Enunciado

Em cada caso:

  1. verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito ;
  2. resolva por Gauss-Seidel , se possível:

A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12

Passo 1

Fala meu camaradinha, tudo certinho?

Bora resover mais um exercício desse livro. Basicamente, vamos resolver um sisteminha de equações lineares.

A primeira coisa que temos que fazer aqui é conferir o critério de Sassenfeld, que basicamente serve para ver se os valores numéricos da diagonal principal são os maiores de suas respectivas fileiras.

Verificando o critério de Sassenfeld:

β 1 = 1 + 1 10 = 0.2

β 2 = 0.2 ∙ 1 + 1 10 = 0.12

β 3 = 0.2 ∙ 1 + 0.12 ∙ 1 10 = 0.032

Logo, β = 0.2 < 1 . O critério é satisfeito.

Agora, podemos começar a resolver o problema usando Gauss-Seidel.

Passo 2

Fala meu camarinha, vamos começar a resolver esse exercício. Mas uma coisa importante que o exercício não nos deu é o critério de parada. Ou seja, aquilo que vai dizer que estamos chegando na resposta certa ou não. Vamos definir um critério de ε = 0.005 só para termos um parâmetro, feshow?

Bora calcular então, vamos primeiro transformar nossa matriz em um sistema de equações:

A = 10 1 1 1 10 1 1 1 10 ; b = 12 12 12

Então, nosso sistema será:

10 x 1 + x 2 + x 3 = 12   ( I ) x 1 + 10 x 2 + x 3 = 12 ( I I ) x 1 + x 2 + 10 x 3 = 12 ( I I I )

Na equação I isolamos x 1 , na equação I I isolamos x 2 e na equação I I I isolamos x 3 :

x 1 = 12 - x 2 - x 3 10

x 2 = 12 - x 1 - x 3 10

x 3 = 12 - x 1 - x 2 10

Basicamente nesse método vai acontecer o seguinte:

Cada iteração serve para encontrarmos o conjunto de pontos ( x 1 , x 2   ,   x 3 ) . Maaaaaaaas, como nem tudo nessa vida é lindo. Vai começar assim: temos um conjunto de pontos nulo onde x ( 0,0 , 0 ) , e usamos x 2 = x 3 = 0 para calcular o primeiro valor de x 1 .

Mas no passo seguinte não podemos fazer isso, porque já conhecemos um x 1 , então apenas x 3 = 0 , quando formos calcular x 3 teremos x 1 e x 2 calculados no passo anterior, faz sentido?

Vamos calcular!

Passo 3

Então vamos comecar considerando x ( 0,0 , 0 ) como passo inicial:

Iteração 1 :

x 1 1 = 12 - x 2 0 - x 3 0 10

x 1 1 = 1 . 2

x 2 1 = 12 - x 1 1 - x 3 0 10

x 2 1 = 1.0 8

x 3 1 = 12 - x 1 1 - x 2 1 10

x 3 1 = 0.9 72

Então temos x 1 = 1 . 2 , 1.0 8 , 0.9 72 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 1 . 2 > ε

Não atingimos o critério que era ε = 0,005   , então continuamos as iterações.

Passo 4

Iteração 2 :

x 1 2 = 12 - x 2 1 - x 3 1 10

x 1 2 = 0.99 48

x 2 2 = 12 - x 1 2 - x 3 1 10

x 2 2 = 1.00 332

x 3 2 = 12 - x 1 2 - x 2 2 10

x 3 2 = 1.000 188

Então temos x 2 = 0.9948 , 1.00332 , 1.000188 .

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.2052 > ε

Não atingimos o critério que era ε = 0,005   , então continuamos as iterações.

Passo 5

Iteração 3 :

x 1 3 = 12 - x 2 2 - x 3 2 10

x 1 3 = 0.99 96492

x 2 3 = 12 - x 1 3 - x 3 2 10

x 2 3 = 1.00 001628

x 3 3 = 12 - x 1 3 - x 2 3 10

x 3 3 = 1.000 033452

Então temos x 3 = 0.9996492,1.00001628,1.000033452 .

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0 . 0048492 < ε

Nesse caso 0.0048492 < 0,005 e então atingimos o critério, faz sentido?

Então, nossos pontos serão:

x 0.9996492 ; 1.00001628 ; 1.000033452

Se continuarmos mais umas 4 ou 5 iterações chegaremos em:

x ( 1,1 , 1 )

Resposta

x 0.9996492 ; 1.00001628 ; 1.000033452

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