Enunciado

Na engenharia química, reatores do tipo PFR são frequentemente usados para converter reagentes em produtos. Sabe-se que a eficiência de conversão às vezes pode ser melhorada reciclando uma fração do produto como mostrado na Figura 3.19 a seguir:

A taxa de reciclo é definida por:

R = v o l u m e   d o   f l u i d o   q u e   r e t o r n a   a o   r e a t o r v o l u m e   d o   f l u i d o   q u e   s a i   d o   r e a t o r

Supondo que estamos processando um reagente A afim de que gerar um reagente B , segundo a expressão autocatalitica:

A + A → B + B

Pode-se encontrar a razão ótima de reciclo satisfaz a equação:

l n l n   1 + R ( 1 - x a ) R ( 1 - x a ) = R + 1 R ( 1 + R 1 - x a )  

onde x a É a fração de reagente A que é convertido no produto B. A taxa ótima de reciclo corresponde ao reator de menor tamanho possível para se atingir o nível de conversão desejado. Determine as razões de reciclo necessárias para se minimizar o tamanho do reator, resolvendo a equação (3.35) para as seguintes frações de conversão ( x a ), do reagente A no produto B:

  1. x a = 0,99
  2. x a = 0,995
  3. x a = 0,999
  4. x a = 0,9999
  5. x a = 0,99999

Passo 1

E aí galera do Responde Aí, aqui quem fala é a jacyara e hoje vamos resolver mais uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te fornece um bocado de informação, porém, em síntese a questão só te pergunta uma coisa.

Dada essa equação:

l n l n   1 + R ( 1 - x a ) R ( 1 - x a ) = R + 1 R ( 1 + R 1 - x a )  

Quais são os valores de R que satisfaz essa igualdade, sendo que, os valores de x a são esses aqui:

  1. x a = 0,99
  2. x a = 0,995
  3. x a = 0,999
  4. x a = 0,9999
  5. x a = 0,99999

Essa questãozinha aqui se classifica como uma questão de solução de equação não linear, pois não conseguimos explicitar o R como uma função das demais variáveis.

Portanto, precisamos utilizar algum método numérico e o método que vamos utilizar aqui é o método de newton pois, o método de newton se mostra com uma convergência mais acelerada para encontrar a solução dessas equações.

O método de newton possui o seguinte roteiro:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 2
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 2 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse pode gerar passos demasiados.

Precisamos encontrar a estimativa inicial, pessoal a estimativa inicial geralmente é complicado de encontrar, porém nessa questão não. O reator precisa de uma alta conversão, portanto, o líquido deve ficar muito tempo dentro do reator e isso faz com que ele tenha um alto valor de R portanto, vamos chutar altos valores de R e o método numérico irá realizar os cálculos.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar o valor da razão de refluxo com x a = 0,99 .Porém, antes de tudo, precisamos encontrar o valor da derivada, sendo assim temos que encontrar o valor da seguinte derivada:

f ' R = d d R ( l n l n   1 + R ( 1 - x a ) R ( 1 - x a ) - R + 1 R 1 + R 1 - x a )  

Desenvolvendo as derivadas, temos que:

f ' R = - 2 R x a + R + 1 R 2 R 1 - x a + 1 2

Agora que temos a derivada vamos começar a realizar o método numérico, certinho?

Então vamos lá.

  1. Primeiro passo: R = 600
  2. Segundo passo: f 600 = l n l n   1 + 600 ( 1 - 0,99 600 ( 1 - 0,99 ) - 600 + 1 600 1 + 600 1 - 0,99 = 0,011  
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. 0,011 > 1 E - 2 , logo temos é R = 600 não é a solução.
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' 600 = - 3,3 E - 5
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. R = 600 + 0,011 - 3,3 E - 5 = 931,1002

Como não encontramos a solução, ainda precisamos realizar o método de Newton novamente.

  1. Primeiro Passo: R = 931,1002
  2. Segundo Passo: f R = 0,004927
  3. Terceiro Passo: critério de convergência
    1. 0,004927 ≤ 1 E - 2 , portanto encontramos nossa solução aproximada.

Passo 3

Agora precisamos realizar o mesmo passo a passo, com um valor de x a = 0,995 . Vamos modificar nossa estimativa inicial e chutar um valor igual a 1000 e utilizando o mesmo passo a passo anterior temos que:

  1. Primeiro passo: R = 1000
  2. Segundo passo: f 1000 = 0,01548
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. 0,01548 > 1 E - 2 , logo temos é R = 1000 não é a solução.
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' 1000 = - 2,85 E - 5
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. R = 1000 + 0,01548 - 2,8 E - 5 = 1562,64
  6. Como não encontramos a solução, ainda precisamos realizar o método de Newton novamente.

  7. Primeiro Passo: R = 1562,64
  8. Segundo Passo: f R = 0,006897
  9. Terceiro Passo: critério de convergência
    1. 0,006897 ≤ 1 E - 2 , portanto encontramos nossa solução aproximada.

Passo 4

Todas as alternativas estão seguindo o mesmo passo a passo, o ideal é fazer manual até encontrar a solução.

Porém, para não ficar algo muito extenso, vamos chutar uma estimativa inicial já grande porque o cálculo ocorre com um único passo para uma aproximação de 1 E - 2   . Portanto, vamos utilizar uma estimativa inicial de 7000 para o valor de x a = 0,999 .

Aplicando o método de newton, temos:

  1. Estimativa inicial: R = 7000
  2. Cálculo da função: f R = 0,0085
  3. Critério de Convergência
    1. 0,0085 ≤ 1 E - 2 , portanto, temos que R = 7000 é uma raiz.

Passo 5

Realizando o mesmo passo a passo para as demais alternativas, temos que quando x a = 0,9999 temos um R = 90305,17 e quando x a = 0,99999 encontramos um R = 735804,3 .

Grandinha essa questão né? Mas relaxa, sei que você consegue. E aí curtiu? Responde Ai, Vlwwwwwws

Resposta

Todas as alternativas foram devidamente discutidas nos passos anteriores.

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