Enunciado

Um amplificador eletrônico com acoplamento R   -   C com três estágios em cascata tem uma resposta a um degrau unitário de tensão dada pela expressão:

g T = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T

onde T   = t / R C é uma unidade de tempo normalizada. O tempo de subida de um amplificador é definido como o tempo necessário para sua resposta ir de 10% a 90% de seu valor final. No caso, como g ( ∞ )   =   1 é necessário calcular os valores de T para os quais

0.1 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T

0.9 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T

Chamando de T 01 o valor obtido de T na primeira equação e T 09 o valor de T   obtido na segunda equação, calcular o tempo de subida.

Passo 1

E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão ela te fornece uma equação não linear, porque você não consegue isolar T = f ( 0.1 ) por exemplo e a questão pergunta quais os valores de T para cada situação que foi informada.

Para resolver esse tipo de questão precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton por ele precisar apenas de uma única estimativa e ter uma convergência mais acelerada.

Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton de equações não lineares é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 3
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 2 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse pode gerar passos demasiados.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos da equação não linear e essas equações nos é informada na nossa questãozinha.

0.1 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T

0.9 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T

Igualando a expressão a 0 ,temos:

f 1 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T - 0,1 = 0

f 2 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T - 0,9 = 0

Agora vamos calcular a derivada para utilizar o método de newton, portanto:

g ' T = d d T g T = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T

Gerando a seguinte igualdade:

g ' ( T ) = - ( - e - T ) 1 + T + T 2 2 + - 1 + T e - T = - e - T 1 + T - 1 - T - T 2 2

Portanto temos que a derivada é dada por:

g ' T = - e - T * ( - T 2 2 )

Agora que temos as funções a derivada da g ( x ) , precisamos aplicar o método de newton em cada equação e encontrar a raiz de cada equação.

Agora vamos utilizar o método de Newton, belezinha? Vamos lá

Passo 3

Vamos procurar a raiz da primeira equação que a raiz de:

f 1 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T - 0,1 = 0

E para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial x = 1 , portanto temos que:

  1. Primeiro passo: x = 1
  2. Segundo passo: f x = - 0,0197
  3. Terceiro Passo: - 0,0197 > 1 E - 2 , portanto x = 1 não é raiz
  4. Método de Newton – Cálculo da derivada: f ' 1 = 0,18394
  5. Método de Newton – incremento da solução: x = 1 - - 0,0197 0,18394 = 1,10709

Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:

  1. Primeiro passo: x = 1,10709
  2. Segundo passo: f x = 0,0010
  3. Terceiro Passo: 0,0010 < 1 E - 2 , portanto x = 1,10709 é a raiz.

Passo 4

Agora vamos procurar a raiz da segunda equação que é a

f 2 = 1 - 1 + T + T 2 2 e - T - 0,9 = 0

E para isso vamos utilizar o mesmo método, sendo assim temos que com uma estimativa x = 1 , temos que:

  1. Primeiro passo: x = 1
  2. Segundo passo: f x = - 0,8197
  3. Terceiro Passo: - 0,8197 > 1 E - 2 , portanto x = 1 não é raiz
  4. Método de Newton – Cálculo da derivada: f ' 1 = 0,18394
  5. Método de Newton – incremento da solução: x = 1 - - 0,8197 0,18394 = 5,4563

Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:

  1. Primeiro passo: x = 5,4563
  2. Segundo passo: f x = 0,00887
  3. Terceiro Passo: 0,008870 < 1 E - 2 , portanto x = 5,4563 é a raiz.

Portanto, temos que:

T 01 = 1,10709

T 09 = 5,4563

E o tempo de aumento é dado por:

Δ T = 4,3492

Uffa, finalmente terminou. E ai, curtiu? Responde Ai e vlwwwwwwwws

Resposta

Δ T = 4,3492

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