Ângulos entre Retas

Teoria Completa

Imagina que você está construindo um painel de fotos divertido para o seu quarto e quer que todas as fotos estejam inclinadas em um certo ângulo. Mas você só sabe as equações das retas que passam pela margem das fotos!!

E agora, como é que faz??

Calma, vou te ensinar a calcular esse ângulo entre retas!!!

Se tivermos duas retas r e s , sendo que r possui o vetor diretor r → e s o vetor s → , o ângulo entre elas θ , é dado pela seguinte fórmula:

Aqui vale ressaltar que o ângulo θ varia entre 0 ° e 90 ° .

Para encontrar o ângulo entre retas é só aplicar a fórmula anterior!!

Vamos resolver o nosso exemplo do painel de fotos então!

Imagina que equação da reta azul é A : x = 1 + 2 t y = 4 + 6 t e a da reta vermelha é V : x = 1 + h y = - 2 - 2 h

Dessas equações sabemos os vetores diretores!

A → = ( 2 ,   6 ) e   V → = ( 1 ,   - 2 )

Com isso, vamos calcular o produto interno   A   → ∙ V → e os módulos dos vetores diretores

A   → ∙ V → = 2 ,   6 ∙ 1 ,   - 2 = - 10

A → = 2 2 + 6 2 = 40

V → = 1 2 + - 2 2 = 5

Colocando tudo na fórmula do ângulo entre retas, temos

cos ⁡ θ = - 10 40 × 5

cos ⁡ θ = 10 10 2 = 1 2 = 2 2

Logooo, θ = 45 °

Showw de bolinhas, agora é só fazer uns exercícios e ficar crack!!

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Exercício Resolvido #1

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 208-1.

Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas r : X = 1 ,   1 ,   9 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e

s :   x - 1 = y z = 4

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Passo 1

Temos do enunciado a equação vetorial da reta r e as equações reduzidas da reta s . Com esses dados devemos encontrar o ângulo entre as retas.

Como vimos na teoria, a fórmula para encontrar o ângulo precisa do vetor diretor de cada reta. Então, vamos encontrar primeiro o vetor diretor de cada reta!!

Passo 2

Para encontrar o vetor diretor da reta r não tem muito segredo. Pois, como nos foi dada a equação vetorial da reta sabemos que:

r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

Já para a reta s não é tão direto assim! Como nos foram dadas as equações reduzidas da reta em função de x podemos escrever que os pontos pertencentes à reta s são da seguinte forma:

x ,   y ,   z = ( x ,   x - 1 ,   4 )

Assim, se encontrarmos dois pontos da reta s conseguimos formar seu vetor diretor:

x = 0 → A = ( 0 ,   - 1 ,   4 )

x = 1 → B = ( 1 ,   0 ,   4 )

Assim,

s → = A B → = B - A = 1 ,   0 ,   4 - 0 ,   - 1 ,   4 = ( 1 ,   1 ,   0 )

Passo 3

Agora,que temos r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 ) e s → = ( 1 ,   1 ,   0 ) , é colocar na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

O numerador é o módulo do produto interno, que é:

r → ∙ s → = | 0 ,   1 ,   - 1 ∙ 1 ,   1 ,   0 | = | 0 + 1 + 0 | = 1

O denominador é ao produto entre os módulos dos vetores. Vamos calcular os módulos separados:

r → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

s → = 1 2 + 1 2 = 2

Agora que temos tudinho calculado só colocar na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | = 1 2 2 = 1 2 → cos ⁡ θ = 1 2

cos ⁡ θ = 1 2 →   θ = 60 °

Mas, essa ainda não é a resposta!! O problema quer o resultado em radianos!! Então:

θ = π 3   r a d

Resposta

θ = π 3   r a d

Exercício Resolvido #2

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 135-15.

Determinar o valor de n para que seja de 30 ° o ângulo entre as retas

r :   x - 2 4 = y + 4 5 = z 3   e s :   y = n x + 5 z = 2 x - 2

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Passo 1

Mais um exercício para ficar expert em ângulo!! ;)

Esse exercício é o inverso do que fizemos anteriormente! Antes, tínhamos todas as informações necessárias para descobrir o vetor diretor das retas e então achar o ângulo entre elas. Agora, nós temos qual o valor do ângulo entre as retas r e s , mas não sabemos o valor de n . Assim, devemos descobrir o valor de n que satisfaça o ângulo dado.

Passo 2

Mesmo sendo o inverso o procedimento é praticamente o mesmo. Então, vamos encontrar os vetores diretores das retas!!

Para a reta r foram nos dadas as equações simétricas e por meio delas conseguimos retirar o vetor diretor que é:

r → = 4 ,   5 ,   3

Já a reta s , temos novamente as equações reduzidas da reta em função de x . Assim, podemos escrever que os pontos da reta s possuem as seguintes coordenadas:

x ,   y ,   z = x ,   n x + 5 ,   2 x - 2

Para encontrar o vetor diretor de s vamos encontrar 2 pontos e com eles então acharemos o vetor diretor:

x = 0 → A = 0 ,   5 ,   - 2

x = 1 → B = ( 1 ,   n + 5 ,   0 )

s → = A B → = B - A = 1 ,   n + 5 ,   0 - 0 ,   5 ,   - 2 = ( 1 ,   n ,   2 )

Passo 3

Tendo r → = 4 ,   5 ,   3 , s → = ( 1 ,   n ,   2 ) e θ = 30 ° , vamos obter n . Sabendo que a fórmula é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

r → ∙ s → = 4 ,   5 ,   3 ∙ 1 ,   n ,   2 = | 10 + 5 n |

r → = 4 2 + 5 2 + 3 2 = 50 = 5 2

s → = 1 2 + n 2 + 2 2 = 5 + n 2

cos ⁡ 30 ° = 3 2

Colocando na fórmula temos:

3 2 = | 10 + 5 n | 5 2 5 + n 2

3 . 5 2 5 + n 2 = 2 10 + 5 n

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

3.25.2 . 5 + n 2 = 4 ( 10 + 5 n ) 2

750 + 150 n 2 = 400 + 400 n + 100 n 2

50 n 2 - 400 n + 350 = 0

Dividindo tudo por 50 , teremos:

n 2 - 8 n + 7 = 0

Como solução teremos:

n = 1       o u   n = 7

Resposta

n = 1       o u   n = 7

Exercício Resolvido #3

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 208-2.

Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero A B C , sendo A = ( 1 ,   1 ,   0 ) e sabendo que o lado B C está contido na reta r de equação vetorial X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) .

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Passo 1

O enunciado nos pede para descobrirmos as coordenadas dos pontos B e C . Para isso ele nos dá algumas informações!! Diz que A ,   B e C são vértices de um triângulo equilátero, ou seja, os Ângulos são de 60 ° . Dá que o ponto A possui coordenadas   A = ( 1 ,   1 ,   0 ) . Além disso, fala que os ponto B e C pertencem à reta r que possui equação vetorial X = 0 ,   0 ,   0 + λ ( 0 ,   1 ,   - 1 ) . Então, podemos montar a seguinte figura:

Passo 2

Vimos na teoria como encontrar o ângulo entre duas retas, certo? Então, vamos utilizar isso a nosso favor!! Mas, como?

Bem, o ângulo entre a reta r e a reta que forma o lado dos pontos A e B sabemos que vale 60 ° . Além disso, temos o vetor diretor de r e conseguimos o vetor diretor da reta que contém A e B , pois o próprio vetor A B → , é diretor da reta. Assim, descobriremos as coordenadas de B .

Mas, antes, tem um detalhe importantíssimo, sem ele não resolvemos o problema!!

Como B pertence à reta r , então o formato geral de B por meio da equação vetorial da reta r é:

B = ( 0 ,   λ , - λ )

Vamos começar então!!

r → = ( 0 ,   1 ,   - 1 )

A B → = B - A = ( 0 ,   λ , - λ ) - 1 ,   1 ,   0 = ( - 1 ,   λ - 1 ,   - λ )

Passo 3

A fórmula do ângulo entre retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Então, vamos calcular o módulo do produto interno, os módulos e o cos ⁡ θ :

cos ⁡ 60 ° = 1 2

r → ∙ A B → = 0 ,   1 ,   - 1 ∙ - 1 ,   λ - 1 ,   - λ = | 2 λ - 1 |

r → = 1 2 + ( - 1 ) 2 = 2

s → = ( λ - 1 ) 2 + ( - λ ) 2 + ( - 1 ) 2 = 2 λ 2 - 2 λ + 2

Substituindo na fórmula temos:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 1 2 = 2 λ - 1 2 2 λ 2 - 2 λ + 2

2 2 λ 2 - 2 λ + 2 = 2 2 λ - 1

Elevando os dois lado ao quadrado:

2 2 λ 2 - 2 λ + 2 = 4 ( 2 λ - 1 ) 2

4 λ 2 - 4 λ + 4 = 16 λ 2 - 16 λ + 4

12 λ 2 - 12 λ = 0 →   λ 2 - λ = 0

λ λ - 1 = 0

λ = 0         o u           λ = 1

Passo 4

Como temos dois valores de λ = 0 ou     λ = 1 ,   acabamos descobrindo os dois pontos B e C :

Assim, os dois pontos são:

B = 0 ,   0   ,   0         e           C = 0 ,   1 ,   - 1

Resposta

B = 0 ,   0   ,   0         e       C = 0 ,   1 ,   - 1

o u

C = 0 ,   0   ,   0         e       B = 0 ,   1 ,   - 1

Exercício Resolvido #4

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 218-6.

Ache a reta que passa pelo ponto ( 1 ,   - 2 ,   3 ) e que forma ângulos de 45 ° e 60 ° respectivamente com o eixo dos x e dos y .

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Passo 1

Queremos achar a reta que passa pelo ponto ( 1 ,   - 2 ,   3 ) . Além disso, temos mais duas informações para nos ajudar a achar a reta: a reta forma 45 ° com o eixo x E Forma 60 ° com o eixo y . Sabemos que a fórmula do ângulo entre retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Por meio dela vamos achar nossa reta.

Passo 2

Vamos começar pelo eixo x . Precisamos do vetor diretor da reta que queremos descobrir e do eixo x . O vetor da nossa reta que queremos descobrir diremos que é r → = ( x ,   y ,   z ) . Um vetor possível para o eixo x é o vetor s → = ( 1 ,   0 ,   0 ) . E sabendo que θ = 45 ° ,conseguimos calcular a primeira relação:

cos ⁡ 45 ° = 2 2

r → ∙ s → = x ,   y ,   z ∙ 1 ,   0 ,   0 = | x |

r → = x 2 + y 2 + z 2

s → = 1 2 = 1

Colocando na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 2 2 = x x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois membros ao quadrado:

2 x 2 + y 2 + z 2 = 4 x 2

Nossa primeira relação será:

2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 = 0

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para o eixo y ,teremos:

r → = ( x ,   y ,   z )

s → = ( 0 ,   1 ,   0 )

θ = 60 °

Calculando o cos ⁡ 60 ° , o produto interno e os módulos:

cos ⁡ 60 ° = 1 2

r → ∙ s → = x ,   y ,   z ∙ 0 ,   1 ,   0 = | y |

r → = x 2 + y 2 + z 2

s → = 1 2 = 1

Colocando na fórmula:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → | → 1 2 = y x 2 + y 2 + z 2

Elevando os dois membros ao quadrado:

x 2 + y 2 + z 2 = 4 y 2

Nossa segunda relação será:

x 2 - 3 y 2 + z 2 = 0

Passo 4

Chegamos em um sistema com duas equações:

x 2 - 3 y 2 + z 2 = 0                   ( 1 ) 2 x 2 - 2 y 2 - 2 z 2 = 0         ( 2 )    

Multiplicando a equação ( 1 ) por - 2 e somando na ( 2 ) ,temos:

4 y 2 - 4 z 2 = 0 → y = ± z

Substituindo y = ± z na equação ( 1 ) :

x 2 - 2 z 2 = 0 → x = ± 2 z

Com essas relações temos que nosso vetor diretor é:

r → = ± 2 z ,   ± z ,   z

S e   z = 1 →   r → = ± 2 ,   ± 1 ,   1

Como temos 4 possibilidades para r → isso significa que temos 4 retas diferentes, que possuem equações simétricas da seguinte forma, sendo P = ( 1 ,   - 2 ,   3 ) :

x - 1 ±   2 = y + 2 ± 1 = z - 3 1

Resposta

x - 1 ±   2 = y + 2 ± 1 = z - 3 1

Exercício Resolvido #5

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 218-7.

Ache uma reta que passa por P = 1 ,   1 ,   1 , intercepta a reta r : x 2 = y = z e forma com ela um ângulo θ com cos ⁡ θ = 1 3 .

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Passo 1

Temos que determinar a reta que passa pelo ponto P = ( 1 ,   1 ,   1 ) . Mas, falta determinarmos o vetor diretor da reta, que chamaremos de r → = ( a ,   b ,   c ) . Para determinar a ,   b e   c temos duas informações: uma que o cosseno entre as reta é cos ⁡ θ = 1 3 e que a reta que queremos determinar e a r se interceptam.

Passo 2

Vamos começar pela informação que as retas se interceptam. Se elas se interceptam temos que achar o ponto que elas se encontram, então temos que igualar suas equações:

Reescrevendo as equações da reta r na forma vetorial temos:

x ,   y ,   z = 0 ,   0 ,   0 + t ( 2 ,   1 ,   1 )

Escrevendo a equação vetorial da reta que queremos achar:

x , y ,   z = 1 ,   1 ,   1 + α ( a , b , c )

Igualando coordenada a coordenada, temos:

2 t = 1 + α a             ( 1 )

t = 1 + α b                 ( 2 )

t = 1 + α c                 ( 3 )

Igualando ( 2 ) e ( 3 ) :

b = c

Passo 3

Agora, vamos utilizar que cos ⁡ θ = 1 3 . Sabendo que a fórmula do ângulo entre duas retas é:

cos ⁡ θ = r → ∙ s → r → | s → |

Vamos calcular separadamente os módulos dos vetores e o produto interno:

r → ∙ s → = a ,   b ,   c ∙ 2 ,   1 ,   1 = | 2 a + b + c |

r → = a 2 + b 2 + c 2

s → = 2 2 + 1 2 + 1 2 = 6

cos ⁡ θ = 1 3

Colocando na fórmula temos:

3 3 = | 2 a + b + c | 6 a 2 + b 2 + c 2

3   6   a 2 + b 2 + c 2 = 3 2 a + b + c

Elevando os dois lados ao quadrado,temos:

3.6 .   a 2 + b 2 + c 2 = 9 ( 2 a + b + c ) 2

Substituindo a relação   b = c na expressão acima temos:

18   a 2 + 2 b 2 = 9 ( 2 a + 2 b ) 2

Resolvendo:

a a + 4 b = 0

a = 0         o u         a = - 4 b

Com a = 0         o u         a = - 4 b e o resultado b = c , teremos duas soluções para r → :

r → = 0 ,   b ,   b       o u       r → = ( - 4 b ,   b ,   b )

S e   b = 1 →   r → = 0 ,   1 ,   1       o u       r → = ( - 4 ,   1 ,   1 )

Teremos então duas retas com equações vetoriais:

X = 1 ,   1 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1

X = 1 ,   1 ,   1 + α ( - 4 ,   1 ,   1 )

Resposta

X = 1 ,   1 ,   1 + t 0 ,   1 ,   1

X = 1 ,   1 ,   1 + α ( - 4 ,   1 ,   1 )

Exercício Resolvido #6

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 116.

Calcular o ângulo entre as retas

r 1 : x = 3 + t y = t z = - 1 - 2 t     e r 2 : x + 2 - 2 = y - 3 = z

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Passo 1

Beleza, só precisamos descobrir o ângulo!

A formulinha já estamos carecas de saber!

cos ⁡ θ = r 1 → ∙ r 2 → r → 1 r 2 →

Do enunciado tiramos:

r 1 → = 1 ,   1 ,   - 2

r 2 → = ( - 2 ,   1,1 )

Vamos começar calculando o produto escalar!

r 1 → ∙ r 2 → = 1,1 , - 2 ∙ - 2 ,   1 ,   1

r 1 → ∙ r 2 → = 1 × - 2 + 1 × 1 + - 2 × 1 = - 3

Agora vamos calcular os módulos!

r → 1 = 1 2 + 1 2 + - 2 2 = 6