Exercícios Resolvidos de Bombeamento

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Enunciado

O tanque abaixo tem o formato de um tronco de cone e está cheio de um liquido de densidade μ . O raio da base maior é de 6 metros, o raio da base menor é de 2 metros e a altura é de 4 metros. O tanque está apoiado sobre a base menor. Considere g a aceleração da gravidade.

Encontre o trabalho necessário para bombear todo o liquido pela saída, que se encontra na parte superior do tanque.

Passo 1

Bom, temos um problema de bombeamento. A primeira coisa que fazemos ao ver um problema como esse é identificar quem é a força, que é o que vai entrar na integral. Ele não deixa isso claro no enunciado, mas aí nós fazemos uma suposição aqui: consideramos que a força realizada é suficiente apenas para bombear o líquido a uma velocidade constante, ou seja, nesse caso, a força de bombeamento é igual ao peso do líquido:

F = P l í q u i d o

Essa força é realizada ao longo do eixo y . Mas qual a distância em que a força atua? A distância em que ela puxa o líquido é de ( 4 - y ) , altura de subida do líquido. Essa é a distância em que a força atua. Então podemos escrever:

d W = d F   ( 4 - y )

Passo 2

O mais difícil nessa caso é achar uma uma expressão para F em função de   y , nossa variável de integração. O peso do líquido é dado por:

P l í q u i d o =   ρ l í q u i d o . g . V l í q u i d o

Agora, observa que o volume varia ao longo do eixo y , porque a área da seção transversal vai mudando. A forma de resolver isso é escrever o volume em sua forma infinitesimal. Para isso, vamos pensar em cada fatia infinitesimal de líquido. Nesse caso, temos:

d F = d P =   ρ g d V

d V = π r a i o 2 d y

O raio equivale ao valor de x para cada fatia infinitesimal, então podemos escrever:

d V = π x 2 d y

A relação entre x e y pode ser encontrada vendo o quanto o raio aumenta quando y caminha a sua altura inteira:

6 - 2 4 = x y

De onde sai que,

y = x

Logo, podemos reescrever:

d V = π y 2 d y

d V = π y 2 d y

Passo 3

Sabemos que d F = d P =   ρ g d V

Logo, em função de y :

d F = ρ g d V

d F =   ρ g π y 2 d y

Sabendo que:

d W = d F   ( 4 - y )

W = ∫ ( 4 - y ) d F

Substituindo:

W = ∫ 0 4 4 - y   ρ g π y 2 d y

Onde os limites de integração vieram do y inicial e final do fluido.

Pronto! Agora tudo dentro da integral está em função de y , nossa variável de integração. Todo o resto são constantes.

Passo 4

Resolvendo a integral:

W = ρ g π ∫ 0 4 4 - y y 2 d y

W = ρ g π ∫ 0 4 4 y 2 - y 3 d y

W = ρ g π 4 y 3 3 - y 4 4 4 0

W = ρ g π 4 4 3 3 - 4 4 4 - ρ g π 4 0 3 - 0 4

= ρ g π 4 4 3 - 4 4 4 = ρ g π 4 4 12

= 64 ρ g π 3

O enunciado nos disse que a densidade vale μ e a gravidade vale g . Logo,

W = 64 π 3 μ g

Resposta

W = 64 π 3 μ g

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Resolva o Exercício 22 se o tanque estiver cheio até a metade de óleo, que tem densidade de 900 kg/m³.
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =y 2 ; x = - y ; y = 2 ; y0
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: x =2 y - y 2 ; x = 0
Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = x ; y = 0 ; y = x - 2