Exercícios Resolvidos de Análise de estabilidade via resposta de frequência

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Enunciado

Dada a função de transferência em malha aberta mostrada abaixo:

G s = 10 0 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 4 )

Sabe-se que a frequência crítica para esse sistema é aproximadamente ω c = 2,25   r a d / s e g . Determine a estabilidade do sistema analiticamente.

Passo 1

O critério de Bode diz que para o sistema ser estável, a razão de amplitude da função de transferência em malha aberta deve ser maior que 1 na frequência crítica.

A razão de amplitude, pode ser calculada como o módulo da função de transferência quando s tende a i ω .

R A = G i ω

Portanto, precisamos calcular a razão de amplitude do sistema na frequênciaa crítica, se esse valor for menor que 1 , o sistema será estável, caso contrário, o sistema será instável.

Passo 2

Primeiramente vamos expandir a multiplicação do denominador pra facilitar nosso trabalho:

G s = 100 s 4 + 10 s 3 + 35 s 2 + 50 s + 24

Agora, podemos calcular G ( i ω c ) :

G i ω c = 10 0 i ω c 4 + 10 i ω c 3 + 35 i ω c 2 + 50 i ω c + 24

G i ω c = 100 ω c 4 - 10 i ω c 3 - 35 ω c 2 + 50 i ω c + 2 4

Substituindo ω c por 2,25 , teremos:

G i ω c = 100 - 127,5 - 1,4 i

Passo 3

Como vimos ali em cima, para encontrar a razão de amplitude, precisamos do módulo da expressão anterior:

R A = G i ω

R A = 100 - 1 27,5 + 1,4 i

O módulo de um quociente pode ser dividido como a razão do módulo do numerador pelo módulo do denominador:

R A = 10 0 - 127 , 5 - 1,4 i

E o módulo é calculado com a raiz quadrada do quadrado da parte real mais o quadrado da parte imaginária:

R A = 10 0 2 ( - 127,5 ) 2 + ( - 1,4 ) 2 = 100 127,5 = 0,78

A razão de amplitude na frequência crítica é menor que 1 , sendo assim, o sistema é estável.

Resposta

Sistema estável.

R A = 0,78