Enunciado

A equação:

t g θ   2 = s e n α * c o s ⁡ ( α ) g * R v 2 - ( α )  

Permite calcular o ângulo de inclinação, α , em que o lançamento do míssil deve ser feito para atingir um determinado alvo. Na equação acima,

  • α -ângulo de inclinação com superfície da terra com a qual é feita o lançamento do míssil
  • g – Aceleração da gravidade
  • R − Raio da terra
  • v – Velocidade do lançamento do míssil, m / s ,
  • θ – ângulo (medido do centro da terra) entre o ponto de lançamento e o ponto de impacto desejado.

Resolva o problema considerando: θ = 80 º e v tal que v 2 g * R = 1,25 , ou seja, aproximadamente 88840   m / s .

Passo 1

E aí galera do Responde Ai, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te fornece um bocado de informação em relação ao lançamento de um míssil e te informa essa equaçãozona aqui que relaciona todas as variáveis do lançamento:

t g θ   2 = s e n α * c o s ⁡ ( α ) g * R v 2 - ( α )  

Além disso te dá as seguintes informações:

θ = 80 º e v 2 g * R = 1,25

E te pergunta a seguinte informação quem é α ?

Só que aqui você não consegue isolar o α em função das demais variáveis e considera-se que isso aqui é uma equação não linear.

Só que para resolver esse tipo de questão que envolve encontrar raízes de soluções para equações não lineares, precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton por ele precisar apenas de uma única estimativa e ter uma convergência mais acelerada.

Eu não sou muito amigável com a ideia de decorar as coisas, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para equações não lineares é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 2
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 2 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse podem gerar passos demasiados.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos da equação não linear e essa equação nos é informada na nossa questãozinha.

f 1 = t g θ   2 - s e n α * c o s ⁡ ( α ) g * R v 2 - ( α )  

Substituindo os valores fornecidos pela questão na nossa equação temos que:

f 1 = t g 40   2 - s e n α * c o s c o s   α   1,5 - α   = 0

Calculando a derivada para o método de newton temos:

f 1 ' ( α ) = d d α t g 40   2 - s e n α * c o s c o s   α   1,5 - α  

Utilizando a seguinte expressão, temos:

2 s e n x c o s c o s   x   = s e n ( 2 x )

E derivando a equação temos que:

f ' α = - c o s ⁡ ( 2 α ) ( 1,5 - ( α ) ) - s e n ( α ) s e n ( 2 α ) c o s ⁡ ( α )   ( 1,5 - ( α ) ) ²      

Agora que temos as funções a derivada da f ' ( α ) , precisamos aplicar o método de newton em cada equação e encontrar a raiz de cada equação.

Mas antes de tudo, vamos fazer uma estimativa né? Como encontrar essa estimativa?

A melhor maneira é plotar a função, eu plotei fazendo α variar até 0,6 e encontrei o seguinte gráfico:

Analisando o nosso gráfico, podemos verificar que temos uma raiz próximo de 0,30   r a d então essa vai ser nossa estimativa inicial.

Agora vamos utilizar o método de newton, belezinha? Vamos lá

Passo 3

Vamos procurar a raiz da primeira equação que a raiz de:

f 1 = t g 40   2 - s e n α * c o s c o s   α   1,5 - α   = 0

E para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial α = 0,3 , portanto temos que:

  1. Primeiro passo: α = 0,3
  2. Segundo passo: f α = 0,02068
  3. Terceiro Passo: 0,02068 > 1 E - 2 , portanto α = 0,3 não é raiz
  4. Método de Newton – Cálculo da derivada: f ' 1 = - 0,94311
  5. Método de Newton – incremento da solução: α = 1 - 0,02068 - 0,94311 = 0,321981

Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:

  1. Primeiro passo: α = 0,321981
  2. Segundo passo: f α = 0,0051
  3. Terceiro Passo: 0,005 < 1 E - 2 , portanto α = 0,3219 81 é a raiz.

Essa foi rapidinho né?

Mas e aí?

Curtiu? Responde Ai, vlwwwwwws e até a próxima.

Resposta

α = 0,321981   r a d

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