Enunciado

Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo 0.5 ,   1 .

a) 𝑥 2 + l n l n   𝑥   = 0

Determine essas raízes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bissecção.

Passo 1

Salve meu colega! Tudo tranquilo? Vamos usar o método da bissecção para encontrar uma raiz para a equação fornecida no enunciado. Antes disso, vamos verificar se de fato existe raiz no intervalo dado. Usaremos o princípio da bissecção:

𝑓 0.5 =   0.5 2 + l n l n   0.5   = − 0.443 …

𝑓 1 =   1 2 + l n l n   1   = 1

Logo, como 𝑓 0.5 × 𝑓 1   <   0   , podemos confirmar que existe raiz no intervalo.

Passo 2

Agora que justificamos a existência de raiz no intervalo, vamos aplicar o método da bissecção:

Dividindo o intervalo:

0.5 + 1 2 =   0.75

𝑓 0.75 =   0.75 2 + l n l n   0.75   =   0.2748 > 0  

Como o resultado foi positivo, vamos colocar esse 0.75   no lugar do 1   para limitar mais nosso intervalo (colocamos no lugar do 1   por que 𝑓 1 também foi maior que zero.

Novo intervalo:

0.5 ,   0.75

Limitando o intervalo novamente:

0.5 + 0.75 2 =   0.625

Repetimos o mesmo processo até achar valores do intervalo bem próximos e que, quando aplicado na função 𝑓 𝑥 _ resultam em um valor bem próximo a zero (que caracteriza uma raiz). Com mais algumas iterações chegaríamos em 𝑥 _ = 0.6530 , que quando aplicado na equação, resulta em 𝑓 0.6530 ≈ 0.00023 …

Resposta

𝑥 _   ≈   0.6530

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