Diferencial – Valor Relativo

Teoria Completa

Vimos no tipo anterior que o diferencial ( d ) pode ser aproximado pela variação ( Δ ) para pequenos valores. Por estar associado a uma aproximação, o delta pode também ser interpretado como um erro.

Imagine que João tenha uma régua péssima e decida medir o comprimento de seu carrinho de controle remoto que ele nunca mais vai brincar, porque ele já está na faculdade. Como a régua é péssima, João não tem total certeza do comprimento do carrinho, só sabe que está entre 30 c m e 31 c m .

Assim, a variação possível da medida do comprimento é o delta:

Δ x = 31 - 30 = 1 c m

Mas como esse Δ x vem de um erro na medida de João, então podemos chamá-lo de erro também. Então, toda vez que você ver a palavra erro num problema de aproximação por diferencial, saiba que se trata do velho Δ ou variação. De resto nada mudará em relação ao que a gente viu anteriormente, temos um exercício de fixação sobre isso bem quentinho para te mostrar daqui a pouco (não deixe esfriar).

Existe outro conceito simples, que você também precisa saber: o erro relativo. Ele surgiu da necessidade de saber o tamanho da besteira feita: imagine que vazaram 15 l de água. Se estamos falando de uma instalação urbana de distribuição de água, não chega a ser um problema tão grande, porque o sistema tem uma capacidade gigante.

Agora, se vazou do único balde de água que você tinha em casa, agora você está sem água, porque é praticamente toda a capacidade do balde, e tem um cômodo inteiro para secar.

O erro relativo, ou percentual, será a razão entre a variação e sua variável:

Δ x % = Δ x x

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

O lado de um quadrado mede aproximadamente 10   m , com erro possível de ± 0,1   m .

  1. Use diferenciais para estimar o erro na área calculada.
  2. Estime o erro percentual no lado e na área.
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Passo 1

a)

O erro da área nada mais é do que a variação da área, ou seja, Δ A . Além disso, vimos na teoria que:

Δ A ≅ d A

Então só precisamos achar o diferencial dessa função da área. Vamos escrever a área A em função do lado l :

A = l 2

Assim, derivando:

d A d l = 2 l

Passando d l para direita:

d A = 2 l d l

Passo 2

Pela aproximação por diferencial, sabemos que:

Δ A ≅ d A ; Δ l ≅ d l

Logo:

Δ A = 2 l Δ l

Agora que temos o diferencial da área, e que vimos que ela vai ser o erro, vamos calcular no intervalo que ele deu. Ele disse que o erro do lado vai entre - 0,1   m e 0,1   m então:

- 0,1 ≤ Δ l ≤ 0,1

Multiplicando por 2 l para dar o diferencial de A ali no meio, temos:

- 0,2 l ≤ 2 l Δ l ≤ 0,2 l

- 0,2 l ≤ Δ A ≤ 0,2 l

Ele deu o ponto inicial do lado, que vai ser 10   m , então:

- 0,2 ∙ 10 ≤ Δ A ≤ 0,2 ∙ 10

- 2   m 2 ≤ Δ A ≤ 2   m 2

Esse vai ser o erro da área.

Passo 3

b)

Vamos achar agora os erros percentuais. O erro percentual nada mais é que o erro relativo que vimos na teoria.

Primeiro o erro do lado, para isso temos que dividir d l por l . Já vimos que ele quer esse erro percentual com l = 10   m , e:

- 0,1 ≤ Δ l ≤ 0,1

Assim:

- 0,1 10 ≤ d l l ≤ 0,1 10

E vamos ter:

- 0,01 ≤ Δ l l ≤ 0,01

Colocando em porcentagem e substituindo Δ l / l por Δ l % :

- 1 % ≤ Δ l % ≤ 1 %

Passo 4

Vamos agora para o erro percentual da área, primeiro temos que achar a área para l = 10 :

A = 100   m 2

E o erro percentual da área vai ficar:

- 2 100 ≤ Δ A A ≤ 2 100

- 0,02 ≤ Δ A A ≤ 0,02

Colocando isso em porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % :

- 2 % ≤ Δ A % ≤ 2 %

E achamos os erros percentuais.

Resposta

a)

- 2   m 2 ≤ Δ A ≤ 2   m 2

b)

- 1 % ≤ Δ l % ≤ 1 %

- 2 % ≤ Δ A % ≤ 2 %

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é calculada pela fórmula A = 1 4 H 2 sen ⁡ 2 θ , onde θ é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 4   c m (exatamente) e θ = 30 ° com erro possível de ± 15 ' .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de A .

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Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . Vamos começar achando o erro de A , para isso vamos achar seu diferencial em relação a θ :

A = H 2 4 sen ⁡ 2 θ

Podemos trocar o valor de H nessa fórmula já que ele é constante:

A = 4 2 4 sen ⁡ 2 θ

A = 4 sen ⁡ 2 θ

O seu diferencial vai ser:

d A d θ = 4 cos ⁡ 2 θ ∙ 2

d A d θ = 8 cos ⁡ 2 θ

Passando d θ para direita:

d A = 8 cos ⁡ 2 θ d θ

Passo 2

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ A com d A , e Δ A vai ser o erro na conta. Assim:

Δ A ≅ d A

Além disso, também sabemos que Δ θ pode ser aproximado por d θ . Ele deu a variação de θ , então temos:

- 15 ' ≤ Δ θ ≤ 15 '

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

15 ' = 1 4 ° = 1 / 4 π 180 = π 720

Assim vamos ter:

- π 720 ≤ Δ θ ≤ π 720

Multiplicando isso por 8 cos ⁡ 2 θ , vamos ter:

- π 720 8 cos ⁡ 2 θ ≤ 8 cos ⁡ 2 θ Δ θ ≤ π 720 8 cos ⁡ 2 θ

Assim, aquele cara do meio é d A :

- π cos ⁡ 2 θ 90 ≤ Δ A ≤ π cos ⁡ 2 θ 90

Ele disse o valor de θ , que vai ser 30 ° , vamos passar isso para radianos:

30 ° = 30 π 180 = π 6

Assim, temos:

- π cos ⁡ π 3 90 ≤ Δ A ≤ π cos ⁡ π 3 90

- π 2 90 ≤ Δ A ≤ π 2 90

- π 180 ≤ Δ A ≤ π 180

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de A , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de θ vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de Δ A , que é só ir multiplicando a função no valor de θ que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ A A

Então precisamos achar o valor de A no valor inicial de θ

A 30 ° = 4 sen ⁡ 60 °

A = 4 ∙ 3 2 = 2 3

Já sabemos o intervalo de Δ A , então basta dividir geral nesse intervalo por A , que achamos o erro relativo

- π 180 ∙ 2 3 ≤ Δ A A ≤ π 180 ∙ 2 3

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

- 0,00160375 ≤ Δ A A ≤ 0,00160375

Passando para porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 0,160375 % ≤ Δ A % ≤ 0,160375 %

Resposta

- π 180 ≤ Δ A ≤ π 180

- 0,160375 % ≤ Δ A % ≤ 0,160375 %

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Uma piscina no formato de um trapézio isósceles tem sua área dada pela fórmula A = b 2 tan ⁡ θ   + b . H . Abaixo, uma representação dessa piscina:

Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 10   m (exatamente), b = 8   m (exatamente) e θ = 6 0 ° com erro possível de ± 1 ° .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de A .

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Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . Vamos começar achando o erro de A , para isso vamos achar seu diferencial em relação a θ :

A = b 2 tan ⁡ θ   + b . H

Podemos trocar o valor de H e de b nessa fórmula já que ele é constante:

A = 80 2 tan ⁡ θ   + 80

A = 40 tan ⁡ θ   + 80

O seu diferencial vai ser:

d A d θ = 40 tan ⁡ θ   + 80 ' = 40 tan ⁡ θ   '

d A d θ = 40   - d tan ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ   = - 40   sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ  

d A d θ = - 40   1 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   = - 40 sin 2 ⁡ θ

Por fim:

d A d θ = - 40 sin 2 ⁡ θ

Passando d θ para direita:

d A = - 40 sin 2 ⁡ θ d θ