Enunciado

Um tubo fino e comprido está imerso na água. Na base do tubo há um reator elétrico, que descreve um movimento sobe-e-desce oscilatório. Em qualquer instante, a coordenada y da base do tubo é dada pela fórmula: y   = λ sin ⁡ ( w t ) , onde λ é a amplitude do movimento e ω é a frequência de oscilação. Medidores de deformação colocados na base do tubo medem a deformação do mesmo, em função da amplitude de oscilação λ . Os valores da deformação є medida em relação as amplitudes λ encontram-se na tabela:

Colocando os dados da tabela, num gráfico:

parece apropriado aproximar a função por uma parábola. Assim, usando o método dos mínimos quadrados:

a) ajuste a função є por função do tipo: a 0   +   a 1 λ   +   a 2 λ 2 ;

b) Faça um gráfico dos valores de є ( λ ) contra λ , obtidos através da parábola, e marque no mesmo gráfico dos pontos da tabela. Qualitativamente falando, o polinômio é uma boa aproximação?

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Um tubo fino e comprido está imerso na água. Na base do tubo há um reator elétrico, que descreve um movimento sobe-e-desce oscilatório. Em qualquer instante, a coordenada y da base do tubo é dada pela fórmula: y   = λ sin ⁡ ( w t ) , onde λ é a amplitude do movimento e ω é a frequência de oscilação. Medidores de deformação colocados na base do tubo medem a deformação do mesmo, em função da amplitude de oscilação λ . Os valores da deformação є medida em relação as amplitudes λ encontram-se na tabela:

Colocando os dados da tabela, num gráfico:

parece apropriado aproximar a função por uma parábola. Assim, usando o método dos mínimos quadrados:

a) ajuste a função є por função do tipo: a 0   +   a 1 λ   +   a 2 λ 2 ;

b) Faça um gráfico dos valores de є ( λ ) contra λ , obtidos através da parábola, e marque no mesmo gráfico dos pontos da tabela. Qualitativamente falando, o polinômio é uma boa aproximação?

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha seguindo as variações fornecidas nas tabelas e nos gráficos acima temos que na letra (a) para determinar o ajuste da função;

a 0   +   a 1 λ   +   a 2 λ 2

Temos,

x 0,010 = 45   x   10 - 6

a 0 + a 1 0,010 + a 2 0,010 2 = 45   x   10 - 6

1   x   10 - 4 a 2 + 1   x   10 - 2 a 1 + a 0 = 45   x   10 - 6

Já para,

x = 0,070 = 112   x   10 - 6

a 0 + a 1 0,0 70 + a 2 0,0 7 0 2 = 112   x   10 - 6

4,9   x   10 - 3 a 2 + 7   x   10 - 2 a 1 + a 0 = 112   x   10 - 6

Ficando,

1   x   10 - 4 a 2 + 1   x   10 - 2 a 1 + a 0 = 45   x   10 - 6 4,9   x   10 - 3 a 2 + 7   x   10 - 2 a 1 + a 0 = 112   x   10 - 6

Com isso temos que,

a 0 = 3   x   10 - 4 ;     a 1 = 6   x   10 - 4 ;   a 2 = 8   x   10 - 4

Já na letra (b) demonstrando os valores por meio de gráfico temos que,

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) a 0 = 3   x   10 - 4 ;     a 1 = 6   x   10 - 4 ;   a 2 = 8   x   10 - 4

b) gráfico demonstrado no passo anterior.

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