Enunciado

Quando um capacitor carregado é ligado com uma resistência R , um processo de descarga do capacitor ocorre. Durante este processo, uma variável no tempo é estabelecida no circuito. Sua variação com o tempo se dá de forma decrescente e exponencial, de acordo com a expressão:

F t = I t = Q 0 R * C e x p e x p   - t R * C  

onde I é a corrente, Q 0 é a carga inicial do capacitor, C sua capacitância, R a resistência e t o parâmetro tempo.

Definindo G ( t )   =   F ( t )   -   I , o instante t em que G ( t )   =   0 , corresponde àquele em que a corrente I percorre o circuito.

Determinar t nos seguintes casos:

  1. I   =   0.83   A m p é r e , Q 0   =   7   c o u l o m b , R   =   3   O h m s , C   =   2   F a r a d
  2. I   =   0.198   A m p é r e , Q 0 =   20   c o u l o m b , R   =   9   O h m s ,   C   =   11   F a r a d .

Passo 1

E aí galera do Responde Ai, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te fornece a questão de funcionamento de um capacitor que é a seguinte:

I t = Q 0 R * C e x p e x p   - t R * C  

Aí a questão te pergunta o seguinte, quais os valores de t na qual a igualdade abaixo é verdade

G t = I t - Q 0 R * C e x p e x p   - t R * C   = 0

Nas seguintes condições:

  1. I   =   0.83   A m p é r e , Q 0   =   7   c o u l o m b , R   =   3   O h m s , C   =   2   F a r a d
  2. I   =   0.198   A m p é r e , Q 0 =   20   c o u l o m b , R   =   9   O h m s ,   C   =   11   F a r a d .

A questão não informa qual método deve ser utilizado para resolver, porém, a questão leva acreditar que se deve resolver por algum método numérico e vamos utilizar o método para resolver.

O método que vamos utilizar é o método de newton, pois, é um método cuja a convergência tende a ser mais acelerada, e o método é classificado pela seguinte sequência de passos:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 2
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 2 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse podem gerar passos demasiados.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos da equação não linear e essa equação nos é informada na nossa questãozinha.

G t = I t - Q 0 R * C e x p e x p   - t R * C   = 0

Calculando a derivada para o método de newton temos:

G ' ( t ) = d d t I - Q 0 R * C e x p ⁡ ( - t R * C )

E derivando a equação temos que:

G ' t = Q 0 R * C 2 e x p e x p   ( - t R * C )  

Agora que temos as funções a derivada, precisamos aplicar o método de newton em cada equação e encontrar a raiz de cada equação.

Mas antes de tudo, vamos fazer uma estimativa né? Como encontrar essa estimativa?

Como cada alternativa é uma situação diferente, precisamos de uma estimativa para cada alternativa, então vamos responder nos próximos passos.

Agora vamos utilizar o método de newton, belezinha? Vamos lá

Passo 3

Para resolver a alternativa a) precisamos procurar a estimativa da função, portanto temos que utilizando os dados da letra a) que é dado por:

I   =   0.83   A m p é r e , Q 0   =   7   c o u l o m b , R   =   3   O h m s , C   =   2   F a r a d

Gerando o seguinte gráfico:

Portanto, temos que a melhor estimativa é em t = 2 . Sendo assim, temos que a raiz da equação é encontrada através da seguinte equação:

G t = I t - Q 0 R * C e x p e x p   - t R * C   = 0,83 - 7 3 * 2 e x p ⁡ ( - t 3 * 2 )

E para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial t = 2 , portanto temos que:

  1. Primeiro passo: t = 2
  2. Segundo passo: f t = - 0,005
  3. Terceiro Passo: - 0,002068 < 1 E - 2 , portanto t = 2 é raiz

Essa foi rapidinho né?

Passo 4

Agora precisamos resolver a mesma equação com a situação mencionada na alternativa b),

Cujo os dados é os seguintes:

I   =   0.198   A m p é r e , Q 0 =   20   c o u l o m b , R   =   9   O h m s ,   C   =   11   F a r a d .

Gerando a seguinte equação:

G t = I t - Q 0 R * C e x p e x p   - t R * C   = 0,198 - 20 9 * 11 e x p ⁡ ( - t 9 * 11 )

Utilizando a mesma estimativa da alternativa a), temos que:

  1. Primeiro passo: t = 2
  2. Segundo passo: f t = 2,01 E - 5
  3. Terceiro Passo: 2,01 E - 5 < 1 E - 2 , portanto t = 2 é raiz

Essa foi rapidinha né? Iae sacou? Responde ai e vlwwwwwwwwww

Resposta

α = 0,321981   r a d

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