Enunciado

A Figura 3.18 corresponde a um cabo uniforme, como por exemplo uma linha de transmissão suspensa em dois apoios e sob a ação de seu próprio peso.

A curva correspondente é uma catenária, cuja equação é dada por:

y = T 0 μ c o s h c o s h   μ * x T 0   - 1

Onde:

  • T 0 – Tração no cabo em x = 0
  • μ – Peso por unidade de comprimento

Além disso temos que em x = L 2 , y = f portanto,

f = T 0 μ c o s h c o s h   μ * L 2 * T 0   - 1

E o comprimento S do cabo é dada por:

S = 2 T 0 μ s i n h s i n h   ( μ 2 * L T 0 )  

Resolva então o seguinte problema: Um cabo de telefone pesando 1.5   K g f   / m está simplesmente apoiado em dois pontos cuja distância é de 30 metros. Para um comprimento de cabo de 33 metros qual é o valor da flecha f ?

Passo 1

E aí galera do Responde Aí, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão em si te fornece um bocado de informação e pede basicamente para calcular o valor do f , porém ela não te deu o valor de T 0 . Então aqui temos um sistema de equação não linear a priori.

Mas temos uma sacadinha, olha só, podemos montar uma equação onde utilizamos a seguinte informação:

S - 2 T 0 μ ( s i n h s i n h   ( μ 2 * L T 0 ) )   = 0

Onde iremos plotar essa função para encontrar uma estimativa inicial para o valor de T 0 , uma vez que T 0 for encontrado poderemos encontrar o valor de f através da seguinte equação:

f = T 0 μ c o s h c o s h   μ * L 2 * T 0   - 1

Só que para resolver esse tipo de questão que envolve encontrar raízes de soluções para equações não lineares, precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequência de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton por ele precisar apenas de uma única estimativa e ter uma convergência mais acelerada.

Eu não sou muito amigável com a ideia de decorar as coisas, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duras variáveis é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 2
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 2 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse podem gerar passos demasiados.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos da equação não linear e essa equação nos é informada na nossa questãozinha.

f 1 = S - 2 T 0 μ ( s i n h s i n h   ( μ 2 * L T 0 ) )   = 0

Substituindo os demais valores na nossa equação temos que:

f 1 = 33 - 2 * T 0 1,5 * s i n h 1,5 * 30 2 * T 0 = 0

Calculando a derivada para o método de newton temos:

f 1 ' ( T 0 ) = d d T 0 S - 2 T 0 μ ( s i n h s i n h   ( μ 2 * L T 0 ) )  

Derivando temos que:

f ' T 0 = - 2 μ * s i n h s i n h   μ 2 * L T 0 + c o s h c o s h   μ 2 * L T 0   * - μ 2 * L T 0 2 * 2 T 0 μ    

Portanto temos que:

f ' T 0 = L T 0 * c o s h c o s h   μ 2 * L T 0   - 2 μ * s i n h ⁡ ( μ * L 2 * T 0 )

Agora que temos as funções a derivada da f ' ( T 0 ) , precisamos aplicar o método de newton em cada equação e encontrar a raiz de cada equação.

Mas antes de tudo, vamos fazer uma estimativa né? Como encontrar essa estimativa?

A melhor maneira é plotar a função, eu plotei fazendo T 0 variar até 60 e encontrei o seguinte gráfico:

Analisando o nosso gráfico, podemos verificar que temos uma raiz próximo de 30, então essa vai ser nossa estimativa inicial.

Agora vamos utilizar o método de newton, belezinha? Vamos lá

Passo 3

Vamos procurar a raiz da primeira equação que a raiz de:

f 1 = 33 - 2 * T 0 1,5 * s i n h 1,5 * 30 2 * T 0 = 0

E para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial x = 1 , portanto temos que:

  1. Primeiro passo: T 0 = 30
  2. Segundo passo: f T 0 = 0,10733
  3. Terceiro Passo: 0,10733 > 1 E - 2 , portanto T 0 = 1 não é raiz
  4. Método de Newton – Cálculo da derivada: f ' 1 = 0,198261
  5. Método de Newton – incremento da solução: x = 1 - - 0,0197 0,18394 = 29,4586

Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:

  1. Primeiro passo: T 0 = 29,4586
  2. Segundo passo: f x = - 0,0031
  3. Terceiro Passo: 0,0031 < 1 E - 2 , portanto T 0 = 29 , 4586 é a raiz.

Passo 4

Como temos que T 0 = 29,4586 é a raiz, vamos agora calcular o f , portanto temos que:

f = T 0 μ c o s h c o s h   μ * L 2 * T 0   - 1 = 29,4586 1,5 c o s h c o s h   1,5 * 30 2 * 29,4586   - 1

Portanto, temos que:

f = 6,02   m

Resposta

f = 6,02   m

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