Enunciado

Use o método das secantes e o algoritmo de Briot-Ruffini para determinar a única raiz negativa da equação F x = x 3 - 2 x 2 - x + 2 = 0 , com tolerância de 10 - 2 .

Passo 1

Opa e aí galera do Responde Aí, meu nome é jacyara e hoje vamos resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa que existe uma raiz negativa no seguinte polinômio que foi informado pela questão:

F x = x 3 - 2 x 2 - x + 2 = 0

Para encontrar a raiz a questão pede para calcular utilizando o método da secante junto com o algoritmo de Briot-Ruffini.

Primeiramente precisamos entender que o método das secantes é um método numérico intervalar e isso nos informa que precisamos inserir dois valores e a raiz obrigatoriamente precisa estar entre esses dois valores.

Mas como vamos saber se a raiz está entre esses valores né?

Olha só, se tu tens uma raiz do polinômio isso quer dizer que o polinômio vale 0 na raiz, então se tu tens dois valores chamado x 1 , x 2 na qual tem duas funções F x 1 , F ( x 2 ) então se existe uma raiz entre esse intervalo temos que:

F x 1 * F x 2 ≤   0

Uma vez que já cumprimos isso, precisamos memorizar o roteirinho para realizar as continhas, eu detesto memorizar, mas isso facilita os nossos cálculos demais, então vamos lá.

  1. Primeiro passo: Estimativas iniciais de x 1 , x 2
  2. Segundo passo: Teste para verificar se a raiz existe
    1. Calcular F ( x 1 )
    2. Calcular F x 2
    3. Calcular F x 1 * F x 2 < 0   ?
  3. Terceiro passo: Calcular o valor de x pelo método da secante.
    1. x = x n - 1 f x n - x n f x n - 1 f x n - f x n - 1
  4. Quarto Passo: Calcular o valor de F ( x )
  5. Quinto Passo: F ( x ) < T o l e r a n c i a   ?
  6. Sexto Passo: se o passo 5 for não então repete tudo de novo, utilizando o valor de x como substituído de x 1 ou x 2 .

E depois vamos tentar encontrar a solução com o método de Briott-Ruffini.

E ai, podemos ir? Vamos nessa.

Passo 2

Primeiramente precisamos verificar o intervalo, como temos que o valor de x precisa ser negativo vamos utilizar o intervalor x 1 , x 2 = ( - 2,1 )

Porque quando calculamos F - 2 * F 1 < 0

Agora vamos começar o método da secante:

  1. Primeiro Passo: x 1 , x 2 = ( - 2,1 )
  2. Segundo Passo:
    1. F - 2 = - 12
    2. F 1 = 0
  3. Aqui temos uma raíz, mas a raiz é positiva, vamos verificar se existe alguma negativa ai. Então, vamos continuar:

  4. Terceiro Passo: Método da secante x = - 1
  5. Quarto Passo: F - 1 = 0
  6. Quinto Passo: F - 1 ≤ 10 - 3

Portanto, temos que a raiz negativa é dada por x = - 1 .

Passo 3

Agora vamos utilizar o método de Briott- Ruffini, temos que x = 1 é uma raiz do polinômio, então vamos dividir o polinômio por x - 1 e utilizar o algoritmo de Briott-Ruffini.

Portanto, temos que o polinômio é dado por:

F x = x 3 - 2 x 2 - x + 2 = 0

Logo colocando numa tabelinha os coeficientes do polinômio, temos:

Como temos que a raiz é 1 , coloca-se na primeira linha no primeiro elemento.

Agora repetimos o primeiro coeficiente na linha de baixo, gerando:

Para calcular o segundo elemento da segunda linha vamos multiplicar a raiz   ( 1 ) pelo primeiro elemento da segunda 1 linha e vamos somar o de cima gerando - 1 e gerando a seguinte tabela.

E vamos realizar esse passo até completar a tabela gerando os seguintes números.

Logo o polinômio resultante da divisão é:

x 2 - x - 2

E temos que o último número que é o 0 é o resto, aplicando Bhaskara no polinômio anterior temos que as raízes são x = - 1 e x = 2

E ai, sacou? Responde Ai, vlwwwwwws

Resposta

Todas as questões foram devidamente respondidas nos passos anteriores.

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