Enunciado

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Usando as integrais do exercício anterior com quantas divisões do intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 1 0 - 5 ?

Passo 1

As integrais são essas:

  1. ∫ 1 2 e x d x
  2. ∫ 1 4 x d x
  3. ∫ 2 14 d x x

Além disso, a fórmula do limitante do erro é essa daqui

| E | ≤ n h 3 12 ∙ m a x x ∈ [ a , b ] | f ' ' ( x ) |

Passo 2

letra a:

f ( x ) = e x ⇒ f ' ' ( x ) = e x

O valor de e x máximo no intervalo ( 1,2 ) é e 2 = 7.389 e b - a = 2 - 1 = 1 .

Na fórmula:

1 12 n 2 7.389 ≤ 1 0 - 5

n 2 ≥ 61575

n ≥ 248.14

Logo, o menor n para obtermos o erro desejado é de 249.

Passo 3

Temos:

f ( x ) = x ⇒ f ' ' ( x ) = - 1 4 x 3 / 2

O máximo dessa função no intervalo (1,4) é f ' ' ( 1 ) = - 1 4 .

E nesse caso, b - a = 4 - 1 = 3

Jogando isso na formula, temos:

3 3 12 n 2 | - 1 4 | ≤ 1 0 - 5

n 2 ≥ 56250

n ≥ 237.17

Então, o menor n para um erro de 1 0 - 5 é n = 238 .

Passo 4

Agora temos f ( x ) = 1 x ⇒ f ' ' ( x ) = 3 4 x 5 / 2

O máximo dessa derivada no intervalo (2,14) é f ' ' ( 2 ) = 0.1326 .

e   b - a = 12 .

Aplicando na fórmula:

1 2 3 12 n 2 | 0.1326 | ≤ 1 0 - 5

n ≥ 1381.82

Então agora o menor n seria 1382.

Resposta

  1. n = 249 .
  2. n = 238
  3. n = 1382 .

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