Caso discreto e contínuo

Teoria Completa

Introdução

Opa, tudo certinho?

Espero que você lembre que nós já vimos o método dos mínimos quadrados. Até aí, não há nada novo sob o sol meu caríssimos!

AH, mas peraí... o método dos mínimos quadrados não é aquela parada que nós usamos pra quase todos os experimentos pra achar um padrãozito?

Sim, meu amadinho!

Aí é que tá, existem algumas particularidades desse método que vamos entender agora!

Recapitulando um pouco, o método dos mínimos quadrados. Basicamente: temos um conjunto de pontos experimentais e aleatórios, com eles, nós encontramos um polinômio que melhor se ajusta. Nós definimos e achamos uma função que em um dado intervalo permite achar o valor da função no ponto que quisermos.

Vamos agora, entender os casos de métodos mínimos quadrados existentes, caso discreto e caso contínuo!

Caso discreto

Opa, tudo certinho?

Nesse caso nós conhecemos a função, mas que podemos aproximá-las apenas alguns pontos:

Quando plotamos o diagrama de dispersão, temos:

Perceba, que há um comportamento cíclico da função e que ela parece uma reta! Maaaaaaaaaaaaaas, o grande questionamento aqui é: qual reta se ajusta bem nesse caso ?????

Quando usamos o método da regressão linear temos:

f x ≈ g x = a 1 g 1 x + a 2 g 2 ( x )

f x ≈ a 1 x + a 2

E:

g 1 x = x

g 2 x = 1

A nossa missão aqui é encontrar um valor para a 1 e a 2 onde o erro será mínimo!

No método dos mínimos quadrados:

Mas nesse caso, teremos que ter o mínimo para a 1 e a 2

Então, derivamos em relação a a 1 , e obtemos:

Ao derivar em relação a a 2 , obtemos:

Assim, conseguimos montar um sistema com os parâmetros que minimizam a 1 e a 2 , e respeitam o sistema abaixo:

Com isso, conseguimos um sistema de equações normais, e como a matriz A será simétrica, definida positiva nós podemos usar Cholesky.

Caso contínuo

Mas, o que será que acontece quando não temos só aquele famigerado conjuntinho de pontos e no lugar, nós temos uma função contínua? EIta, mas como assim????

Imagine a seguinte função:

Aqui, o erro será dado pela área entre as curvas, e para minimizar o erro teremos:

Maaaaaaaaaaaaaaaaas, temos que achar os termos a 1 até a n para minimizar os erros!

Derivando em relação a a i :

Igualando todas as derivadas parciais a zero, temos, portanto o seguinte sistema de equações normais:

Quando temos o determinante do sisteminha de equações diferentes de zero, conseguimos um único parâmetro que minimiza o erro quadrático. E se as equações forem linearmente independentes o determinante será diferente de zero!!!!!!!!!! Bora fazer exercício?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Material Cálculo numérico ICMC- Caso discreto

Utilizando o método discreto, obtenha a reta que melhor se ajusta ao seguinte problema:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que encontrar a reta g ( x )   =   x a 1   +   a 2 que se ajusta bem aos pontos e resolve o sistema .

Considerando os dados:

Vamos montar uma daquelas famigeradas tabelinhas mágicas para resolver o sistema, contendo os seguintes somatórios: x , x 2 ,   f x e   f x . x :

Com esses dados, conseguimos montar um sisteminha com os dados encontrados:

Solucionando o sistema, ficamos com:

a 1 =   - 3,9960

a 2   =   0.9860

Resposta

a 1 =   - 3,9960

a 2   =   0.9860

Exercício Resolvido #2

Material Cálculo numérico ICMC- Caso discreto

Utilizando o método discreto, obtenha a reta que melhor se ajusta ao seguinte problema:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos que encontrar a reta g ( x )   =   x a 1   +   a 2 que se ajusta bem aos pontos e resolve o sistema .

Considerando os dados:

Vamos montar uma daquelas famigeradas tabelinhas mágicas para resolver o sistema, contendo os seguintes somatórios: x , x 2 , x 3 , x 4 , x 2 . f x ,   f x e   f x . x :

Com esses dados, conseguimos montar um sisteminha com os dados encontrados:

115 a 1 + 27 a 2 + 19 a 3 = 565

27 a 1 + 19 a 2 + 3 a 3 = 134,98

19 a 1 + 3 a 2 + 6 a 3 = 90

Passo 2

Solucionando o sistema por qualquer um dos métodos de resolução de sistemas lineares.

115 a 1 + 27 a 2 + 19 a 3 = 565

27 a 1 + 19 a 2 + 3 a 3 = 134,98

19 a 1 + 3 a 2 + 6 a 3 = 90

Link do programa: https://matrixcalc.org/pt/slu.html

Para facilitar a visualização, usaremos um programa que soluciona sistemas lineares pelo método de Gauss, que já vimos anteriormente e nosso objetivo aqui é entender o método dos mínimos quadrados!

Resposta

a 1 =   5,0893

a 2   =   0.0515

a 3   =   - 1,1403

Exercício Resolvido #3

Adaptado do material aula 18- Ime Unicamp

Encontre a reta que melhor se aproxima do polinômio f x = 4 x 3 em   [ 0,1 ] .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para encontrar a reta que melhor se aproxima do polinômio, fazemos considerações iniciais:

g 1 x = x

g 2 x = 1

A reta que irá se aproximar melhor do polinômio é:

φ x = a 1 x + a 2 = a 1 g 1 ( x ) + a 2 g 2 ( x )

Passo 2

Aqui, montaremos a nossa matriz e sistemas de equações partindo das integrais no intervalo dado:

a 11 = < g 1 , g 1 > = ∫ a b x 2 d x = 1 3 x 3 0 1 = 1 3

a 1 2 = a 21 = < g 1 , g 2 > = ∫ a b x d x = 1 2 x 2 0 1 = 1 2

a 22 = < g 2 , g 2 > = ∫ a b 1 d x = x 0 1 = 1