Exercícios Resolvidos de Análise de estabilidade via resposta de frequência

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Enunciado

Dada a função de transferência em malha aberta mostrada abaixo:

G s = 20 ( s 2 + 2 s + 2 ) ( s + 2 )

Sabe-se que a frequência crítica para esse sistema é aproximadamente ω c = 2,44   r a d / s e g . Determine a estabilidade do sistema analiticamente.

Passo 1

O critério de Bode diz que para o sistema ser estável, a razão de amplitude da função de transferência em malha aberta deve ser maior que 1 na frequência crítica.

A razão de amplitude, pode ser calculada como o módulo da função de transferência quando s tende a i ω .

R A = G i ω

Portanto, precisamos calcular a razão de amplitude do sistema na frequênciaa crítica, se esse valor for menor que 1 , o sistema será estável, caso contrário, o sistema será instável.

Passo 2

Vamos começar calculando G ( i ω c ) :

G i ω c = 20 i ω c 2 + 2 i ω c + 2 i ω c + 2

G i ω c = 20 - ω c 2 + 2 i ω c + 2 i ω c + 2

Efetuando as multiplicações no denominador:

G i ω c = 20 - i ω c 3 - 4 ω c 2 + 6 i ω c + 4

Substituindo ω c por 2,44 , teremos:

G i ω c = 20 - 19,81 + 0,11 i

Passo 3

Como vimos ali em cima, para encontrar a razão de amplitude, precisamos do módulo da expressão anterior:

R A = G i ω

R A = 20 - 19,81 + 0,11 i

O módulo de um quociente pode ser dividido como a razão do módulo do numerador pelo módulo do denominador:

R A = 20 - 19,81 + 0,11 i

E o módulo é calculado com a raiz quadrada do quadrado da parte real mais o quadrado da parte imaginária:

R A = 20 2 ( - 19,81 ) 2 + ( 0,11 ) 2 = 20 19,81 = 1,01

A razão de amplitude na frequência crítica é levemente acima de 1,0 , o que significa que o sistema está próximo da estabilidade crítica, mas ainda assim, ele é instável.

Resposta

Sistema instável.

R A = 1,01