Enunciado

Um tanque de vaporização flash é alimentado com F   ( m o l e s / h ) por uma corrente de gás natural n componentes, como mostrado na F i g u r a   3.22

As correntes de líquido e vapor são designadas por L e V   m o l e s / h , respectivamente. As frações molares dos componentes na alimentação, nas correntes de vapor e líquido são designadas por z i   , x i   , y i , respectivamente. Assumindo equilíbrio líquido-vapor em estado estacionário, segue que:

F = L + V

z i F = x i L + y i V

K i = y i x i

Onde 3.36 é o balanço global, 3.37 é o balanço individual, 3.38 é a relação de equilíbrio e, K i é a constante de equilíbrio para o i-ésima componente na pressão e temperatura do tanque:

Das equações acima e do fato de

∑ x i = ∑ y i = 1

Mostra-se:

∑ i = 1 n z i ( K i - 1 ) V K i - 1 + F = 0

Supondo que F = 1000   m o l e s / h , calcule o valor de V , com duas casas decimais corretas, resolvendo a equação 3.40 , para a corrente de gás natural, à temperatura de 120   º F e pressão de 1600   p s i a , para cada um dos componentes da tabela a seguir:

Para cada valor de V , calcule os valores de L , de x i e de y i .

Passo 1

Opa galerinha do Responde Aí, meu nome é jacyara e hoje vamos resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa qual é a função objetivo do problema que é essa aqui:

∑ i = 1 n z i ( K i - 1 ) V K i - 1 + F = 0

E te dá os dados necessários para resolver o probleminha que é dado através dessa tabelinha aqui:

E pede para calcular os valores de V , x i e y i para uma vazão de alimentação de F = 1000   m o l e s / h .

O cálculo de x i e y i não é problema, porém, o cálculo de V é um problema pois não conseguimos isolar a variável V da função objetivo, sendo assim, temos aqui uma equação não linear e para resolvê-la vamos utilizar o método de Newton por ser um método que tem uma convergência mais acelerada.

E como o resultado que uma aproximação com 2 casas decimais corretas, vamos utilizar uma aproximação de 10 - 3 para garantir isso.

Bem, mas o que é o método de Newton né?

Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton de equações não lineares é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 3
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 2 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse podem gerar passos demasiados.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos da derivada para realizar o calculo do método de Newton e, portanto, temos:

∂ ∂ V f = ∂ ∂ V ∑ i = 1 n z i ( K i - 1 ) V K i - 1 + F

Portanto, temos:

∂ ∂ V f = - ∑ i = 1 n z i K i - 1 K i - 1 V K i - 1 + F 2 = - ∑ i = 1 n z i K i - 1 2 V K i - 1 + F 2

Como temos 9 componentes, vamos expandir essa soma até n = 9 e temos as seguintes equações:

∑ i = 1 9 z i ( K i - 1 ) V K i - 1 + F = 0

∂ ∂ V f = - ∑ i = 1 n z i K i - 1 2 V K i - 1 + F 2

Como as equações aqui são grandes, recomendo utilizar alguma ferramenta de calculo para otimizar o processo.

Ahh nossa estimativa inicial né? Bem, olha os dados do gás natural. Só existe componentes extremamente voláteis então imaginamos que quase tudo aí deve ser gás e vamos utilizar uma estimativa inicial de V = 900   m o l e s / h belezinha?

Agora vamos aplicar o método de Newton.

Passo 3

Aplicando o método de newton, temos:

  1. Primeiro passo: V = 900   m o l e s / h
  2. Segundo passo: f 900 = 1,39 E - 5
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. 1,39 E - 5 ≤ 1 E - 3 portanto, temos que V = 900   m o l e s / h satisfaz a equação e é uma solução com uma aproximação de 1 E - 3

Passo 4

Para calcular as demais variáveis temos que:

F = V + L

Portanto:

L = F - V = 100   m o l e s / h

E partindo da segunda equação temos:

z i F = x i L + y i V

Sendo assim temos:

z i F = x i L + y i x i V = x i L + K i V

E analogamente temos:

z i F = y i x i y i L + V = y i ( L K i + V )

Logo, para o cálculo das composições do liquido e do vapor temos que:

y i = z i F L K i + V

x i = z i F L + K i * V

Substituindo os valores de V , L e F temos:

y i = z i * 1000 100 K i + 900

x i = z i * 1000 100 + K i * 9000

E calculando i existente na seguinte tabela:

Temos que:

Grandinha né? Mas e aí, sacou? Responde Ai e vlwwwww.

Resposta

Todas as questões foram devidamente discutidas nos passos anteriores.

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