Exercícios Resolvidos de Análise Dimensional e de Unidades

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp. 27 – 1.10

Quais são as unidades de volume? Suponha que um aluno diga que o volume de um cilindro com altura h e raio r seja dado por π r 3 h . Explique por que isto está errado

Passo 1

Para descobrir as unidades de volume podemos pegar um volume simples de calcular para analisar, como o volume de um cubo por exemplo.

O cubo possui 3 lados iguais e nesse caso como a gente faz pra calcular o volume?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular o volume de um cubo temos:

V c u b o = l a d o   x   l a d o   x   l a d o

V c u b o = l a d o 3

Passo 3

Como a dimensão de cada lado é um comprimento linear a gente pode dizer que um lado tem a dimensão de um comprimento L , ou seja, sempre será uma medida de comprimento como por exemplo: milímetros, centímetros ou metros.

l a d o = L 1

Logo se calculamos o volume do cubo que é lado ao cubo, temos também a sua dimensão que é:

l a d o 3 = L 3

Sendo assim a unidade do volume do cubo é comprimento ao cubo:

[ V c u b o ] = L 3

Passo 4

Como o volume de um cubo tem a mesma dimensão que qualquer outro volume temos que:

V = L 3

Passo 5

Considerando um volume de um cilindro como π r 3 h , vamos analisar dimensionalmente essa fórmula:

π = 1

r 3 = L 3

h = L 1

Passo 6

Assim o volume do cilindro seria:

V c i l i n d r o =   π r 3 h

V c i l i n d r o = 1   × L 3 ×   L 1

[ V c i l i n d r o ] = L 4  

Cara mas e aí, é possível que o volume tenha uma dimensão de L 4 ?   Como vimos o volume tem dimensões cúbicas do tipo L 3 , então não seria possível esse volume pro cilindro então a afirmativa é falsa.

Resposta

V = L 3

A f i r m a t i v a   f a l s a

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