Interpolação inversa

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Teoria

Introdução

Opa, tudo bem. Vamos começar a falar de uma parada mucho loka hehehhehe.

A interpolação inversa serve basicamente para encontrar zeros de funções desconhecidas ... até aí tudo suave né?

A diferença agora é que, além de precisarmos ter váaaaaaaaaaaaaaarios pontos tabelados com nós n + 1 diferentes ( x 0 , x 1 , … ,   x n ) , vamos ter que procurar um valor de x *   tal que f   x * = y ^ , sendo y ^ valor do contradomínio em um intervalor [ f ( x 0 ) , f ( x n ) ] .

Nós vamos usar uma tal de “tabela inversa” ... Eita, o que que é isso?

O que faremos aqui é inverter os valores, tudo aquilo que era x vira   y , e y faz papel de x .

E aí nós trabalhamos com a função f ( x ) no modo f - 1 , que infelizmente, desconhecemos tanto quanto a f ( x ) .

Mas... como se resolve essa coisa? Existem duas abordagens, se liga ai!!

Primeira

Nesse primeiro caso, nós encontramos um polinômio   P n x que interpole f ( x ) em x 0 , x 1 , … ,   x n e depois achar x * tal que   P n x = y ^ , sendo necessário achar a raiz do polinômio (por qualquer outro método já estudado para encontrar raízes ).

Segunda

Considerando que f x é irreversível, pomos interpolar f - 1 que contém y ^ .

Considerações gerais para resolução de problemas

Imagine a seguinte tabela:

Onde o exercício dá um valor η ϵ y 0 , y n   e   u m   c o n j u n t o   d e   p o n t o s . Iremos determinar a raiz ξ dentro do intervalo dado ( x 0 , x n ) , de modo que iremos encontrar f ξ = η .

Para resolver o exercício, encontramos:

Um polinômio P n que interpole f nos pontos dados, e com ele achamos a raiz. Nesse caso não teremos estimativa do erro e podemos inverter os valores para usar a interpolação inversa.

Uma condição importante para que uma função contínua (em um intervalo) seja irreversível é que ela seja monótona crescente ou decrescente (ouuuuuu só sobe ou só desce).

Crescente:

y 0   <   y 1   <   . . .   <   y n

Decrescente:

y 0   >   y 1   >   . . .   >   y n .

Tranquilo? Bora fazer exercícios que você já vai estar manjando tudo de interpolação inversa!

Primeira

Segunda

Considerações gerais para resolução de problemas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere o conjunto de pontos abaixo e encontre um valor x * , tal que f ( x * ) = 2 . Resolva encontrando o polinômio interpolador de Lagrange de grau 1:

Passo 1

Aqui, vamos encontrar x * , tal que f ( x * ) = 2

E 2 está dentro do intervalor de [ 1,82 ;   2,01 ] que são os pontos que iremos pegar, os demais pontos usaremos só para outros tipos de polinômios!

Por Lagrange:

P 1 x = f ( x 0 ) ( x - x 1 ) ( x 0 - x 1 ) + f ( x 1 ) ( x - x 0 ) ( x 1 - x 0 )

Considerando x 0 = 0,6   e   x 1 = 0,7

P 1 x = 1,82 ( x - 0 , 7 ) ( 0,6 - 0,7 ) + 2,01 ( x - 0,6 ) ( 0,7 - 0,6 )

P 1 x = - 18,2 x + 12,74 + 20,1 x - 12,06

P 1 x = 1,9 x + 0,68

Passo 2

Agora, podemos calcular o x * nesse polinômio, Vimos que P 1 x * = y ^

E y ^ = 2 :

P 1 x * = 2

P 1 x * = 1,9 x * + 0,68

2 = 1,9 x * + 0,68

x * = 0 , 6 946368

Resposta

x * = 0,6946368

Exercício Resolvido #2

Com base no conjunto de pontos abaixo, resolva a interpolação inversa usando a primeira abordagem de resolução do capítulo. Escolha o método que achar necessário para a resolução do polinômio. Além disso, encontre x * se y ^ = 1,3 :

Passo 1

Antes de iniciar a resolução do problema, vale atentar que estamos usando calculadoras diferentes e arredondamentos diferentes, o que pode acarretar pequenas divergências no resultado final, mas se chegar próximo ao que calculamos aqui já está bem aceitável!!!

Vamos encontrar um polinômio   P n x que interpole f ( x ) em x 0 , x 1 , … ,   x n e depois achar x * tal que   P n x = y ^ , sendo necessário achar a raiz do polinômio (por qualquer outro método já estudado para encontrar raízes ).

Como temos 3 pontos, podemos montar um polinômio de grau 2:

a 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,2 ) 2 = a 0 + a 1 0,3 + a 2 ( 0,3 ) 2 = a 0 + a 1 0,4 + a 2 ( 0,4 ) 2 =   1,22114 1,3499 1,4918

Podemos resolver por eliminação de Gauss, onde:

m 21 = 1 1 = m 31

Utilizando as regrinhas de Eliminação de Gauss iremos substituir a linha 2, visando zerar o termo a 21 :

E 21 n o v a = 1 - 1 = 0

E 22 n o v a = 0,3 - 0,2.1 = 0,1

E 23 n o v a = 0,09 - 0,04 = 0,05

E 24 n o v a = 1,3499 - 1.22114 = 0,12876

O mesmo processo deve ser feito para a linha 3:

E 31 n o v a = 1 - 1 = 0

E 32 n o v a = 0,4 - 0,2.1 = 0,2

E 23 n o v a = 0,16 - 0,04 = 0,12

E 24 n o v a = 1,4918 - 1.22114 = 0,27066

A nova matriz atualizada é:

a 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,2 ) 2 = 0 + a 1 0,1 + a 2 ( 0,05 ) = 0 + a 1 0,2 + a 2 ( 0,12 ) =   1,22114 0,12876 0,27066

Agora, devemos zerar o termo a 32 !

Passo 2

Faremos o mesmo processo que o usado anteriormente:

m 32 = 0,2 0,1 = 2

Utilizando as regrinhas de Eliminação de Gauss iremos substituir a linha 2, visando zerar o termo a 21 :

E 32 n o v a = 0,2 - ( 2.0,1 ) = 0

E 33 n o v a = 0,12 - ( 0,05.2 ) = 0,02

E 34 n o v a = 0,27066 - ( 0,12876.2 ) = 0,01314

Usanto retrosubstituição, ficamos com:

a 0 = 1,005

a 1 = 0,9468

a 2 = 0,6755

O polinômio pode ser construído :

P 2 x = 0,6755 x 2 + 0,9468 x + 1,005

Passo 3

O exercício pede: x * se y ^ = 1,3

P 2 x = 0,675 x 2 + 0,9468 x + 1,005 = 1,3

0,675 x 2 + 0,9468 x + 1,005 = 1,3

0,675 x 2 + 0,9468 x - 0,295 = 0

Podemos resolver essa equação de segundo grau por Bhaskara:

x = - b ± Δ 2 a

Se:

Δ = b 2 - 4 a c

Δ = 0,9468 2 - 4 ( 0,675 . - 0,295 = 1,6935

x = - 0,9468 ± 1,6935 2 . 0,675

Com essa equação, conseguimos dois valores para x * :

x * 1 = 0,2624

x * 2 = - 1,6641

Temos dois valores para x * , agora vamos analisar novamente a tabela:

Observe que sabemos o valor de y ^ = 1,3 que está dentro do intervalo [1,22114; 1,3499]. Isso significa que o valor requerido de x * deve estar entre [0,2 ; 0,3]. Com isso, podemos excluir o valor   x * 2 = - 1,6641 por estar fora do intervalo [0,2 ; 0,3].

Sendo assim para y ^ = 1,3 o valor de   x * = 0,2624 .

Resposta

y ^ = 1,3 o valor de   x * = 0,2624 .

Exercício Resolvido #3

Com base no conjunto de pontos abaixo, resolva a interpolação inversa usando a segunda abordagem de resolução do capítulo utilizando a inversão de termos e compare com a resolução do exercício anterior. Escolha o método que achar necessário para a resolução do polinômio. Além disso, encontre x * se y ^ = 1,3 :

Passo 1

Antes de iniciar a resolução do problema, vale atentar que estamos usando calculadoras diferentes e arredondamentos diferentes, o que pode acarretar pequenas divergências no resultado final, mas se chegar próximo ao que calculamos aqui já está bem aceitável!!!

O primeiro passo para resolver esse exercício é inverter as colunas, tudo aquilo que é x passa a ser y :

Agora, ficamos com : x = 1,3

Passo 2

Com base nesse conjunto de pontos, podemos montar a tabela de diferenças divididas e montar o polinômio interpolador, utilizando o método de Newton:

Com esses valores grifados, podemos montar o polinômio interpolador de ordem 2 em função de y ^ :

P 2 x = a 0 + a 1 x - x 0 + a 2 x - x 0 x - x 1

Se:

x 0 = 1,2214

x 1 = 1,3499

P 2 x = 0,2 + 0,7782 x - 1,2214 - 0,2718 x - 1,2214 x - 1,3499

Se x = 1,3   :

P 2 1,3 = 0,2 + 0,7782 x - 1,2214 - 0,2718 x - 1,2214 x - 1,3499 = 0,2622

Quando   y ^ = 1,3 o valor de x = 0,2622

Passo 3

Comparando com a resolução do método anterior, essa maneira se torna menos trabalhosa e fornece o resultado correto com menos esforço, apesar da diferença de 0,0002 entre eles.

Resposta

y ^ = 1,3 o valor de x = 0,2622

Exercício Resolvido #4

Com base no conjunto de pontos abaixo, resolva a interpolação inversa usando a segunda abordagem de resolução do capítulo utilizando a inversão de termos, encontre o valor de x quando y = 0 :

Passo 1

O primeiro passo é trocar os valores de x por y :

Passo 2

Com base nesse conjunto de pontos, podemos montar a tabela de diferenças divididas e montar o polinômio interpolador, utilizando o método de Newton:

Agora, ficamos com : x = 0

Passo 3

O polinômio interpolador passa a ser:

P 3 x = a 0 + a 1 x - x 0 + a 2 x - x 0 x - x 1 + a 3 x - x 0 x - x 1 x - x 2

Se:

x 0 = - 1

x 1 = - 0,08619

x 2 = 0,29815

P 3 x = 0 + 0,43733 x + 1 + 0,06366 x + 1 x + 0,08619 + 0,04745 x + 1 x + 0,08619 x - 0,29815

Se x = 0 :

P 3 0 = 0 + 0,43733 x + 1 + 0,06366 x + 1 x + 0,08619 + 0,04745 x + 1 x + 0,08619 x - 0,29815

P 3 0 = 0,4422

Resposta

y ^ = 0 o valor de x = 0,4422

Exercício Resolvido #5

Para retomar o conteúdo, marque V para verdadeiro, e F para falso:

( ) Se f ( x ) for irreversível num intervalo contendo η , então podemos determinar o polinômio qn que interpola f - 1 em y 0 ,   y 1 ,   y n e definimos ξ η = q n η .

( ) A função deve ser contínua e reversível.

( ) Dado f ( x ) contínua em ( x 0 , x n ) , então f ( x ) será monótona crescente se f ( x 0 ) > f ( x 1 ) > . . . > f ( x n ) e descrescente se f ( x 0 ) < f ( x 1 ) < . . . < f ( x n ) .

Passo 1

( V ) Se f ( x ) for irreversível num intervalo contendo η , então podemos determinar o polinômio qn que interpola f - 1 em y 0 ,   y 1 ,   y n e definimos ξ η = q n η .

Passo 2

( F ) A função deve ser contínua e reversível.

A função deve ser contínua e IRREVERSÍVEL no intervalo dado.

Passo 3

( F ) Dado f ( x ) contínua em ( x 0 , x n ) , então f ( x ) será monótona crescente se f ( x 0 ) > f ( x 1 ) > . . . > f ( x n ) e descrescente se f ( x 0 ) < f ( x 1 ) < . . . < f ( x n ) .

A monótona crescente é: f ( x 0 ) < f ( x 1 ) < . . . < f ( x n ) .

A monótona descrescente é: f x 0 > f x 1 > . . . > f x n .

Resposta

( V )

( F )

( V )

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17. Considere a tabela abaixoUsando um polinômio interpolador de grau