Exercícios Resolvidos de Análise Dimensional e de Unidades

TIPLER,P.- Física para Cientistas e Engenheiros, Vol 1,6ª Edição, LTC,2009., pp. 23 – 44.

A terceira lei de Kepler relaciona o período de um planeta com o raio de sua órbita r , a constante G da lei de Newton da gravitação ( F = G m 1 m 2 r 2 ) e a massa do sol M S O L . Qual a combinação destes fatores fornece as dimensões corretas para o período de um planeta ?

Passo 1

Precisamos chegar na combinação correta dos fatores pra gente encontrar a dimensão do período, e a unidade desse período é o tempo. Usaremos aqui na análise a massa dos corpos com dimensão massa e a distância que tem dimensão de comprimento.

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Passo 2

Vamos dar uma boa olhada na equação da força gravitacional.

F = G m 1 M s o l r 2

Daí dessa equação são conhecidas duas dimensões, ambas as massas tem a unidade de massa e a distância tem unidade de comprimento.

m 1 = M s o l = M

r 2 = [ L 2 ]

Opa mas e o G ? Como a gente descobre sua dimensão? Vamos pegar a equação e mexer nela um pouquinho, ela vai ficar com essa carinha aqui.

G = F r 2 m 1 m 2

Conhecemos algumas unidades mas a dimensão da força pode não ser tão simples de visualizar, vamos usar a lei de newton pra entender melhor essa dimensão.

F = m . a

A massa tem unidade de massa M e a aceleração tem unidade de comprimento por tempo ao quadrado L / T 2   , logo a unidade da força é.

F = M L T 2

Por fim encontramos a dimensão de G .

G = M 1 L 1 T 2 L 2 M 1 M 1

Agrupando as unidades e eliminando alguns termos semelhantes temos:

G = L 3 M 1 T 2

Passo 3

O enunciado nos diz que o período do planeta é relacionado com a distânicia r com a constante gravitacional G e com a massa do sol, mas não como é essa relação. Vamos escrever então essa relação de uma forma genérica elevando cada uma das grandezas á um expoente que precisaremos calcular pra chegar na dimensão tempo.

T = C r α G β M S O L γ

Onde C é uma constante adimensional qualquer.

Substituindo as dimensões encontradas temos:

T = L α L 3 M T 2 β M γ

Se liga que agora é o pulo do gato da questão.

As unidades do lado esquerdo da equação precisam ser as mesmas que as do lado direito. Ué, mas como se não temos nem M e muito menos L do lado esquerda? Se liga, temos sim. Lembra que qualquer número elevado á 0 é 1? Isso vale pras nossas unidades também:

M 0 = 1

L 0 = 1

Então olha essa galera aí multiplicando o T .

M 0 L 0 T = L α L 3 M T 2 β M γ

Agora é trabalhar os expoentes do outro lado e deixar as unidades separadas, primeiro vamos abrir a galera que tá sob o expoente β .

M 0 L 0 T = L α L 3 β M β T 2 β M γ

Agora deixaremos as unidades juntas, comprimento com comprimento, massa com massa e tempo com tempo.

M 0 L 0 T = L α + 3 β 1 T 2 β M γ - β = L α + 3 β T - 2 β M γ - β

Passo 4

A partir desses expoentes vamos montar um sisteminha, o expoente que aparece em uma unidade de um lado deve ser igual ao que aparece do outro lado.

M 0 = M γ - β

L 0 = L α + 3 β

T 1 = T - 2 β

Igualando os expoentes temos esse sisteminha aquiP

0 =   γ -   β 0 =   α + 3 β 1 =   - 2 β

Resolvendo o sistema encontramos os seguintes valores:

α = 3 2 β =   - 1 2 γ = - 1 2

Passo 5

Ufa, finalmente chegamos ao final! Agora é só substituir os valores encontados na equação original:

T = C r 3 2 G - 1 2 M S O L - 1 2

Resposta

T = C r 3 2 G - 1 2 M S O L - 1 2

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