Bombeamento

Resumo Completo

Vamos aprender agora a utilizar as integrais para calcular um outro tipo de trabalho: o trabalho necessário para bombear líquido para um dado recipiente.

Definição

Para calcular o trabalho necessário para calcular todo ou parte de um líquido de um recipiente, podemos imaginar que, a cada instante, uma fatia infinitesimal de líquido é levantada. Nesse caso, da mesma forma que fizemos antes, escrevemos uma expressão para o trabalho em sua forma infinitesimal e depois integramos:

W = a b F x d x

Ok. A força é feita no eixo que podemos estabelecer como sendo o eixo x . Precisamos encontrar então uma expressão para F que só dependa de x . x será minha variável de integração. Todas as outras variáveis devem ser constantes. Não podemos ter duas variáveis diferentes de integração.

Basicamente, para bombear um líquido para fora de um recipiente a uma velocidade constante, a força a ser feita equivale ao peso do líquido a ser bombeado para fora do recipiente, o que depende do volume de líquido a ser bombeado e de sua densidade. Basicamente, precisamos encontrar uma relação para o volume que deixe a expressão para o volume unicamente na variável de integração desejada.

Vamos fazer um exemplo??

Exemplo: O tanque da figura abaixo está cheio até 2 m do topo com um líquido cuja densidade é 57 k g m 3 . Qual o trabalho realizado para bombear o líquido até a borda do tanque, a 10 m de altura?

Bom, considerando que a força realizada seja apenas suficiente para bombear o líquido a uma velocidade constante, ou seja, seja igual ao seu peso, temos:

F = P l í q u i d o

A força é realizada ao longo do eixo y e a distância em que ela puxa o líquido é de ( 10 - y ) , concorda? Essa é a distância em que a força atua. Então podemos escrever:

d W = d F   ( 10 - y )

Nesse caso, temos que achar uma expressão para F em função de y , nossa variável de integração. O peso do líquido é dado por:

P l í q u i d o =   ρ l í q u i d o g V l í q u i d o

Agora, observa que o volume varia ao longo do eixo y , porque a área da seção transversal vai mudando. A forma de resolver isso é escrever o volume em sua forma infinitesimal. Para isso, vamos pensar em cada fatia infinitesimal de líquido. Nesse caso, temos:

d F = d P =   ρ g d V

d V = π r a i o 2 d y

O raio equivale ao valor de x para cada fatia infinitesimal, então podemos escrever:

d V = π x 2 d y

A relação entre x e y foi dada na figura: x = 1 2 y

d V = π x 2 d y

Logo, podemos reescrever:

d V = π 1 2 y 2 d y

d V = π 4 y 2 d y

Sabemos que d F = d P =   ρ g d V

Logo, em função de y :

d F = ρ g d V

d F =   ρ g π 4 y 2 d y

Sabendo que:

d W = d F   ( 10 - y )

W = ( 10 - y ) d F

Substituindo:

W = 0 8 10 - y ρ g π 4 y 2 d y  

Pronto! Agora tudo dentro da integral está em função de y , nossa variável de integração. Todo o resto são constantes.

W = ρ g π 4 0 8 10 - y y 2 d y  

W =   ρ g π 4 0 8 10 y 2 - y 3 d y  

W =   ρ g π 4 10 y 3 3 - y 4 4 8 0

W =   57.10   π 4 10 512 3 - 4096 4 - 0

W 305615   J

Pronto! A ideia nesse caso é essa: pensar na força para levantar o líquido. O mais difícil é colocar tudo em função da variável de integração. Mas aí é prática!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 487 – 23

Descrevemos o bombeamento do conteúdo de recipientes esféricos da mesma maneira que fazemos com outros reservatórios, com o eixo de integração ao longo do eixo vertical da esfera. Considere a figura a seguir e determine quanto trabalho será necessário para que um reservatório hemisférico, de raio 5   m , cheio de água, seja esvaziado ao se bombear seu conteúdo até uma altura 4   m acima do topo do reservatório. O peso específico da água é 9800   N / m 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Novamente, temos um problema de bombeamento. De novo, vamos fazer a suposição de que a força realizada é suficiente apenas para bombear o líquido a uma velocidade constante, ou seja, nesse caso, a força de bombeamento é igual ao peso do líquido:

F = P l í q u i d o

Essa força é realizada ao longo do eixo y . A linha da altura de atuação do bombeamento vai da altura máxima, 4 , até o nível de água, que se encontra numa “altura negativa” y , uma vez que o hemisfério da esfera está na parte negativa do eixo y . Assim, temos que a distância que a força atua é definida como 4 - y . Logo:

d W = d F   ( 4 - y )

Passo 2

O mais difícil nessa caso é achar uma uma expressão para F em função de   y , nossa variável de integração. O peso do líquido é dado por:

P l í q u i d o =   ρ l í q u i d o g V l í q u i d o

Agora, observa que o volume varia ao longo do eixo y , porque a área da seção transversal vai mudando. A forma de resolver isso é escrever o volume em sua forma infinitesimal. Para isso, vamos pensar em cada fatia infinitesimal de líquido. Nesse caso, temos:

d F = d P =   ρ g d V

d V = π r a i o 2 d y

O raio equivale ao valor de x para cada fatia infinitesimal, então podemos escrever:

d V = π x 2 d y

A relação entre x e y foi dada na figura: x = 25 - y 2

d V = π x 2 d y

Logo, podemos reescrever:

d V = π 25 - y 2 2 d y

d V = π 25 - y 2 d y

Sabemos que d F = d P =   ρ g d V

Logo, em função de y :

d F = ρ g d V

d F =   ρ g π 25 - y 2 d y

Sabendo que:

d W = d F   ( 4 - y )

W = ( 4 - y ) d F

E os limites de integração?

Pelo desenho dado, a água é bombeada de y = - 5 até y = 0 , concorda? Ele próprio colocou os eixos na figura, então eu tenho que entender o desenho!

Substituindo:

W = - 5 0 4 - y   ρ g π 25 - y 2 d y  

Pronto! Agora tudo dentro da integral está em função de y , nossa variável de integração. Todo o resto são constantes.

- ''

Passo 3

Resolvendo a integral:

W = - 5 0 4 - y   ρ g π 25 - y 2 d y  

W = ρ g π - 5 0 4 - y 25 - y 2 d y  

W = ρ g π - 5 0 100 - 4 y 2 - 25 y + y 3 d y  

W = ρ g π   100 y - 4 y 3 3 - 25 y 2 2 + y 4 4 0 - 5

W = ρ g π   0 - ( 100 - 5 + 4 - 5 3 3 + 25 - 5 2 2 - - 5 4 4

W = ρ g π   500 - 4.125 3 + 625 2 + - 625 4

W = ρ g π   500 - 4.125 3 + 625 2 + - 625 4

W = ρ g π   1000 3 + 625 4

No enunciado, ele dá o peso específico da água. O peso específico de um líquido é definido como:

P e s o   e s p e c í f i c o =   ρ g

Logo, temos:

ρ g = 9800   N / m 3

Substituindo:

W = 9800 π   1000 3 + 625 4

W = 15073099 ,   75   J

Resposta

W = 15073099 ,   75   J

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