Enunciado

4. Seja A x = b um sistema n × n com matriz tridiagonal ( a i j = 0 se i - j > 1 ) .

a) Escreva um algoritmo para resolver A x = b através da Eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial de modo que a estrutura espacial da matriz A seja explorada.

b) Compare o custo de resolvê-lo por Eliminação de Gauss via algoritmo tradicional, com o de resolvê-lo pelo algoritmo do item (a)

c) Teste seus resultados com o sistema:

2 x 1 - x 2 = 1 - x i - 1 + 2 x i - x i + 1 = 0 ,       2 ≤ i ≤ ( n - 1 ) - x n - 1 + 2 x n = 0

Para n = 10 .

Passo 1

a) E aí, meus caros e caras aluninhos(as)!

Se liga só! Vamos criar um algoritmo pra resolver o método de Eliminação de Gauss, de preferência, um que seja mais simples que o proposto pelo que está mostrado no site e no livro.

Vamos fazer o seguinte...

Considerando o sistema linear A x = b , onde A é uma matriz n × n . Supondo que o elemento que está na posição a k k é diferente de zero no início da etapa k . A resolução desse sistema pode ser feita da seguinte forma:

Passo 2

b) Quanto ao algoritmo geral do método de Gauss, descrito no livro e no site do Responde Aí, ele vem com a seguinte cara:

Na fase de eliminação, temos que:

E depois, para a resolução da matriz superior, é preciso obedecer os seguintes passos:

E como podemos, o algoritmo que a gente propôs ai na letra (a), vai resultar em um programa muito menos complexo e enxuto do que o descrito na letra (b). Menos linhas de código implica em um melhor programa. É o que o professor de programação sempre diz!

Passo 3

c) Nessa letra, temos que resolver o seguinte sistema abaixo:

2 x 1 - x 2 = 1 - x i - 1 + 2 x i - x i + 1 = 0 ,       2 ≤ i ≤ ( n - 1 ) - x n - 1 + 2 x n = 0

Desse modo, utilizando o algoritmo da letra (a), para o seguinte sistema abaixo para i e n variando conforme o gosto do usuário, com n ≤ 10 , temos por exemplo, o seguinte sistema abaixo...

2 x 1 - x 2 = 1 - x 2 + 2 x 3 - x 4 = 0   - x 2 + 2 x 3 = 0

Onde obtemos como resposta:

x * = 0.8       0.6     0.4     0.2 T

Resposta

c) x * = 0.8       0.6     0.4     0.2 T

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Para cada um dos sistemas lineares a seguir, analise a existência ou não de solução, bem como unicidade de solução, no caso de haver existência.
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