Teoria Completa
A velocidade instantânea é definida como a derivada da posição em relação ao tempo, como segue:
Onde:
- $S$ é a função posição do objeto, e;
- $t$ é o tempo.
É isso, terminamos por aqui!!
CALMAAA!! Brincadeirinha!! hahahaha
Essa de fato é a definição de velocidade instantânea, mas esse é o modo bem formal e nada didático hahaha. Nós somos o Responde Aí, uma plataforma de exatas criada para levar até você um ensino de qualidade e bem didático. Então bora ver com calma isso aí?
Velocidade Instantânea
Quando começamos a estudar física e o movimento dos objetos uma das primeiras coisas que aprendemos é a velocidade média. Por definição, a velocidade média é a variação da posição sobre a variação do tempo:
Mas... concorda comigo que essa velocidade não nos mostra a velocidade em cada ponto? Como o próprio nome diz, ela é só uma média dos valores da velocidade durante um intervalo de tempo.
Como a gente faz, então, pra descobrir a velocidade em cada ponto? É exatamente esse conceito de "velocidade em cada ponto, em cada instante de tempo", que chamamos de velocidade instantânea.
Agora pensa devagar aqui comigo: Eu tenho a velocidade média, que me dá a média das velocidades de um objeto ao longo de um determinado tempo. E se eu pegar essa expressão de velocidade média e fazer o intervalo de tempo tender a zero? Se o intervalo de tempo tende a zero, a velocidade que encontraremos será a velocidade em um instante de tempo, concorda?
Então, para acharmos a velocidade instantânea vamos fazer o limite de $Δt$ tendendo a zero na expressão da velocidade média:
Do Cálculo temos que esse limite é justamente a definição de derivadas, então:
E é daí que sai aquela expressão que vimos lá no início hahahaha.
Agora temos que a velocidade instantânea é a derivada da posição no tempo. Então, se você tiver uma função posição e derivá-la em função do tempo, obterá uma função velocidade que lhe dará a velocidade instantânea. Show de bola?
Análise Gráfica da Velocidade Instantânea
O estudo de cálculo nos mostra que a derivada de uma função em um ponto $x$ qualquer é igual a inclinação da reta tangente nesse mesmo ponto $x$. Então, se temos que a velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo, se tivermos um gráfico da posição em função do tempo, a velocidade instantânea em um ponto será a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Além disso, se tivermos um gráfico da velocidade versus tempo, a área sob a curva do mesmo nos dará a variação na posição:
E essa foi a definição de velocidade instantânea.
Aqui no Responde Aí, além de conteúdos incríveis em textos, temos também conteúdos em vídeos. Eu vou deixar aqui embaixo o vídeo sobre esse conceito que estudamos aqui hoje. É um vídeo completo e rápido focado em fazer você aprender exatamente o que precisa. Além de falar sobre velocidade instantânea ele fala também sobre aceleração instantânea.
Confere aí 👇🏽
Depois de aprender a teoria é muito importante praticar, então corre pra essa nossa página aqui repleta de exercícios resolvidos: Velocidade Instantânea - Exercícios
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Exercício Resolvido #1
A velocidade (em metros por segundo) de uma partícula que se move no plano xy é dada por:
a) Qual é a aceleração no instante t=3s?
b) Em que instante (se possível) a aceleração é nula?
c) Em que instante (se possível) a velocidade é nula?
Passo 1
Puts, ele nos deu a equação da velocidade e pediu a aceleração... O QUE FAZEMOS AGORA? :O Isssoooo! É só lembrar que a aceleração de uma partícula é a derivada da velocidade em função do tempo! Fechou? Então temos que:
Como queremos no tempo t=3s, é só substituirmos na equação da aceleração que encontramos acima!
Show!
Passo 2
Agora queremos o instante (ou seja, o t) onde a aceleração será nula... Só igualarmos a equação da aceleração a 0, porque ela será nula, sacou? Bora lá:
Lindíssimo!
Passo 3
Agora queremos o instante da velocidade ser nula, é só fazermos o mesmo da letra b mas com a equação da velocidade! Vamo nessa:
Como podemos ver, a componente da velocidade em j vale 8 e não depende do tempo, então essa velocidade nunca será nula. Fechamosss!
Passo 4
Resposta
b) 0,75s
c) Nunca será nula.
Exercício Resolvido #2
Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por: onde x está em metros e t em segundos e a velocidade da partícula 2 é dada por onde a está em metros por segundo ao quadrado e t também em segundos.
a) Em que instante as partículas tem a mesma velocidade?
b) Qual a velocidade de A e B no t=0s?
Passo 1
Como queremos o instante onde as velocidades serão iguais é só igualarmos a equação da velocidade da partícula A com a aprtícula B! Mas não temos a da partícula A E agora?
É só derivarmos a equação do espaço, porque . Show! Vamo lá:
Igualando as duas, a gente tem:
Onde o tempo positivo dessa equação do segundo grau dá aproximadamente fechou?
Passo 2
Pra descobrirmos a velocidade é só susbtituirmos t=0 nas equações da velocidade! Bora lá, partícula A, temos: e partícula B temos: ! Fechamossss!
Resposta
- t=1,05s
- 3m/s e 20m/s
Exercício Resolvido #3
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo é dada em centímetros por , onde está em segundos. Calcule a velocidade média durante o intervalo de tempo de a a velocidade instantânea em a velocidade instantânea em a velocidade instantânea em a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em e Plote o gráfico de em função de e indique suas respostas graficamente.
Passo 1
Velocidade média é dada pela fórmula
Para calcularmos devemos achar as posições nos instantes e
Passo 2
Podemos aplicar a equação da velocidade média
Passo 3
Para calcularmos a velocidade instantânea devemos achar a função velocidade e para isso vamos derivar a função posição
A velocidade instantânea no instante é dada por
Passo 4
Vamos substituir por para descobrirmos a velocidade nesse instante
Passo 5
Faremos o mesmo para
Passo 6
O primeiro passo é descobrir em que instante a partícula está na metade da distância entre os instantes e
No item calculamos
Assim a metade entre essas posições é
Passo 7
Descobrimos a posição que equivale a metade do caminho entre e , agora conseguimos descobrir em que instante isso acontece
Passo 8
Agora é só substituir esse valor de na função velocidade para descobrirmos qual era a velocidade naquele instante