Diferencial – Valor Relativo

Teoria Completa

Vimos no tipo anterior que o diferencial ( d ) pode ser aproximado pela variação ( Δ ) para pequenos valores. Por estar associado a uma aproximação, o delta pode também ser interpretado como um erro.

Imagine que João tenha uma régua péssima e decida medir o comprimento de seu carrinho de controle remoto que ele nunca mais vai brincar, porque ele já está na faculdade. Como a régua é péssima, João não tem total certeza do comprimento do carrinho, só sabe que está entre 30 c m e 31 c m .

Assim, a variação possível da medida do comprimento é o delta:

Δ x = 31 - 30 = 1 c m

Mas como esse Δ x vem de um erro na medida de João, então podemos chamá-lo de erro também. Então, toda vez que você ver a palavra erro num problema de aproximação por diferencial, saiba que se trata do velho Δ ou variação. De resto nada mudará em relação ao que a gente viu anteriormente, temos um exercício de fixação sobre isso bem quentinho para te mostrar daqui a pouco (não deixe esfriar).

Existe outro conceito simples, que você também precisa saber: o erro relativo. Ele surgiu da necessidade de saber o tamanho da besteira feita: imagine que vazaram 15 l de água. Se estamos falando de uma instalação urbana de distribuição de água, não chega a ser um problema tão grande, porque o sistema tem uma capacidade gigante.

Agora, se vazou do único balde de água que você tinha em casa, agora você está sem água, porque é praticamente toda a capacidade do balde, e tem um cômodo inteiro para secar.

O erro relativo, ou percentual, será a razão entre a variação e sua variável:

Δ x % = Δ x x

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

O lado de um quadrado mede aproximadamente 10   m , com erro possível de ± 0,1   m .

  1. Use diferenciais para estimar o erro na área calculada.
  2. Estime o erro percentual no lado e na área.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

O erro da área nada mais é do que a variação da área, ou seja, Δ A . Além disso, vimos na teoria que:

Δ A ≅ d A

Então só precisamos achar o diferencial dessa função da área. Vamos escrever a área A em função do lado l :

A = l 2

Assim, derivando:

d A d l = 2 l

Passando d l para direita:

d A = 2 l d l

Passo 2

Pela aproximação por diferencial, sabemos que:

Δ A ≅ d A ; Δ l ≅ d l

Logo:

Δ A = 2 l Δ l

Agora que temos o diferencial da área, e que vimos que ela vai ser o erro, vamos calcular no intervalo que ele deu. Ele disse que o erro do lado vai entre - 0,1   m e 0,1   m então:

- 0,1 ≤ Δ l ≤ 0,1

Multiplicando por 2 l para dar o diferencial de A ali no meio, temos:

- 0,2 l ≤ 2 l Δ l ≤ 0,2 l

- 0,2 l ≤ Δ A ≤ 0,2 l

Ele deu o ponto inicial do lado, que vai ser 10   m , então:

- 0,2 ∙ 10 ≤ Δ A ≤ 0,2 ∙ 10

- 2   m 2 ≤ Δ A ≤ 2   m 2

Esse vai ser o erro da área.

Passo 3

b)

Vamos achar agora os erros percentuais. O erro percentual nada mais é que o erro relativo que vimos na teoria.

Primeiro o erro do lado, para isso temos que dividir d l por l . Já vimos que ele quer esse erro percentual com l = 10   m , e:

- 0,1 ≤ Δ l ≤ 0,1

Assim:

- 0,1 10 ≤ d l l ≤ 0,1 10

E vamos ter:

- 0,01 ≤ Δ l l ≤ 0,01

Colocando em porcentagem e substituindo Δ l / l por Δ l % :

- 1 % ≤ Δ l % ≤ 1 %

Passo 4

Vamos agora para o erro percentual da área, primeiro temos que achar a área para l = 10 :

A = 100   m 2

E o erro percentual da área vai ficar:

- 2 100 ≤ Δ A A ≤ 2 100

- 0,02 ≤ Δ A A ≤ 0,02

Colocando isso em porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % :

- 2 % ≤ Δ A % ≤ 2 %

E achamos os erros percentuais.

Resposta

a)

- 2   m 2 ≤ Δ A ≤ 2   m 2

b)

- 1 % ≤ Δ l % ≤ 1 %

- 2 % ≤ Δ A % ≤ 2 %

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é calculada pela fórmula A = 1 4 H 2 sen ⁡ 2 θ , onde θ é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 4   c m (exatamente) e θ = 30 ° com erro possível de ± 15 ' .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de A .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . Vamos começar achando o erro de A , para isso vamos achar seu diferencial em relação a θ :

A = H 2 4 sen ⁡ 2 θ

Podemos trocar o valor de H nessa fórmula já que ele é constante:

A = 4 2 4 sen ⁡ 2 θ

A = 4 sen ⁡ 2 θ

O seu diferencial vai ser:

d A d θ = 4 cos ⁡ 2 θ ∙ 2

d A d θ = 8 cos ⁡ 2 θ

Passando d θ para direita:

d A = 8 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 2

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ A com d A , e Δ A vai ser o erro na conta. Assim:

Δ A ≅ d A

Além disso, também sabemos que Δ θ pode ser aproximado por d θ . Ele deu a variação de θ , então temos:

- 15 ' ≤ Δ θ ≤ 15 '

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

15 ' = 1 4 ° = 1 / 4 π 180 = π 720

Assim vamos ter:

- π 720 ≤ Δ θ ≤ π 720

Multiplicando isso por 8 cos ⁡ 2 θ , vamos ter:

- π 720 8 cos ⁡ 2 θ ≤ 8 cos ⁡ 2 θ Δ θ ≤ π 720 8 cos ⁡ 2 θ

Assim, aquele cara do meio é d A :

- π cos ⁡ 2 θ 90 ≤ Δ A ≤ π cos ⁡ 2 θ 90

Ele disse o valor de θ , que vai ser 30 ° , vamos passar isso para radianos:

30 ° = 30 π 180 = π 6

Assim, temos:

- π cos ⁡ π 3 90 ≤ Δ A ≤ π cos ⁡ π 3 90

- π 2 90 ≤ Δ A ≤ π 2 90

- π 180 ≤ Δ A ≤ π 180

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de A , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de θ vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de Δ A , que é só ir multiplicando a função no valor de θ que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ A A

Então precisamos achar o valor de A no valor inicial de θ

A 30 ° = 4 sen ⁡ 60 °

A = 4 ∙ 3 2 = 2 3

Já sabemos o intervalo de Δ A , então basta dividir geral nesse intervalo por A , que achamos o erro relativo

- π 180 ∙ 2 3 ≤ Δ A A ≤ π 180 ∙ 2 3

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

- 0,00160375 ≤ Δ A A ≤ 0,00160375

Passando para porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 0,160375 % ≤ Δ A % ≤ 0,160375 %

Resposta

- π 180 ≤ Δ A ≤ π 180

- 0,160375 % ≤ Δ A % ≤ 0,160375 %

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Uma piscina no formato de um trapézio isósceles tem sua área dada pela fórmula A = b 2 tan ⁡ θ   + b . H . Abaixo, uma representação dessa piscina:

Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 10   m (exatamente), b = 8   m (exatamente) e θ = 6 0 ° com erro possível de ± 1 ° .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de A .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . Vamos começar achando o erro de A , para isso vamos achar seu diferencial em relação a θ :

A = b 2 tan ⁡ θ   + b . H

Podemos trocar o valor de H e de b nessa fórmula já que ele é constante:

A = 80 2 tan ⁡ θ   + 80

A = 40 tan ⁡ θ   + 80

O seu diferencial vai ser:

d A d θ = 40 tan ⁡ θ   + 80 ' = 40 tan ⁡ θ   '

d A d θ = 40   - d tan ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ   = - 40   sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ  

d A d θ = - 40   1 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   = - 40 sin 2 ⁡ θ

Por fim:

d A d θ = - 40 sin 2 ⁡ θ

Passando d θ para direita:

d A = - 40 sin 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ A com d A , e Δ A vai ser o erro na conta. Assim:

Δ A ≅ d A

Além disso, também sabemos que Δ θ pode ser aproximado por d θ . Ele deu a variação de θ , então temos:

- 1 ° ≤ Δ θ ≤ 1 °

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

2 π -   360 ° X -   1 °

360 ° ∙ X =   1 °   ∙   2 π

X = π 180   r a d i a n o s

Assim vamos ter:

- π 180 ≤ Δ θ ≤ π 180

Multiplicando isso por - 40 sin 2 ⁡ θ , vamos ter:

π 180 40 sin 2 ⁡ θ ≥ - 40 sin 2 ⁡ θ Δ θ ≥ - π 180 40 sin 2 ⁡ θ

- π 9 2 sin 2 ⁡ θ ≤ - 40 sin 2 ⁡ θ Δ θ ≤ π 9 2 sin 2 ⁡ θ

Assim, aquele cara do meio é d A :

- π 9 2 sin 2 ⁡ θ ≤ Δ A ≤ π 9 2 sin 2 ⁡ θ

Ele disse o valor de θ , que vai ser 6 0 ° , vamos passar isso para radianos:

2 π -   360 ° X -   60 °

360 ° ∙ X =   60 °   ∙   2 π

X = 120 π 360 = π 3   r a d i a n o s

Assim, temos:

- π 9 2 sin 2 ⁡ π 3 ≤ Δ A ≤ π 9 2 sin 2 ⁡ π 3

- π 9 2 3 2 2 ≤ Δ A ≤ π 9 2 3 2 2

- π 9 2 3 4 ≤ Δ A ≤ π 9 2 3 4

- 8 π 27 ≤ Δ A ≤ 8 π 27

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de A , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de θ vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de Δ A , que é só ir multiplicando a função no valor de θ que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ A A

Então precisamos achar o valor de A no valor inicial de θ

A 6 0 ° = 40 tan ⁡ π 3   + 80

A = 40 3   + 80 = 40 3 3   + 80 = 40 3 + 240 3

A 0 = 40 3 + 6 3 = 40 3 + 6 3

Já sabemos o intervalo de Δ A , então basta dividir geral nesse intervalo por A , que achamos o erro relativo

- 8 π 27 ≤ Δ A ≤ 8 π 27

- 8 π 27 40 3 + 6 3 ≤ Δ A A ≤ 8 π 27 40 3 + 6 3

- 8 π 27 3 40   3 + 6 ≤ Δ A A ≤ 8 π 27 3 40   3 + 6

- π 9 1 5   3 + 6 ≤ Δ A A ≤ π 9 1 5   3 + 6

- π 45   3 + 6 ≤ Δ A A ≤ π 45   3 + 6

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

- 0 , 00902906 ≤ Δ A A ≤ 0,00902906

Passando para porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 0 , 902906 % ≤ Δ A % ≤ 0 , 902906 %

Resposta

- 8 π 27 ≤ Δ A ≤ 8 π 27

- 0,902906 % ≤ Δ A % ≤ 0,902906 %

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Uma menina muito curiosa resolveu calcular a área superficial e o volume de uma corda bem grossa. Sabendo que a corda tinha comprimento suficiente, e exato, para envolver um bambolê de 0,5   m de raio e que a corda tinha raio exato de 1   c m . O erro possível de cálculo do raio da corda é de 0,1   c m Estime:

  1. O erro e o erro percentual do cálculo da área superficial da corda
  2. O erro e o erro percentual do cálculo do volume da corda

OBS: A menina sabe que, independente de calcular como ela fez esse cálculo, a proporção entre o raio do bambolê e da corda é fixa.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando a gente vê um OBS numa questão, geralmente é pra gente ficar atento porque tem dica boa aí! Nesse caso, como a menina sabe a proporção, a gente precisa saber também!

Ela não sabe as medidas exatas dos raios, nós sabemos. Se o raio R do bambolê é 0,5 m = 50   c m e o raio r da corda é 1   c m , então:

R = 50 r

Ta, mas e daí? Bem, a gente vai poder usar essa proporção pra escrever o volume e a área superficial da corda em função de uma variável só. Quer ver? Se a corda é um cilindro, temos que sua altura vale:

H = 2 π R = 100 π r

Que nada mais é do que o comprimento do bambolê. E a área da base desse cilindro vai ser então:

A = π r 2

Show de bola, calculamos então o volume e a área superficial por:

V = A H

S = 2 A + 2 π r H

O que fica:

V r = π r 2 ∙ 100 π r = 100   π 2   r 3

S r = 2 π r 2 + 2 π r   100 π r = 2 π r 2 1 +   100 π

Passo 2

Agora vamos calcular o diferencial das funções de r que vimos acima. Saca só:

d V d r = 300   π 2   r 2

d S d r = 4 π r 1 +   100 π

E passando por outro lado o d r :

d V = 300   π 2   r 2   d r

d S = 4 π r 1 +   100 π   d r

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ S com d S e relacionar Δ V com d V . Δ S e Δ V vão ser o erro na conta. Assim:

Δ V ≅ d V

Δ S ≅ d S

Além disso, também sabemos que Δ r pode ser aproximado por d r . Ele deu a variação de r , então temos:

- 0,1   c m ≤ Δ r ≤ 0,1   c m

Esse é o intervalo do erro. Multiplicando isso por 4 π 1 +   100 π , vamos ter:

- 0,4 π 1 +   100 π ≤ 4 π Δ r 1 +   100 π ≤ 0,4 π 1 +   100 π

Assim, aquele cara do meio é d S :

- 0,4 π 1 +   100 π ≤ Δ S ≤ 0,4 π 1 +   100 π

Pro volume, basta então a gente multiplicar o intervalo de variação do erro do raio por 300   π 2   r 2 :

- 0,1   c m ≤ Δ r ≤ 0,1   c m

- 30   π 2   r 2   ≤ 300   π 2   r 2   Δ r ≤ 3 0   π 2   r 2  

- 30   π 2   r 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2   r 2  

Sendo que o valor de r ali dentro é o valor inicial, dado no enunciado, de 1   c m , logo:

- 30   π 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2  

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessas paradas. Para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ S S

E r e l a t i v o = Δ V V

Então precisamos achar o valor de S no valor inicial de r :

S 1 c m = 2 π 1 2 1 +   100 π

S = 2 π 1 +   100 π

E o valor de V no valor inicial de r também:

V 1   c m = 100   π 2   1 3

V = 100   π 2

Já sabemos o intervalo de Δ S , então basta dividir geral nesse intervalo por S , que achamos o erro relativo:

- 0,4 π 1 +   100 π ≤ Δ S ≤ 0,4 π 1 +   100 π

- 0,4 π 1 +   100 π 2 π 1 +   100 π ≤ Δ S S ≤ 0,4 π 1 +   100 π 2 π 1 +   100 π

- 0,4 2 ≤ Δ S S ≤ 0,4 2

- 0,2 ≤ Δ S S ≤ 0,2

Passando para porcentagem e substituindo Δ S / S por Δ S % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 20 % ≤ Δ S % ≤ 20 %

Agora, pro cálculo do volume, fazemos a mesma coisa, beleza? Já sabemos o intervalo de Δ V , então basta dividir geral nesse intervalo por V , que achamos o erro relativo:

- 30   π 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2  

- 30   π 2 100   π 2   ≤ Δ V V ≤ 30   π 2 100   π 2  

- 0,3   ≤ Δ V V ≤ 0,3  

Passando para porcentagem e substituindo Δ V / V por Δ V % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 3 0 % ≤ Δ V % ≤ 3 0 %

Resposta

  1. - 0,4 π 1 +   100 π ≤ Δ S ≤ 0,4 π 1 +   100 π

    - 20 % ≤ Δ S % ≤ 20 %

- 30   π 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2  

- 30 % ≤ Δ V % ≤ 30 %

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Um professor um pouco pirado entregou pra seus alunos o gráfico da curva x 2 - 9 e pediu para que calculassem a área abaixo do gráfico entre 3 e 5 . Os alunos optaram por calcular essa área usando um triângulo retângulo cuja hipotenusa tangenciasse a curva. Abaixo, uma representação de como esse triângulo muda em função do ponto de tangência:

Sabendo que os alunos escolheram como ponto de tangência x = 4 e que o erro na marcação desse ponto é de ± 0,1 calcule o erro percentual no cálculo de A . Depois, calcule também o mesmo erro em relação à área real abaixo da curva.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . A nossa dificuldade nessa questão vai ser achar a expressão de A em função de uma variável pra podermos variar. De qualquer forma, a área do retângulo vai ser:

A = b . h 2

Mas quem vai ser a base e a altura? Pô, o truque pra tirar de letra quem vai ser b e h é lembrar que a hipotenusa desse triângulo é uma reta tangente, e retas tangentes tem a seguinte expressão:

y - y 0 = m x - x 0