Teoria Completa
Vimos no tipo anterior que o diferencial () pode ser aproximado pela variação () para pequenos valores. Por estar associado a uma aproximação, o delta pode também ser interpretado como um erro.
Imagine que João tenha uma régua péssima e decida medir o comprimento de seu carrinho de controle remoto que ele nunca mais vai brincar, porque ele já está na faculdade. Como a régua é péssima, João não tem total certeza do comprimento do carrinho, só sabe que está entre e .
Assim, a variação possível da medida do comprimento é o delta:
Mas como esse vem de um erro na medida de João, então podemos chamá-lo de erro também. Então, toda vez que você ver a palavra erro num problema de aproximação por diferencial, saiba que se trata do velho ou variação. De resto nada mudará em relação ao que a gente viu anteriormente, temos um exercício de fixação sobre isso bem quentinho para te mostrar daqui a pouco (não deixe esfriar).
Existe outro conceito simples, que você também precisa saber: o erro relativo. Ele surgiu da necessidade de saber o tamanho da besteira feita: imagine que vazaram de água. Se estamos falando de uma instalação urbana de distribuição de água, não chega a ser um problema tão grande, porque o sistema tem uma capacidade gigante.
Agora, se vazou do único balde de água que você tinha em casa, agora você está sem água, porque é praticamente toda a capacidade do balde, e tem um cômodo inteiro para secar.
O erro relativo, ou percentual, será a razão entre a variação e sua variável:
Exercício Resolvido #1
O lado de um quadrado mede aproximadamente , com erro possível de .
- Use diferenciais para estimar o erro na área calculada.
- Estime o erro percentual no lado e na área.
Passo 1
a)
O erro da área nada mais é do que a variação da área, ou seja, . Além disso, vimos na teoria que:
Então só precisamos achar o diferencial dessa função da área. Vamos escrever a área em função do lado :
Assim, derivando:
Passando para direita:
Passo 2
Pela aproximação por diferencial, sabemos que:
Logo:
Agora que temos o diferencial da área, e que vimos que ela vai ser o erro, vamos calcular no intervalo que ele deu. Ele disse que o erro do lado vai entre e então:
Multiplicando por para dar o diferencial de ali no meio, temos:
Ele deu o ponto inicial do lado, que vai ser , então:
Esse vai ser o erro da área.
Passo 3
b)
Vamos achar agora os erros percentuais. O erro percentual nada mais é que o erro relativo que vimos na teoria.
Primeiro o erro do lado, para isso temos que dividir por . Já vimos que ele quer esse erro percentual com , e:
Assim:
E vamos ter:
Colocando em porcentagem e substituindo por
Passo 4
Vamos agora para o erro percentual da área, primeiro temos que achar a área para :
E o erro percentual da área vai ficar:
Colocando isso em porcentagem e substituindo por :
E achamos os erros percentuais.
Resposta
a)
b)
Exercício Resolvido #2
A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa é calculada pela fórmula , onde é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de se (exatamente) e com erro possível de .
Além disso, determine o erro percentual no cálculo de .
Passo 1
Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . Vamos começar achando o erro de , para isso vamos achar seu diferencial em relação a :
Podemos trocar o valor de nessa fórmula já que ele é constante:
O seu diferencial vai ser:
Passando para direita:
Passo 2
Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com , e vai ser o erro na conta. Assim:
Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:
Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:
Assim vamos ter:
Multiplicando isso por , vamos ter:
Assim, aquele cara do meio é :
Ele disse o valor de , que vai ser , vamos passar isso para radianos:
Assim, temos:
Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de , que é só ir multiplicando a função no valor de que for o ponto inicial, ou ponto central.
E pronto temos o nosso intervalo.
Passo 3
Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa
Então precisamos achar o valor de no valor inicial de
Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo
Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:
Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Uma piscina no formato de um trapézio isósceles tem sua área dada pela fórmula . Abaixo, uma representação dessa piscina:
Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de se (exatamente), (exatamente) e com erro possível de .
Além disso, determine o erro percentual no cálculo de .
Passo 1
Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . Vamos começar achando o erro de , para isso vamos achar seu diferencial em relação a :
Podemos trocar o valor de e de nessa fórmula já que ele é constante:
O seu diferencial vai ser:
Por fim:
Passando para direita:
Passo 2
Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com , e vai ser o erro na conta. Assim:
Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:
Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:
Assim vamos ter:
Multiplicando isso por , vamos ter:
Assim, aquele cara do meio é :
Ele disse o valor de , que vai ser , vamos passar isso para radianos:
Assim, temos:
Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de , que é só ir multiplicando a função no valor de que for o ponto inicial, ou ponto central.
E pronto temos o nosso intervalo.
Passo 3
Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa
Então precisamos achar o valor de no valor inicial de
Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo
Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:
Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Uma menina muito curiosa resolveu calcular a área superficial e o volume de uma corda bem grossa. Sabendo que a corda tinha comprimento suficiente, e exato, para envolver um bambolê de de raio e que a corda tinha raio exato de . O erro possível de cálculo do raio da corda é de Estime:
- O erro e o erro percentual do cálculo da área superficial da corda
- O erro e o erro percentual do cálculo do volume da corda
OBS: A menina sabe que, independente de calcular como ela fez esse cálculo, a proporção entre o raio do bambolê e da corda é fixa.
Passo 1
Quando a gente vê um OBS numa questão, geralmente é pra gente ficar atento porque tem dica boa aí! Nesse caso, como a menina sabe a proporção, a gente precisa saber também!
Ela não sabe as medidas exatas dos raios, nós sabemos. Se o raio do bambolê é e o raio da corda é , então:
Ta, mas e daí? Bem, a gente vai poder usar essa proporção pra escrever o volume e a área superficial da corda em função de uma variável só. Quer ver? Se a corda é um cilindro, temos que sua altura vale:
Que nada mais é do que o comprimento do bambolê. E a área da base desse cilindro vai ser então:
Show de bola, calculamos então o volume e a área superficial por:
O que fica:
Passo 2
Agora vamos calcular o diferencial das funções de que vimos acima. Saca só:
E passando por outro lado o :
Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar com e relacionar com . e vão ser o erro na conta. Assim:
Além disso, também sabemos que pode ser aproximado por . Ele deu a variação de , então temos:
Esse é o intervalo do erro. Multiplicando isso por , vamos ter:
Assim, aquele cara do meio é :
Pro volume, basta então a gente multiplicar o intervalo de variação do erro do raio por :
Sendo que o valor de ali dentro é o valor inicial, dado no enunciado, de , logo:
Passo 3
Vamos agora achar o erro percentual dessas paradas. Para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa
Então precisamos achar o valor de no valor inicial de :
E o valor de no valor inicial de também:
Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo:
Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:
Agora, pro cálculo do volume, fazemos a mesma coisa, beleza? Já sabemos o intervalo de , então basta dividir geral nesse intervalo por , que achamos o erro relativo:
Passando para porcentagem e substituindo por vamos ter o erro percentual variando entre:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Um professor um pouco pirado entregou pra seus alunos o gráfico da curva e pediu para que calculassem a área abaixo do gráfico entre e . Os alunos optaram por calcular essa área usando um triângulo retângulo cuja hipotenusa tangenciasse a curva. Abaixo, uma representação de como esse triângulo muda em função do ponto de tangência:
Sabendo que os alunos escolheram como ponto de tangência e que o erro na marcação desse ponto é de calcule o erro percentual no cálculo de . Depois, calcule também o mesmo erro em relação à área real abaixo da curva.
Passo 1
Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de e o erro percentual desse mesmo . A nossa dificuldade nessa questão vai ser achar a expressão de em função de uma variável pra podermos variar. De qualquer forma, a área do retângulo vai ser: