Enunciado

A equação f x = x 3 - 0.5 = 0 possui uma raiz entre 0.5 e 1.0 . usando o método de Regula Falsi e o algoritmo de Briot-Ruffini determinar essa raiz com precisão de 10 - 2 .

Passo 1

Opa e aí galera do Responde Ai, meu nome é jacyara e hoje vamos resolver uma questãozinha de cálculo numérico.

A questão te informa que existe uma raiz negativa no seguinte polinômio que foi informado pela questão:

F x = x 3 - 0.5 = 0

Para encontrar a raiz a questão pede para calcular utilizando o método da Regula Falsi junto com o algoritmo de Briot-Ruffini.

Primeiramente precisamos entender que o método das secantes é um método numérico intervalar e isso nos informa que precisamos inserir dois valores e a raiz obrigatoriamente precisa estar entre esses dois valores.

Mas como vamos saber se a raiz está entre esses valores né?

Olha só, se tu tens uma raiz do polinômio isso quer dizer que o polinômio vale 0 na raiz, então se tu tens dois valores chamado x 1 , x 2 na qual tem duas funções F x 1 , F ( x 2 ) então se existe uma raiz entre esse intervalo temos que:

F x 1 * F x 2 ≤   0

Uma vez que já cumprimos isso precisamos memorizar o roteirinho para realizar as continhas, eu detesto memorizar, mas isso facilita os nossos cálculos demais, então vamos lá.

  1. Primeiro passo: Estimativas iniciais de x 1 , x 2
  2. Segundo passo: Teste para verificar se a raiz existe
    1. Calcular F ( x 1 )
    2. Calcular F x 2
    3. Calcular F x 1 * F x 2 < 0   ?
  3. Terceiro passo: Calcular o valor de x pelo método da Regula Falsi.
    1. x = x 2 - F x 2 * ( x 2 - x 1 ) f x 2 - f x 1
  4. Quarto Passo: Calcular o valor de F ( x )
  5. Quinto Passo: F ( x ) < T o l e r a n c i a   ?
  6. Sexto Passo: se o passo 5 for não então repete tudo de novo, utilizando o valor de x como substituído de x 1 ou x 2 .

E depois vamos tentar encontrar a solução com o método de Briott-Ruffini.

E ai, podemos ir? Vamos nessa.

Passo 2

Primeiramente precisamos verificar o intervalo, como temos que o valor de x precisa ser negativo vamos utilizar o intervalor 0,5 ; 1

Porque a questão pede para utilizar essa estimativa.

Agora vamos começar o método da secante:

  1. Primeiro Passo: x 1 , x 2 = 0,5 ; 1
  2. Segundo Passo:
    1. F - 2 = - 0,375
    2. F 1 = 0,5
  3. Terceiro Passo: Método da secante x = 0,7142
  4. Quarto Passo: F 0,7142 = - 0,135568
  5. Quinto Passo: F 0,7142 ≥ 10 - 2

Como o critério de convergência não foi atingido, vamos utilizar mais uma vez o método, como temos que o valor da F x < 0 , temos que a raiz deve estar entre ( 0,7142 ; 1 ) :

  1. Primeiro Passo: ( 0,7142 ; 1 )
  2. Segundo Passo:
    1. F 0,7142 = - 0,1355
    2. F 1 = 0,5
  3. Terceiro Passo: Método da secante x = 0,7752142
  4. Quarto Passo: F 0,7752142 = - 0,03410
  5. Quinto Passo: F 0,7752142 ≥ 10 - 2

Como o critério de convergência não foi atingido, vamos utilizar mais uma vez o método, como temos que o valor da F x < 0 , temos que a raiz deve estar entre ( 0,7752142 ; 1 ) :

  1. Primeiro Passo: ( 0,7752142 ; 1 )
  2. Segundo Passo:
    1. F 0,7752142 = - 0,0341355
    2. F 1 = 0,5
  3. Terceiro Passo: Método da secante x = 0,78958088
  4. Quarto Passo: F 0,78958088 = - 0,007745
  5. Quinto Passo: F 0,7752142 ≤ 10 - 2

x = 0,78958088

Passo 3

Agora vamos utilizar o método de Briott- Ruffini, temos que x = 0.5 1 3 = 0,7937 é uma raiz do polinômio, então vamos dividir o polinômio por x - 0,7937 e utilizar o algoritmo de Briott-Ruffini.

Portanto, temos que o polinômio é dado por:

F x = x 3 + 0 * x 2 + 0 * x - 0 . 5 = x 3 - 0.5

Logo colocando numa tabelinha os coeficientes do polinômio, temos:

Como temos que a raiz é 0,5, coloca-se na primeira linha no primeiro elemento.

Agora repetimos o primeiro coeficiente na linha de baixo, gerando:

Para calcular o segundo elemento da segunda linha vamos multiplicar a raiz   ( 0,7937 ) pelo primeiro elemento da segunda 1 linha e vamos somar o de cima ( 0 ) gerando 0,5 e gerando a seguinte tabela.

E vamos realizar esse passo até completar a tabela gerando os seguintes números.

Logo o polinômio resultante da divisão é:

P x = x 2 + 0,7937 x + 0,62996 - 9,9 E - 7 x - 0,7937

Portanto temos que as demais raízes é dada por:

x 2 + 0,7937 x + 0,62996 = 0

Gerando as raízes iguais a x = - 0,39 ± 1,3747 i 2 .

E ai sacou? Responde Ai, vlwwws e até a próxima.

Resposta

Todas as questões foram devidamente respondidas nos passos anteriores.

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