Interpolação inversa

Teoria Completa

Introdução

Opa, tudo bem. Vamos começar a falar de uma parada mucho loka hehehhehe.

A interpolação inversa serve basicamente para encontrar zeros de funções desconhecidas ... até aí tudo suave né?

A diferença agora, é que além de precisarmos ter váaaaaaaaaaaaaaarios pontos tabelados com nós n + 1 diferentes ( x 0 , x 1 , … ,   x n ) .

A diferença agora é que vamos procurar um valor de x *   tal que f   x * = y ^ - sendo y ^ valor do contradomínio em um intervalor [ f ( x 0 ) , f ( x n ) ] .

Nós vamos usar uma tal de “tabela inversa” ... Eita, o que que é isso?

O que faremos aqui é inverter os valores, tudo aquilo que era x vira   y , e y faz papel de x .

E aí nós trabalhamos com a função f ( x ) no modo f - 1 , que infelizmente, desconhecemos tanto quanto a f ( x ) .

Mas... como se resolve essa coisa? Existem duas abordagens, se liga ai!!

Primeira

Nesse primeiro caso, nós encontramos um polinômio   P n x que interpole f ( x ) em x 0 , x 1 , … ,   x n e depois achar x * tal que   P n x = y ^ , sendo necessário achar a raiz do polinômio (por qualquer outro método já estudado para encontrar raízes ).

Segunda

Considerando que f x é irreversível, pomos interpolar f - 1 que contém y ^ .

Considerações gerais para resolução de problemas

Imagine a seguinte tabela:

Onde o exercício dá um valor η ϵ y 0 , y n   e   u m   c o n j u n t o   d e   p o n t o s . Iremos determinar a raiz ξ dentro do intervalo dado ( x 0 , x n ) , de modo que iremos encontrar f ξ = η .

Para resolver o exercício, encontramos:

Um polinômio P n que interpole f nos pontos dados, e com ele achamos a raiz. Nesse caso não teremos estimativa do erro e podemos inverter os valores para usar a interpolação inversa.

Uma condição importante para que uma função contínua (em um intervalo) seja irreversível é que ela seja monótona crescente ou decrescente (ouuuuuu só sobe ou só desce).

Crescente:

y 0   <   y 1   <   . . .   <   y n

Decrescente:

y 0   >   y 1   >   . . .   >   y n .

Tranquilo? Bora fazer exercícios que você já vai estar manjando tudo de interpolação inversa!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Adaptado de X415 Aplicação de Interpolação Inversa do canal CCL-22

Considere o conjunto de pontos abaixo e encontre um valor x * , tal que f ( x * ) = 2 . Resolva encontrando o polinômio interpolador de Lagrange de grau 1:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui, vamos encontrar x * , tal que f ( x * ) = 2

E 2 está dentro do intervalor de [ 1,82 ;   2,01 ] que são os pontos que iremos pegar, os demais pontos usaremos só para outros tipos de polinômios!

Por Lagrange:

P 1 x = f ( x 0 ) ( x - x 1 ) ( x 0 - x 1 ) + f ( x 1 ) ( x - x 0 ) ( x 1 - x 0 )

Considerando x 0 = 0,6   e   x 1 = 0,7

P 1 x = 1,82 ( x - 0 , 7 ) ( 0,6 - 0,7 ) + 2,01 ( x - 0,6 ) ( 0,7 - 0,6 )

P 1 x = - 18,2 x + 12,74 + 20,1 x - 12,06

P 1 x = 1,9 x + 0,68

Passo 2

Agora, podemos calcular o x * nesse polinômio, Vimos que P 1 x * = y ^

E y ^ = 2 :

P 1 x * = 2

P 1 x * = 1,9 x * + 0,68

2 = 1,9 x * + 0,68

x * = 0 , 6 946368

Resposta

x * = 0,6946368

Exercício Resolvido #2

Adaptado de Cálculo Numérico- Interpolação polinomial – Interpolação inversa. Ime-Unicamp Aula 21

Com base no conjunto de pontos abaixo, resolva a interpolação inversa usando a primeira abordagem de resolução do capítulo. Escolha o método que achar necessário para a resolução do polinômio. Além disso, encontre x * se y ^ = 1,3 :

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de iniciar a resolução do problema, vale atentar que estamos usando calculadoras diferentes e arredondamentos diferentes, o que pode acarretar pequenas divergências no resultado final, mas se chegar próximo ao que calculamos aqui já está bem aceitável!!!

Vamos encontrar um polinômio   P n x que interpole f ( x ) em x 0 , x 1 , … ,   x n e depois achar x * tal que   P n x = y ^ , sendo necessário achar a raiz do polinômio (por qualquer outro método já estudado para encontrar raízes ).

Como temos 3 pontos, podemos montar um polinômio de grau 2:

a 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,2 ) 2 = a 0 + a 1 0,3 + a 2 ( 0,3 ) 2 = a 0 + a 1 0,4 + a 2 ( 0,4 ) 2 =   1,22114 1,3499 1,4918

Podemos resolver por eliminação de Gauss, onde:

m 21 = 1 1 = m 31

Utilizando as regrinhas de Eliminação de Gauss iremos substituir a linha 2, visando zerar o termo a 21 :

E 21 n o v a = 1 - 1 = 0

E 22 n o v a = 0,3 - 0,2.1 = 0,1

E 23 n o v a = 0,09 - 0,04 = 0,05

E 24 n o v a = 1,3499 - 1.22114 = 0,12876

O mesmo processo deve ser feito para a linha 3:

E 31 n o v a = 1 - 1 = 0

E 32 n o v a = 0,4 - 0,2.1 = 0,2

E 23 n o v a = 0,16 - 0,04 = 0,12

E 24 n o v a = 1,4918 - 1.22114 = 0,27066

A nova matriz atualizada é:

a 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,2 ) 2 = 0 + a 1 0,1 + a 2 ( 0,05 ) = 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,12 ) =   1,22114 0,12876 0,27066

Agora, devemos zerar o termo a 32 !

Passo 2

Faremos o mesmo processo que o usado anteriormente:

m 32 = 0,2 0,1 = 2

Utilizando as regrinhas de Eliminação de Gauss iremos substituir a linha 2, visando zerar o termo a 21 :

E 32 n o v a = 0,2 - ( 2.0,1 ) = 0

E 33 n o v a = 0,12 - ( 0,05.2 ) = 0,02

E 34 n o v a = 0,27066 - ( 0,12876.2 ) = 0,01314

Usanto retrosubstituição, ficamos com:

a 0 = 1,005

a 1 = 0,9468

a 2 = 0,6755

O polinômio pode ser construído :

P 2 x = 0,6755 x 2 + 0,9468 x + 1,005

Passo 3

O exercício pede: x * se y ^ = 1,3

P 2 x = 0,675 x 2 + 0,9468 x + 1,005 = 1,3

0,675 x 2 + 0,9468 x + 1,005 = 1,3

0,675 x 2 + 0,9468 x - 0,295 = 0

Podemos resolver essa equação de segundo grau por Bhaskara:

x = - b ± Δ 2 a

Se:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0,9468 2 - 4 ( 0,675 . - 0,295 = 1,6935