Enunciado

Considere a integral:

𝐼   =   ∫ 0 0.8 𝑥 2 − c o s c o s   𝑥   𝑑 𝑥

a) Quantos intervalos seriam necessários para aproximar 𝐼     usando a regra do trapézio, com erro inferior a 10 − 2 .

Passo 1

Opa! Tudo na tranquilidade? Neste exercício, iremos determinar o número de intervalos necessários para que a regra do trapézio nos forneça um erro menor que 10 − 2 no cálculo da integral do enunciado. Vamos lembrar que a fórmula do erro máximo da regra do trapézio é dada por:

− h 3 12 𝑓 ′ ′ 𝑡 ,   𝑡   ∈   𝑎 , 𝑏

Vamos determinar h, para assim, encontrarmos o número de intervalos necessários. Substituindo o que temos na fórmula, ficamos com:

10 − 3 ≥ h 3 12 𝑓 ′ ′ 𝑡

Como o valor do erro tem que ser inferior a 10 − 2 , utilizamos 10 − 3 para garantir.

Calculando 𝑓 ′ ′ 𝑡 no ponto 0:

𝑓 ′ ′ 𝑡 =   2 + c o s       𝑥   =   2 + c o s   0     =   3

Calculando 𝑓 ′ ′ 𝑡 no ponto 0.8:

𝑓 ′ ′ 0.8 = 2 + c o s   0 .   8   ≈   2.7

Neste caso, 0 é o valor do intervalo que maximiza a segunda derivada da função. Como queremos o número mínimo de intervalos, vamos usar o valor que minimiza a segunda derivada, que é 𝑓 ′ ′ 0.8 = 2.7 . Substituindo na fórmula:

10 − 3 ≥ h 3 12 2.7

O que implica que h   ≈   0.2   . Com isso, podemos encontrar o número de intervalos ( 𝑛   ) da seguinte forma:

h   =   𝑏 − 𝑎 𝑛 →   0.2   =   0.8 − 0 𝑛

𝑛 = 4  

Acabamos! Até o próximo.

Resposta

4 intervalos.

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