Exercícios Resolvidos de Análise Dimensional e de Unidades

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Enunciado

Para ilustrar o conceito de uma “equação quantitativa” (proposta por Lira, Ignacio, Eur. J. Phys. 34, 2013, 1391-1401) considere a relação entre a aceleração padrão de queda livre, g , e o tempo t leva um corpo a cair uma distância d a partir do repouso. Na ausência de efeitos viscosos, a equação de quantidade é simplesmente d   =   g t 2 / 2 , que é equivale à sua forma adimensional g t 2 / d   =   2 . Agora suponha que essa equação não seja conhecida; é meramente conjeturado que, se as forças de arrasto e empuxo forem insignificantes, deve haver uma relação entre g ,   t ,   d e a massa m do corpo: f ( g ,   t ,   d ,   m )   =   0 . Obtenha uma expressão adimensional equivalente, tomando cada dimensão base, uma por vez, e elimine-a multiplicando as quantidades que contêm essa dimensão por uma quantidade arbitrariamente selecionada que também contenha a dimensão, elevada aos expoentes apropriados.

Passo 1

Eiiita que lendo tudo isso de uma vez dá um nó na cabeça da gente né? Haha

Mas caaalma pois a questão está nos pedindo é basicamente um exemplo de expressão adimensional utilizando dimensões de base.

Aí eu te pergunto: Que dimensões de base são essas?

A resposta é:

  • Aceleração da gravidade g em metros por segundo ao quadrado ( m / s 2 );
  • Tempo t em segundos ( s );
  • Distância d em metros ( m );
  • Massa m em quilogramas ( k g ).

Agora vamos procurar a expressão!!!

Passo 2

Assim, podemos encontrar uma expressão adimensional da seguinte forma:

g ∙ t 2 ∙ 1 d = 1

Colocando as unidades de medida respetivas a cada termo, temos:

m s 2 ∙ s 2 ∙ 1 m = 1

Perceba acima que conseguimos cancelar cada termo, fazendo com que o resultado não tenha dimensão alguma!!!

Obs: a dimensão de massa não foi utilizada, afinal, nenhuma das outras dimensões base não contém essa dimensão.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

m s 2 ∙ s 2 ∙ 1 m = 1

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