Enunciado

Considere a matriz:

A = 4 2 2 2 5 1 2 1 6

a) Pelo método das potências calcule o autovalor de maior valor absoluto de A e seu correspondente autovetor.

b) Obtenha o polinômio característico de A pelo método de Leverrier-Faddeev.

c) Determine os demais autovalores de A .

d) Obtenha o autovetor correspondente ao autovalor λ 2 pelo processo de Leverrier - Faddeev. Suponha | λ 1 |   >   | λ 2 |   >   λ 3 .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide considerando a matriz:

A = 1 - 1 2 - 1 1 2 2 - 2 8

a) Pelo método das potências calcule o autovalor de maior valor absoluto de A e seu correspondente autovetor.

b) Obtenha o polinômio característico de A pelo método de Leverrier-Faddeev.

c) Determine os demais autovalores de A .

d) Obtenha o autovetor correspondente ao autovalor λ 2 pelo processo de Leverrier - Faddeev. Suponha | λ 1 |   >   | λ 2 |   >   λ 3 .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha dado a matriz,

A = 1 - 1 2 - 1 1 2 2 - 2 8

Temos que na letra (a) para adotar o autovalor pelo método das potências temos,

A = 1 - 1 2 - 1 1 2 2 - 2 8 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ → 1 - λ - 1 2 - 1 1 - λ 2 2 - 2 8 - λ

Ficando,

i j k 1 - λ - 1 2 - 1 1 - λ 2 2 - 2 8 - λ i j 1 - λ - 1 - 1 1 - λ 2 - 2

Chegando em,

- λ 3 - 16 λ 2 + 23 λ + 7

Já na letra (b) obtendo o polinômio característico de Leverrier temos,

- λ 3 - 16 λ 2 + 23 λ + 7

Já na letra ( c ) para encontrar os autovalores temos que,

λ - λ 2 - 16 λ + 23 = - 7

Sendo as variações composta por,

λ 1 = - 7 ,     λ 2 = - 8 + 87 ,         λ 3 = - 8 - 87

E por fim na letra (d) os autovetores vão ficar,

1 - 1 2 - 1 1 2 2 - 2 8 λ 1 λ 2 λ 3 = 1 0 0

λ 1 - λ 2 + 2 λ 3 = 1 - λ 1 + λ 2 + 2 λ 3 = 0 2 λ 1 - 2 λ 2 + 8 λ 3 = 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) - λ 3 - 16 λ 2 + 23 λ + 7

b) - λ 3 - 16 λ 2 + 23 λ + 7

c) λ 1 = - 7 ,     λ 2 = - 8 + 87 ,         λ 3 = - 8 - 87

d) λ 1 - λ 2 + 2 λ 3 = 1 - λ 1 + λ 2 + 2 λ 3 = 0 2 λ 1 - 2 λ 2 + 8 λ 3 = 0

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