Velocidade Instantânea
Teoria
A velocidade instantânea é definida como a derivada da posição em relação ao tempo, como segue:

Onde:
é a função posição do objeto, e; é o tempo.
É isso, terminamos por aqui!!

CALMAAA!! Brincadeirinha!! hahahaha
Essa de fato é a definição de velocidade instantânea, mas esse é o modo bem formal e nada didático hahaha. Nós somos o Responde Aí, uma plataforma de exatas criada para levar até você um ensino de qualidade e bem didático. Então bora ver com calma isso aí?
Velocidade Instantânea
Quando começamos a estudar física e o movimento dos objetos uma das primeiras coisas que aprendemos é a velocidade média. Por definição, a velocidade média é a variação da posição sobre a variação do tempo:

Mas... concorda comigo que essa velocidade não nos mostra a velocidade em cada ponto? Como o próprio nome diz, ela é só uma média dos valores da velocidade durante um intervalo de tempo.
Como a gente faz, então, pra descobrir a velocidade em cada ponto? É exatamente esse conceito de "velocidade em cada ponto, em cada instante de tempo", que chamamos de velocidade instantânea.
Agora pensa devagar aqui comigo: Eu tenho a velocidade média, que me dá a média das velocidades de um objeto ao longo de um determinado tempo. E se eu pegar essa expressão de velocidade média e fazer o intervalo de tempo tender a zero? Se o intervalo de tempo tende a zero, a velocidade que encontraremos será a velocidade em um instante de tempo, concorda?
Então, para acharmos a velocidade instantânea vamos fazer o limite de

Do Cálculo temos que esse limite é justamente a definição de derivadas, então:

E é daí que sai aquela expressão que vimos lá no início hahahaha.
Agora temos que a velocidade instantânea é a derivada da posição no tempo. Então, se você tiver uma função posição e derivá-la em função do tempo, obterá uma função velocidade que lhe dará a velocidade instantânea. Show de bola?
Análise Gráfica da Velocidade Instantânea
O estudo de cálculo nos mostra que a derivada de uma função em um ponto

Além disso, se tivermos um gráfico da velocidade versus tempo, a área sob a curva do mesmo nos dará a variação na posição:

E essa foi a definição de velocidade instantânea.
Aqui no Responde Aí, além de conteúdos incríveis em textos, temos também conteúdos em vídeos. Eu vou deixar aqui embaixo o vídeo sobre esse conceito que estudamos aqui hoje. É um vídeo completo e rápido focado em fazer você aprender exatamente o que precisa. Além de falar sobre velocidade instantânea ele fala também sobre aceleração instantânea.
Confere aí 👇🏽
Depois de aprender a teoria é muito importante praticar, então corre pra essa nossa página aqui repleta de exercícios resolvidos: Velocidade Instantânea - Exercícios
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Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Exercícios do Fisica Superior
A velocidade (em metros por segundo) de uma partícula que se move no plano xy é dada por:
a) Qual é a aceleração no instante t=3s?
b) Em que instante (se possível) a aceleração é nula?
c) Em que instante (se possível) a velocidade é nula?
Passo 1
Puts, ele nos deu a equação da velocidade e pediu a aceleração... O QUE FAZEMOS AGORA? :O Isssoooo! É só lembrar que a aceleração de uma partícula é a derivada da velocidade em função do tempo! Fechou? Então temos que:
Como queremos no tempo t=3s, é só substituirmos na equação da aceleração que encontramos acima!
Show!
Passo 2
Agora queremos o instante (ou seja, o t) onde a aceleração será nula... Só igualarmos a equação da aceleração a 0, porque ela será nula, sacou? Bora lá:
Lindíssimo!
Passo 3
Agora queremos o instante da velocidade ser nula, é só fazermos o mesmo da letra b mas com a equação da velocidade! Vamo nessa:
Como podemos ver, a componente da velocidade em j vale 8 e não depende do tempo, então essa velocidade nunca será nula. Fechamosss!
Resposta
b) 0,75s
c) Nunca será nula.
Exercício Resolvido #2
UFES - Lista do Professor Anderson
Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por: onde x está em metros e t em segundos e a velocidade da partícula 2 é dada por onde a está em metros por segundo ao quadrado e t também em segundos.
a) Em que instante as partículas têm a mesma velocidade?
b) Qual a velocidade de A e B no t=0s?
Passo 1
Como queremos o instante onde as velocidades serão iguais é só igualarmos a equação da velocidade da partícula A com a aprtícula B! Mas não temos a da partícula A E agora?
É só derivarmos a equação do espaço, porque . Show! Vamo lá:
Igualando as duas, a gente tem:
Onde o tempo positivo dessa equação do segundo grau dá aproximadamente fechou?
Passo 2
Pra descobrirmos a velocidade é só susbtituirmos t=0 nas equações da velocidade! Bora lá, partícula A, temos: e partícula B temos: ! Fechamossss!
Resposta
- t=1,05s
- 3m/s e 20m/s
Exercício Resolvido #3
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-17
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo é dada em centímetros por , onde está em segundos. Calcule a velocidade média durante o intervalo de tempo de a a velocidade instantânea em a velocidade instantânea em a velocidade instantânea em a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em e Plote o gráfico de em função de e indique suas respostas graficamente.
Passo 1
Velocidade média é dada pela fórmula
Para calcularmos devemos achar as posições nos instantes e
Passo 2
Podemos aplicar a equação da velocidade média
Passo 3
Para calcularmos a velocidade instantânea devemos achar a função velocidade e para isso vamos derivar a função posição
A velocidade instantânea no instante é dada por
Passo 4
Vamos substituir por para descobrirmos a velocidade nesse instante
Passo 5
Faremos o mesmo para
Passo 6
O primeiro passo é descobrir em que instante a partícula está na metade da distância entre os instantes e
No item calculamos
Assim a metade entre essas posições é
Passo 7
Descobrimos a posição que equivale a metade do caminho entre e , agora conseguimos descobrir em que instante isso acontece
Passo 8
Agora é só substituir esse valor de na função velocidade para descobrirmos qual era a velocidade naquele instante
Passo 9
Como a função da posição é um polinômio de grau e vamos considerar podemos prever que o gráfico crescerá infinitamente començando em
Passo 10
A resposta do item seria obtida fazendo a tangente da reta em vermelho
Passo 11
E as respostas nos demais itens seria obtida fazendo a tangente dos pontos respectivos a seus instantes ou posição
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício Resolvido #4
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-18
Se a posição de uma partícula é dada por , onde está em metros e em segundos, em que instantes a velocidade da partícula é zero? Em que instantessa aceleração é zero? Para que intervalo de tempo positivo e negativo a aceleração é negativa? Para que intervalo de tempo positivo ou negativoa aceleração é positiva? Trace os gráficos de .
Passo 1
Essa é uma questão com vários itens mas não precisa entrar em desespero, tudo partirá da equação da posição e usaremos bastante as derivadas por aqui, beleza? Vem comigo que eu te mostro o passo a passo.
Para descobrir o instante em que a velocidade é zero, primeiro precisamos descobrir a equação da velocidade. Para encontrarmos a equação da velocidade é só a gente derivar a equação da posição.
Passo 2
Então para descobrir o tempo pra qual a velocidade é zero vamos zerar a velocidade
Ou seja, a velocidade será zero nos tempos e .
Passo 3
Para descobrir os instantes que a aceleração é zero, devemos achar a equação da aceleração, ela é a derivada da velocidade se liga aí:
Passo 4
De novo queremos o tempo quando a aceleração é zero, então faremos .
Passo 5
Aceleração é negativa quando
Se tratando de uma função linear não tem muito mistério, vamos substituir e analisar o que rola.
Dividindo os dois lados por , temos isolado e a relação fica:
Para tempos maiores que a aceleração é negativa.
Se liga, que inverteu-se o sinal da inequação ali em cima!Isso acontece, por que dividimos por um número negativo dos dois lado da inequação
(E sempre que multiplicarmos ou dividirmos uma inequação por um número negativo, é necessário inverter o sinal da inequação!)
Passo 6
Para a aceleração ser positiva
Seguindo a mesma idéia usada no item As acelerações positivas vão ocorrer para os seguintes tempos.
Ou seja, para tempo menor do que zero, a aceleração será positiva.
Passo 7
Para traçar o gráfico pegaremos os pontos de máximo e mínimo fazendo a derivada da função igual a zero que nesse caso, pasmem é a velocidade que já calculamos pra esse ponto.
Para , encontramos os seguintes valores de lá no passo
Voltando com esses valores de para a equação da posição temos os valores de máximo e mínimo, começando com o valor positivo.
Para o valor negativo temos:
Um outro ponto relevante é a origem e nesse caso podemos substituir .
Podemos então plotar o gráfico com esse comportamento.
Passo 8
Para fazer o gráfico de vamos analisar a equação da velocidade, que é um polinômio de segundo grau
Calculamos que essa parábola corta o eixo nos pontos , onde avaliamos qual era o tempo de .
Para encontrar o ponto de máximo, basta derivar a equação e igualar a zero. Mas se liga a gente já fez isso, lembra que a derivada da velocidade é a aceleração?
A gente também avaliou o ponto onde e concluímos que é quando , agora vamos pegar esse tempo e substituir na eq. da velocidade.
Agora é só plotar o gráfico e correr pro abraço:
Passo 9
A equação da aceleração a gente calculou e é essa aqui:
Descreve uma reta com inclinação negativa. Nós também avaliamos que a aceleração tem valor na origem para e portanto temos o seguinte gráfico.
Resposta
Exercício Resolvido #5
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-16
A posição de um elétron que se move ao longo do eixo é dada por , onde está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?
Passo 1
Parar momentaneamente é o mesmo que dizer que a velocidade instantânea é igual a zero. Assim, para achar a distância que ele tem velocidade zero, devemos achar o instante que a velocidade é zero.
Então, tendo esse instante , substituímos na função posição para descobrir a posição correspondente àquele momento.
Passo 2
Vamos achar o instante , onde a velocidade é zero.
Como a velocidade é a variação da posição, basta derivar essa expressão da posição:
Para derivar esse cara, temos que usar a regra do produto entre o termo “” e o termo “”, lembrando que o “” é uma constante multiplicando e por isso ela fica igualzinha:
As derivadas serão as seguintes...
A derivada de é:
Já a derivada de é a derivada de uma exponencial, ou seja, a sua derivada é ela mesma. Não podemos confundir com a derivada de um polinômio , por exemplo.
Mas, além disso, precisamos usar uma regra da cadeia com o expoente, então temos:
Substituindo essas duas derivadas na nossa expressão, temos:
Beleza, achamos uma expressão para a velocidade em função do tempo.
Passo 3
Agora, vamos achar o instante onde essa velocidade zera:
Cortando o “” e o “”, temos:
Achamos o instante.
Passo 4
Substituindo na equação da posição, , vamos achar a posição onde o elétron se encontra quando
Resposta
Exercício Resolvido #6
David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 33-5
A figura mostra a velocidade de uma partícula que se move em um eixo. O ponto É o ponto mais alto da curva; o ponto é o mais baixo; os pontos e estão na mesma altura. Qual é o sentido do movimento no instante t =0 e no ponto 4 ? Em qual dos seis pontos numerados a partícula inverte o sentido de movimento? Coloque os seis pontos na ordem do módulo da aceleração, começando pelo maior.
Passo 1
O problema pede para dizermos o sentido do movimento de acordo com um gráfico , para isso temos que relacionar a posição com a velocidade, sendo assim vamos olhar a fórmula
Como o tempo é sempre positivo, o sinal da velocidade está diretamente relacionado com o sinal do movimento, nos mostrando assim o sentido da trajetória.
Passo 2
No instante , temos que a velocidade é positiva
Assim,
Por isso podemos afirmar que nesse instante a partícula move-se no sentido positivo do eixo.
Passo 3
Já no ponto temos que a velocidade é negativa (pois o gráfico esta na parte negativa do eixo de velocidade)
Então,
Podemos afirmar assim que a partícula move-se no sentido negativo da trajetória
Passo 4
Como estamos determinando o sentido pelo sinal da velocida se sentido positivo e sentido negativo, temos que no ponto a partícula muda o sentindo do movimento, pois passa de uma velocidade positiva para uma negativa, e no ponto ela passa de uma velocidade negativa para uma positiva.
Passo 5
Para analisarmos a aceleração devemos olhar a tangente de cada ponto, pois aceleração é a derivada da velocidade
Assim o ponto e tem suas retas tangentes horizontais ao eixo , por isso suas acelerações serão zero.
Como estamos analisando os módulos basta ver qual reta está mais inclinada, para obtermos o ponto com maior aceleração, assim vemos que os pontos e tem módulo de aceleração maior que os pontos e
Assim a ordem comenchando do maior das acelerações fica desta forma
Resposta
Sentido positivo
Sentido negativo
Exercício Resolvido #7
Unicamp-1ª prova – 2014..2B – 1ª questão
A velocidade escalar de um carro em uma pista reta é dada pela expressão:
Onde é medido em segundos e é medido em . Qual é a distância percorrida pelo carro no intervalo de tempo de a ?
a)
b)
c)
d)
e) nenhuma destas
Passo 1
Basta lembrar que a função posição é a integral da função velocidade. Portanto:
Preste atenção que esse é uma constante que depende da condição inicial no instante
Pronto! Agora que já temos a função posição, é só calcular a posição em e e achar a distância percorrida.
Resposta
Letra (b)
Exercício Resolvido #8
CEFET- Lista do Professor Nelson- Questão 8
A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por , onde é uma constante positiva. Sabendo-se que, quando , e , obter a velocidade e a posição como funções do tempo. Obter também como função de .
Passo 1
Lembrando que a aceleração é a variação da velocidade no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a aceleração teremos:
Bem, para extrair a equação da velocidade em função do tempo desta equação, vamos ter que usar algo um pouco diferente do que estamos acostumados a fazer. Esta equação é chamada de equação separável e o que nós vamos fazer é justamente separar o termo do termo . Pode parecer meio esquisito, mas o importante é que funciona, basta deixar apenas os termos que tem de um lado e os termos que não tem do outro.
Entretanto, essa equação não faz o mínimo sentido! Mas calma, para consertá-la, basta integrar dos dois lados e tudo fica perfeito =)
Resolvendo as integrais encontramos: