Exercícios Resolvidos de Bombeamento

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Enunciado

Um tanque tem capacidade para 8000 litros, mas contém apenas 5000 litros de água e 20 kg de sal dissolvidos. Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 litros por minuto. A solução é mantida completamente misturada e é escoada por um ralo com vazão de 10 litros por minuto. Duas horas depois, o ralo é tampado.

  1. Qual a quantidade de sal no instante em que o ralo é tampado?
  2. No momento exato em que o ralo é tampado, a torneira passa a despejar no tanque água salgada a 0,02 kg sal por litro com mesma vazão de 10 litros por minuto. Quanto tempo leva para o tanque ficar cheio, depois que o ralo é tampado?
  3. Qual a quantidade de sal no instante que o tanque fica cheio?

Passo 1

Pra resolver essa questão, primeiramente vamos entender o problema e escrever tudo que podemos identificar do enunciado.

Resolvendo a letra a):

Foi dito que inicialmente tinha 5000 litros de água e 20 Kg de sal dissolvidos. E a cada minuto, entram 10 litros de água pura. Então vamos fazer o seguinte, vamos começar escrevendo uma expressão para d S ( t ) que vai indicar a TAXA de variação da quantidade de sal no instante t . E lembrando o que tá lá no enunciado: “Água PURA entra no tanque a uma TAXA de 10 litros por minuto”. Então significa que a quantidade de sal está diminuindo, porque entra água pura e sai água com sal, como dito no enunciado. Daí vem o sinal negativo na TAXA de variação:

d S ( t ) d t = - S t 5000   l i t r o s × 10   l i t r o s / m i n

Então como nós queremos encontrar a quantidade de sal S t , basta resolvermos a equação separável acima!! E como o próprio nome diz, vamos resolvê-la separando as variáveis.

Passo 2

Resolvendo a equação separável, vamos ter:

d S t S t = - d t 500

E então integrando cada lado da equação, temos:

∫ d S t S t = - 1 500 ∫ d t

ln ⁡ S t = - t 500 + C

E por fim, isolamos a variável S t :

S t = e - t 500 + C = e C × e - t 500 = K × e - t 500

Aonde K é uma constante qualquer e S ( t ) indica a quantidade de sal no instante t .

Passo 3

Se queremos achar a quantidade de sal no instante t = 2   h o r a s = 120   m i n u t o s , basta jogar t = 120 na expressão de S ( t ) . Mas espera, ainda tem uma constante ali que não pode ser desprezada! E vamos dar conta dela agora!

Lambra que foi dito no enunciado que inicialmente havia 20   K g de sal? Pois então, é essa informação que vai nos dizer o valor da constante K . Se INICIALMENTE havia 20   K g de sal, significa que pra t = 0 temos que S t = 20   K g . Então substituindo esses valores na expressão que nós encontramos:

S 0 = 20 = K e 0 500 = K

K = 20

Com isso, podemos reescrever a expressão:

S t = 20 e - t 500

E para que t = 120   m i n u t o s , como pedido no problema, vamos achar:

S 120 = 20 e - 120 500

Passo 4

Resolvendo a letra b):

Esse item é bem tranquilo!! Você lê o enunciado e pensa: será que é só isso mesmo? E eu respondo: YEEAAAAAAH!!

Ele disse no enunciado que o tanque tem 8000 litros de capacidade, e 5000 estavam cheios. Na situação do item taxa de água que entra é exatamente igual a que sai, que é 10 litros por minuto. Então no momento em que o ralo é tampado, o tanque ainda tem 5000 litros ocupados. Aí ele vem te perguntar quanto tempo leva pra encher o tanque todo, ou seja, quanto tempo leva pra encher os 3000 litros restantes, com a mesma vazão de 10 litros por minuto. Aquela informação de 0,02   K g   d e   s a l / l i t r o é só pra te confundir, você só vai usá-la na letra c).

Então você manda pra ele assim:

10 l i t r o s m i n u t o = 3000   l i t r o s Δ t

E aí é só correr por abraço!!

Δ t = 300   m i n u t o s

Passo 5

Agora vamos resolver a letra c). Então pensem só: Nesses 3000 litros que entraram pra completar o tanque, entrou também uma quantidade de sal Q que é igual a 0,02 K g   d e   s a l l i t r o × 3000   l i t r o s , certo? Então a quantidade total de sal quando o tanque está completo vai ser S t o t a l = Q + S ( 120 ) .

Logo,

S t o t a l = 60 + 20 e - 6 25     K g   d e   s a l

Resposta

a )   S 120 = 20 e - 6 25     K g   d e   s a l

b )   Δ t = 300   m i n u t o s

c ) S t o t a l = 60 + 20 e - 6 25     K g   d e   s a l

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Resolva o Exercício 22 se o tanque estiver cheio até a metade de óleo, que tem densidade de 900 kg/m³.
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Use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = x ; y = 0 ; y = x - 2