Enunciado

A equação de Kepler, usada para determinar orbitas de satélites é dada por:

M = x - E * s e n   x

Dado que E   =   0.2   e   M   =   0.5 , obtenha a raiz da equação de Kepler.

Passo 1

E aí galera do Responde Ai, quem fala aqui é a Jacyara e estamos aqui para resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão ela te fornece uma equação não linear, porque você não consegue isolar x = f ( M ) , e a questão pergunta qual é o valor de x para a situação que foi informada.

Para resolver esse tipo de questão precisamos utilizar um método iterativo, o método iterativo é um método que possui uma sequencia de passos que se repetem, até que a solução seja alcançada com a tolerância fornecida e o método que vamos utilizar é o método de newton.

Eu detesto decorar, mas sugiro que em cálculo numérico decore os passos dos métodos porque é uma ajuda imensa na resolução das questões. Enfim, o método de newton para sistemas de equações não lineares com duas equações e duras variáveis é o seguinte:

  1. Primeiro passo: estimativa inicial.
  2. Segundo passo: Calcular o valor do sistema com a estimativa inicial.
  3. Terceiro passo: verificar a convergência.

    1. f 1 ≤ 1 E - 3
  4. Quarto passo: Método de Newton – cálculo da derivada f ' ( x )
  5. Quinto passo: Calcular o incremento e a estimativa atualizada.

    1. x = x + f ( x ) f ' ( x )
  6. Sexto passo: Repetir os passos anteriores até atingir a convergência.

Como a questão não definiu o critério de convergência, vamos definir um valor de 1 E - 3 por ser um valor pequeno e se aproximar do 0 e já é um valor de bom tamanho, valores menores do que esse pode gerar passos demasiados.

Agora que temos o roteiro, vamos na prática ver como isso funciona. E aí? Podemos ir? Vamos lá.

Passo 2

Primeiramente, precisamos da equação não linear e para isso é substituir os valores fornecidos na questão para obtê-la, portanto, temos que:

x - 0,2 * s e n x = 0.5

Igualando a expressão a 0 ,temos:

f 1 = x - 0,2 * s e n x - 0,5 = 0

Agora vamos calcular a derivada para utilizar o método de newton, portanto:

f 1 ' = 1 - 0,2 * c o s ⁡ ( x )

Agora vamos utilizar o método de Newton, belezinha? Vamos lá

Passo 3

Para resolver a questão vamos utilizar o método que foi apresentado no passo 1, vamos chutar uma estimativa inicial x = 1 , portanto temos que:

  1. Primeiro passo: x = 1
  2. Segundo passo: f x = 1 - 0.2 * s e n 1 - 0,5 = 0,3317
  3. Terceiro Passo: 0,3317 > 1 E - 3 , portanto x = 1 não é raiz
  4. Método de Newton – Cálculo da derivada: f ' 1 = 0,89194
  5. Método de Newton – incremento da solução: x = 1 - 1 0,89194 = 0,628107

Como não encontramos a raiz ainda, sendo assim, precisamos aplicar o método de newton até que o valor da função seja menor que a tolerância, portanto:

  1. Primeiro passo: x = 0,628107
  2. Segundo passo: f x = 0,0158
  3. Terceiro Passo: 0,0158 > 1 E - 3 , portanto x = 0,628107 não é raiz
  4. Método de Newton – Cálculo da derivada: f ' 0,628107   = 0,838172
  5. Método de Newton – incremento da solução: x = 1 - 1 0,89194 = 0,615479

Como não encontramos a raiz ainda, vamos aplicar mais uma vez o método de newton.

  1. Primeiro passo: x = 0,615479
  2. Segundo passo: f x = 9,32 E - 3
  3. Terceiro Passo: 9,32 E - 6 ≤ 1 E - 3 , portanto é x = 0,615479 é a raiz.

Grandinho né? Eu sei, mas esse roteirozinho de passo é sempre o mesmo. Eu sei que você consegue desenrolar. E ai, curtiu? Responde Ai, vlwwww

Resposta

x = 0,615479

Exercícios de Livros Relacionados

Considere o seguinte problema:” dado um polinômio de grau n com coeficientes reais, P(z), onde z é uma variável complexa, determinar uma raiz complexa de P ( z ) , se existir, ou seja, resolver a equa
Uma loja de eletrodomésticos oferece dois planos de financiamento para um produto cujo o preço à vista é R $162,00 Plano A: entrada de R $22,00 + 9 prestações iguais de R $26,50 Plano B: entrada de R
Suponha que tenhamos um circuito temporizador 555 dado como mostra a figura 3.20 Cuja a onda de saída é da forma:Com T 1 + T 2 = 1 f Onde f é a frequência, e o ciclo de trabalho C T é dado por: C T =
A Figura 3.18 corresponde a um cabo uniforme, como por exemplo uma linha de transmissão suspensa em dois apoios e sob a ação de seu próprio peso.A curva correspondente é uma catenária, cuja equação é