Exercícios Resolvidos de Análise de estabilidade via resposta de frequência

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Enunciado

Determine se os seguintes processos podem ser tornados instáveis aumentando-se o ganho deles. Utilize argumentos baseados em resposta em frequência e critério de Bode.

  1. G s = 2 s + 1
  2. G s = 3 s + 1 2 s + 1
  3. G s = 4 s + 1 2 s + 1 3 s + 1

Passo 1

A primeira função de transferência é uma função de transferência com um polo e nenhum zero.

Vamos pensar juntos como ficaria o diagrama de Bode dela.

Em frequências baixas, o ângulo de fase começaria em 0 º , em frequências altas, o ângulo de fase tenderia a - 90 º , porque temos apenas um polo.

Sendo assim, a linha do ângulo de fase nunca cruzaria - 180 º que é onde fica a frequência crítica, e portanto não é possível determinar um limite de estabilidade.

Passo 2

A segunda função de transferência é uma função com dois polos e nenhum zero.

Ou seja, em baixas frequências o ângulo de fase é 0 º e em altas frequências o ângulo de fase tende a - 180 º .

Para determinar a frequência crítica, precisamos que a linha do ângulo de fase cruze - 180 º , entretanto, o que acontece aqui é que o ângulo de fase tende a - 180 º quando a frequência tende a infinito, o que significa que o ângulo de fase se aproxima cada vez mais de - 180 º sem nunca de fato cruzar ou sequer chegar na linha de - 180 º .

Sendo assim, também não existe um limite de estabilidade para o ganho.

Passo 3

Já no caso do item c), temos três polos, o que significa que em altas frequências o ângulo de fase tende a - 180 º .

Portanto, em algum momento o ângulo de fase será igual a - 180 º e nesse ponto a razão de amplitude deve ser menor que 1 . Se aumentarmos o ganho indefinidamente, em algum momento a razão de amplitude nesse ponto será maior que 1 , já que o aumento do ganho resulto num aumento da razão de amplitude ao longo de todo o diagrama de Bode.

Sendo assim, existe limite para o ganho nesse caso.

Resposta

  1. Não é possível
  2. Não é possível
  3. É possível