercício Resolvido #5

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 132-1.

Verificar se os pontos P 1 ( 5 ,   - 5 ,   6 ) e P 2 ( 4 ,   - 1 ,   12 ) pertencem à reta

r : x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2

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Passo 1

O enunciado nos dá a equação simétrica da reta r . Com essa equação devemos determinar se os pontos P 1 e P 2 pertencem à reta. Mas, como eu verifico isso??

Não precisa ficar estressado!!! Você vai ficar fera nisso! ;)

Vimos na teoria que as incógnitas x ,   y   e   z das equações da reta, representam as coordenadas de um ponto genérico da reta. Então, se queremos verificar se um ponto pertence ou não à reta, basta substituirmos x ,   y e z pelos valores das coordenadas do ponto que queremos verificar se pertence ou não à reta.

Passo 2

Já que é só substituir e ver a validade da equação, então vamos começar pelo ponto P 1 ( 5 ,   - 5 ,   6 ) :

x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2 →   5 - 3 - 1 = - 5 + 1 2 = 6 - 2 - 2

2 - 1 = - 4 2 = 4 - 2   →   - 2 = - 2 = - 2

Como todas as igualdades dão o mesmo valor, então, siginifica que o ponto P 1 pertence à reta r .

Passo 3

E o ponto P 2 ( 4 ,   - 1 ,   12 ) pertence? Vamos descobrir agora!!!

x - 3 - 1 = y + 1 2 = z - 2 - 2 →   4 - 3 - 1 = - 1 + 1 2 = 12 - 2 - 2

1 - 1 = 0 2 = 10 - 2   →   - 1 ≠ 0 ≠ - 5

Os valores são diferentes, assim o ponto P 2 não pertence à reta r .

Resposta

P 1 pertence à reta r .

P 2 não pertence à reta r .

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-2.

Determinar o ponto da reta

r :   x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2 t

Que tem abscissa 4.

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Passo 1

Temos as equações paramétricas da reta r que o enunciado nos dá. E queremos descobrir o ponto da reta que tenha a coordenada x = 4 (abscissa).

Como vimos, na questão anterior as incógnitas x ,   y e z são as coordenadas de um ponto genérico da reta r . Então, se temos que x deve valer 4 , só precisamos substituir na primeira expressão o x = 4 para descobrir o valor de t e assim conseguiremos descobrir o valor das demais coordenadas. Blz?

Passo 2

Substituindo x = 4 , na expressão:

x = 2 - t   → 4 = 2 - t

t = - 2

Substituindo o valor de t = - 2 , nas outras expressões temos:

y = 3 + t → y = 3 - 2

y = 1

z = 1 - 2 t → z = 1 - 2 - 2

z = 5

Então, o ponto é:

P = ( 4 ,   1 ,   5 )

Resposta

P = ( 4 ,   1 ,   5 )

Exercício Resolvido #7

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 133-10.

Qual deve ser o valor de m para que os pontos A 3 ,   m ,   1 ,   B 1 ,   1 ,   - 1     e   C ( - 2 ,   10 ,   - 4 ) pertençam à mesma reta?

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Passo 1

O problema nos dá os pontos A , B e C e devemos determinar o valor de m para que os pontos pertençam à mesma reta.

FErrouuu!!! Nunca vi isso antes!!! Não sei nem por onde começar!!

Calma!!! Não se desespere!! Realmente você ainda não viu nada disso nesse tópico, por isso vamos te dar algumas dicas!! ;)

Passo 2

A dica que você precisa para resolver esse exercício é a seguinte:

A B e A C → :

A B → = B - A = 1 ,   1 ,   - 1 - 3 ,   m ,   1 →   A B → = ( - 2 ,   1 - m ,   - 2 )

A C → = C - A = - 2 ,   10 ,   - 4 - 3 ,   m ,   1 →   A C → = ( - 5 ,   10 - m ,   - 5 )

Passo 3

Tendo os vetores A B →   e   A C → , podemos escrever a relação A B → = n A C → , que fica assim:

- 2 ,   1 - m ,   - 2 = n ( - 5 ,   10 - m ,   - 5 )

Agora, podemos igualar coordenada a coordenada:

x →   - 2 = - 5 n

y → 1 - m = n 10 - m

z →   - 2 = - 5 n

Pela primeira ou pela última expressão conseguimos descobrir o valor de n que é:

n = 2 5

Sabendo o valor de n basta substituirmos na segunda equação para descobrirmos m (que é o que queremos ;)).

1 - m = 2 5 10 - m → 5 - 5 m = 20 - 2 m

3 m = - 15 → m = - 5

m = - 5

Resposta

m = - 5

Exercício Resolvido #8

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 136-3.

Obtenha equações paramétricas para os três eixos coordenados.

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Passo 1

O enunciado quer que apresentemos as equações paramétricas de cada um dos eixos coordenados, ou seja, as equações paramétricas do eixo   x , do eixo y e do eixo z