Enunciado

Considere as matrizes:

A = 1 3 - 1 5 ;       B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4

Para cada uma delas:

a) calcule P ( λ ) e suas raízes algebricamente;

b) calcule P ( λ ) pelo método de Leverrier;

c) calcule os autovalores e autovetores pelo método de Leverrier-Faddeev;

d) calcule os autovalores pelo método de potências;

e) calcule os autovalores pelo método L R ;

f) calcule os autovalores pelo método Q R .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide considerando as matrizes:

A = 1 3 - 1 5 ;       B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4

Para cada uma delas:

a) calcule P ( λ ) e suas raízes algebricamente;

b) calcule P ( λ ) pelo método de Leverrier;

c) calcule os autovalores e autovetores pelo método de Leverrier-Faddeev;

d) calcule os autovalores pelo método de potências;

e) calcule os autovalores pelo método L R ;

f) calcule os autovalores pelo método Q R .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha dada as matrizes,

A = 1 3 - 1 5 ;       B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4

Temos que na letra (a) para P ( λ ) algebricamente temos,

A = 1 3 - 1 5 = 5 - - 3 = 8

Ficando,

P λ = 8

B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4 → - 20 - - 18 + - 54 - - 36 + - 54 - - 90 = - 2 - 18 + 36 = 16

Na letra (b) determinando pelo método de Leverrier temos,

A = 1 3 - 1 5 → 1 - λ 3 - 1 5 - λ

Ficando,

λ 2 - 6 λ + 8

B = i j k 1 - λ - 3 3 3 - 5 - λ 3 6 - 6 4 - λ i j 1 - λ - 3 3 - 5 - λ 6 - 6

Chegando em,

λ 3 - 54 λ 2 - 36 λ + 20

Na letra ( c ) os autovalores e autovetores pelo método de Leverrier, temos

A = 1 3 - 1 5 x 1 x 2 = λ x 1 x 2 →   x 1 + 3 x 2 = λ x 1 - x 1 + 5 x 2 = λ x 2

B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4 x 1 x 2 x 3 = λ x 1 x 2 x 2 → x 1 - 3 x 2 + 3 x 3 = λ x 1 3 x 1 - 5 x 2 + 3 x 3 = λ x 2 6 x 1 - 6 x 2 + 4 x 3 = λ x 3

Passo 3

Já na letra (d) para os autovalores pela soma da potência temos,

A = 1 2 + 5 2 = 26

B = 1 + 25 + 16 = 42

Na letra (e) calculando método de L R , temos

A = 1 3 - 1 5 = 1 2 + 3 2 + - 1 2 + 5 2 = 1 + 9 + 1 + 25 = 36

B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4 = 1 2 + - 3 2 + 3 2 + 3 2 + - 5 2 + 3 2 + 6 2 + - 6 2 + 4 2 = 19 + 43 + 88 = 150

E por fim na letra (f) para o método Q R , temos

A = 1 3 - 1 5 x 1 x 2

Ficando,

S = a 21 a 11 2 + a 21 2 = - 1 1 2 + - 1 2 = - 1 2

C = a 11 a 11 2 + a 21 2 = 1 1 2 + - 1 2 = 1 2

Ficando,

1 2 3 - 5 1 2

Já para,

B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4

Temos,

S = a 21 a 11 2 + a 21 2 = 6 1 2 + 6 2 = 6 37

C = a 11 a 11 2 + a 21 2 = 1 1 2 + 6 2 = 1 37

Que vai ficar,

B = 6 37 - 3 1 37 3 - 5 3 1 37 - 6 6 37

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) A = 8 e B = 1 - 3 3 3 - 5 3 6 - 6 4 = 16

b) λ 3 - 54 λ 2 - 36 λ + 20

c) x 1 + 3 x 2 = λ x 1 - x 1 + 5 x 2 = λ x 2 e x 1 - 3 x 2 + 3 x 3 = λ x 1 3 x 1 - 5 x 2 + 3 x 3 = λ x 2 6 x 1 - 6 x 2 + 4 x 3 = λ x 3

d) A = 26 e B = 42

e) A = 36 e B = 150

f) 1 2 3 - 5 1 2 e B = 6 37 - 3 1 37 3 - 5 3 1 37 - 6 6 37

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