Exercícios Resolvidos de Análise Dimensional e de Unidades

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 23 – 23

Nas equações seguintes, a distância x está em metros, o tempo t está em segundos e a velocidade v está em metros por segundo. Quais são as unidades SI das constantes C 1 e C 2 ?

  1. x = C 1 + C 2 t
  2. x = 1 2   C 1 t 2
  3. v 2 = 2 C 1 x
  4. x = C 1 c o s ( C 2 t )
  5. v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 3

Passo 1

Nessa questão é importante lembrar as propriedades quando relacionamos duas grandezas: quando somadas as dimensões são iguais, quando multiplicadas as dimensões se somam.

Como a distância x , o tempo t e a velocidade v são usadas em várias alternativas, vamos identificar suas dimensões, o tempo independente de ser segundo ou hora é uma unidade de tempo T e a distância x seja em metros ou quilômetros ou qualquer outra unidade, tem dimensão de unidade linear de comprimento [ L 1 ] .

t = T 1

x = L 1

lembra que a velocidade é dada no S.I pelas unidades m / s ? Bom metro é uma unidade de comprimento linear L 1 , e segundo é uma unidade de tempo T 1 .

v = L 1 T 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Alternativa a) x = C 1 + C 2 t

C 1   e C 2 t precisam ter a unidade de x , pois os 2 termos somados precisam ter mesma unidade e os termos da igualdade precisam ser iguais, logo todo mundo é igual

[ x ] = [ C 1 ] + [ C 2 t ]

Como se trata de soma de termos, temos as três dimensões iguais e aqui conhecemos a unidade do tempo que é T 1 e também de x   que é comprimento linear L 1 .

L 1 = C 1 + [ C 2 ] T 1

Igualando cada constante temos:

C 1 = L 1

C 2 = L 1 T 1

Convertendo as unidades para o S . I (Sistema Internacional)

C 1 = m

C 2 = m / s

Passo 3

Alternativa b) x = 1 2   C 1 t 2  

x = [ 1 2   C 1 t 2 ]

Como sabemos a dimensão do lado esquerdo, basta igualar com o lado direito e aqui vamos substituir a dimensão de x como L 1 e do tempo, mas como está ao quadrado o que aparecerá será algo do tipo [ T 2 ] .

[ C 1 ] T 2 = L 1  

Ué ? Mas é o 1 2 ?

Números são adimensionais!!! Não são importantes para essa questão!

C 1 = L 1 T 2

No S.I.

C 1 = m / s 2

Passo 4

Alternativa c) v 2 = 2 C 1 x

v 2 = 2 C 1 x

Substituindo as dimensões que já conhecemos que são as dimensões da velocidade e da distância x temos:

L 2 T 2 = C 1 L 1

Isolando a constante:

C 1 = L 1 T 2

No S.I.

C 1 = m / s 2

Passo 5

Alternativa d) x = C 1 c o s ( C 2 t )

x = C 1 c o s ( C 2 t )

Substituindo as dimensões que já conhecemos temos:

L 1 = C 1 c o s ⁡ ( C 2 T 1 )

Essa é um pouquinho diferente das outras, mas nada que você não seja capaz de resolver . O que está dentro do cosseno é um ângulo e os ângulos são adimensionais e portanto o produto das unidades C 2 T 1 devem ser adimensionais também:

C 2 T 1 = 1

Logo:

C 2 = 1 T 1

Após descobrir C 2 , o lado esquerdo precisa ser igual ao direito. Como a parte do cos ⁡ C 2 t é adimensional, temos:

[ C 1 ] = L 1

No S.I.

C 1 = m

C 2 = 1 / s

Passo 6

Alternativa e) v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 3

v 2 = 2 C 1 v - C 2 x 3

Se lembra da propriedade da soma? Viu como ela é importante? Esquece dela não! Vamos usa-la novamente aqui, a galera que se soma deve ter as mesmas unidades.

Substituindo as dimensões que já conhecemos:

L 2 T 2 = C 1 L 1 T 1 - C 2 3 L 3

Lembrando que os números não são importantes quando queremos saber as dimensões, assim como os sinais !!

Descobrindo a primeira constante:

C 1 L 1 T 1 = L 2 T 2

C 1 = L 1 T 1

Descobrindo a segunda constante:

C 2 3 L 3 = L 2 T 2

C 2 = 1 L 1 3 T 2 3

No S.I.

C 1 = m / s

C 2 = 1 m 1 / 3 s 2 / 3

Resposta

Alternativa (a)

C 1 = m

C 2 = m / s

Alternatva (b) C 1 = m / s 2

Alternativa (c) C 1 = m / s 2

Alternativa (d) C 1 = m

C 2 = 1 / s

Alternativa (e) C 1 = m / s

C 2 = 1 m 1 / 3 s 2 / 3

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