Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Localize graficamente as raízes das equações a seguir:

  1. 4   c o s ( x )   -   e 2 x   =   0  
  2. x 2 - t g ( x ) = 0
  3. 1 - x l n ( x ) = 0
  4. 2 x - 3 x = 0
  5. x 3 + x - 1000 = 0

Passo 1

Letra a:

Então galera vamo lá..

Existem 3 formas de fazer isso, da pra ver as três formas na página 33 da segunda edição do livro.

A gente vai escolher aqui a II.

Primeiro, sabemos que se

4 c o s ( x ) - e 2 x = 0

então:

4 c o s ( x ) = e 2 x

O método II diz que pra achar essas raízes, a gente só precisa plotar:

g ( x ) = 4 c o s ( x )

h ( x ) = e 2 x

e comparar o lugar em que os gráficos se encontram!

Então:

Nesse caso, existirão infinitas raízes negativas de:

f ( x ) = 4 c o s ( x ) - e 2 x

Isso se dá por conta da pelo comportamento periódico da função cosseno, junto com o fato da função exponencial tender a zero no infinito.

Essas raízes negativas vão estar nos intervalos definidos pelos valores próximos de zero da função cosseno, que são periódicos, logo as raízes vão estar num intervalo:

[ k ( - π ) , ( k - 1 ) ( - π ) ] ,   p a r a   k = 1,2 , . . .

Já que a função exponencial explode para infinito de forma sempre crescente quando x é positivo, podemos perceber que só vai ter uma raiz positiva dessa f ( x ) , que vai estar no intervalo [ 0,1 ] .

Passo 2

Letra b:

Então galera vamo lá..

Existem 3 formas de fazer isso, da pra ver as três formas na página 33 da segunda edição do livro.

A gente vai escolher aqui a II.

Primeiro, sabemos que se

x 2 - t g ( x ) = 0

então:

x 2 = t g ( x )

O método II diz que pra achar essas raízes, a gente só precisa plotar:

g ( x ) = t g ( x )

h ( x ) = x 2

e comparar o lugar em que os gráficos se encontram!

Então:

Nesse caso, existirão infinitas raízes de:

f ( x ) = x 2 - t g ( x )

Isso se dá por conta da pelo comportamento periódico da função tangente, junto com o fato dela atingir valores que vão de [ - ∞ , ∞ ] , a cada ciclo periódico.

Essas raízes vão estar nos intervalos definidos pelos valores que explodem da função tangente, que são periódicos, logo as raízes vão estar num intervalo:

[ k π , k π + π 2 ] ,   p a r a   k = 1,2 , . . .

[ k π - π 2 , k π ] ,   p a r a   k =   - 1 , - 2 , . . .

Além disso, facilmente podemos verificar que t g ( 0 ) = 0 e x 2 | x = 0 = 0 , logo 0 é uma raíz também!

Passo 3

Letra c:

Então galera vamo lá..

Existem 3 formas de fazer isso, da pra ver as três formas na página 33 da segunda ediç��o do livro.

A gente vai escolher aqui a II.

Primeiro, sabemos que se

1 - x l n ( x ) = 0

então:

1 x = l n ( x )

O método II diz que pra achar essas raízes, a gente só precisa plotar:

g ( x ) = l n ( x )

h ( x ) = 1 x

e comparar o lugar em que os gráficos se encontram!

Então:

Nesse caso, existirá apenas uma única raíz, já que a função l n ( x ) só cresce e a função 1 x decresce!

Podemos observar também que esse ponto de encontro está entre [1,2].

Passo 4

Letra d:

Então galera vamo lá..

Existem 3 formas de fazer isso, da pra ver as três formas na página 33 da segunda edição do livro.

A gente vai escolher aqui a II.

Primeiro, sabemos que se

2 x - 3 x = 0

então:

2 x = 3 x

O método II diz que pra achar essas raízes, a gente só precisa plotar:

g ( x ) = 2 x

h ( x ) = 3 x

e comparar o lugar em que os gráficos se encontram!

Então:

Nesse caso, existirá duas raízes, já que a função 2 x só cresce e de forma maior que a função 3 x !

Podemos observar também que esse primeiro ponto de encontro está entre [0,1].

Já o segundo ponto, podemos ver pelo gráfico que fica entre [ 2,4 ] .

Passo 5

Então galera vamo lá..

Existem 3 formas de fazer isso, da pra ver as três formas na página 33 da segunda edição do livro.

A gente vai escolher aqui a II.

Primeiro, sabemos que se

x 3 + x - 1000 = 0

então:

x 3 = 1000 - x

O método II diz que pra achar essas raízes, a gente só precisa plotar:

g ( x ) = x 3

h ( x ) = 1000 - x

e comparar o lugar em que os gráficos se encontram!

Então:

Nesse caso podemos considerar 1000 - x como uma constante e calcular da seguinte forma.

x 3 - 1000 = 0

x = ∛ 1000

x   ≈   10

para ser mais correto, podemos dizer que a raíz vai estar

Resposta

  1. Uma raiz positiva no intervalo [ 0,1 ] .
  2. Infinitas raízes negativas k nos intervalos [ k ( - π ) , ( k - 1 ) ( - π ) ] ,   k = 1,2 , . . .

  3. 0 e infinitas raízes nos intervalos:
  4. [ k π , k π + π 2 ] ,   p a r a   k = 1,2 , . . .

    [ k π - π 2 , k π ] ,   p a r a   k =   - 1 , - 2 , . . .

  5. Uma raíz entre [ 1,2 ] .
  6. Uma raíz entre [ 0,1 ] .
  7. Uma raíz entre [ 9,10 ] .

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f ( x ) = x + l n ( x )   que possui um zero no intervalo I
Seja f ( x ) = s e n ( x ) - k x . Encontre os valores positivos de k
Calcule b/a em uma calculadora que só soma, subtrai e multiplicaCalcul