Responde Aí

Enunciado

15. Seja resolver o sistema linear A x = b pelo método de eliminação de Gauss, com estratégia de pivoteamento parcial:

se M = max i , j ⁡ { | a i j | } 1 ≤ i , j ≤ n , prove que após o primeiro estágio, a i j 1 ≤ 2 M

Passo 1

E aí, meus caros e caras aluninhos(as)!

Se liga só! Ao desenvolver o Método de eliminação de Gauss, notamos que, para que o método funcione, é necessário que linhas sejam trocadas quando o elemento pivô a k k k é nulo.

A estratégia mais simples de pivoteamento é selecionar um elemento da mesma coluna k que esteja abaixo da diagonal e tenha módulo maior do que o pivô a k k k .

Ou seja, determinamos o menor p , com k ≤ p ≤ n , tal que...

a p k k = max i , j ⁡ { | a i j | }

E depois executamos a operação E k ↔ ( E p ) . Lembrando que nenhuma permutação de coluna é necessária.

Passo 2

Então, peguemos por exemplo a matriz 3 × 3 abaixo...

A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Trocando a primeira linha pela segunda, temos que...

A = a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 11 a 1 2 a 1 3 a 31 a 32 a 33

Com isso, uma vez que 1 ≤ i , j ≤ n , o máximo valor na primeira linha será de 2 M e ficamos com...

a i j 1 ≤ 2 M

Resposta

a i j 1 ≤ 2 M

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