Velocidade Instantânea

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Teoria

A velocidade instantânea é definida como a derivada da posição em relação ao tempo, como segue:

Definição de velocidade instantânea
Definição de velocidade instantânea

Onde:

  • é a função posição do objeto, e;
  • é o tempo.

É isso, terminamos por aqui!!

CALMAAA!! Brincadeirinha!! hahahaha

Essa de fato é a definição de velocidade instantânea, mas esse é o modo bem formal e nada didático hahaha. Nós somos o Responde Aí, uma plataforma de exatas criada para levar até você um ensino de qualidade e bem didático. Então bora ver com calma isso aí?

Velocidade Instantânea

Quando começamos a estudar física e o movimento dos objetos uma das primeiras coisas que aprendemos é a velocidade média. Por definição, a velocidade média é a variação da posição sobre a variação do tempo:

Fórmula da velocidade média
Fórmula da velocidade média

Mas... concorda comigo que essa velocidade não nos mostra a velocidade em cada ponto? Como o próprio nome diz, ela é só uma média dos valores da velocidade durante um intervalo de tempo.

Como a gente faz, então, pra descobrir a velocidade em cada ponto? É exatamente esse conceito de "velocidade em cada ponto, em cada instante de tempo", que chamamos de velocidade instantânea.

Agora pensa devagar aqui comigo: Eu tenho a velocidade média, que me dá a média das velocidades de um objeto ao longo de um determinado tempo. E se eu pegar essa expressão de velocidade média e fazer o intervalo de tempo tender a zero? Se o intervalo de tempo tende a zero, a velocidade que encontraremos será a velocidade em um instante de tempo, concorda?

Então, para acharmos a velocidade instantânea vamos fazer o limite de tendendo a zero na expressão da velocidade média:

Velocidade instantânea escrita como o limite de
Velocidade instantânea escrita como o limite de

Do Cálculo temos que esse limite é justamente a definição de derivadas, então:

Velocidade instantânea escrita como a derivada da função posição em relação ao tempo
Velocidade instantânea escrita como a derivada da função posição em relação ao tempo

E é daí que sai aquela expressão que vimos lá no início hahahaha.

Agora temos que a velocidade instantânea é a derivada da posição no tempo. Então, se você tiver uma função posição e derivá-la em função do tempo, obterá uma função velocidade que lhe dará a velocidade instantânea. Show de bola?

Análise Gráfica da Velocidade Instantânea

O estudo de cálculo nos mostra que a derivada de uma função em um ponto qualquer é igual a inclinação da reta tangente nesse mesmo ponto . Então, se temos que a velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo, se tivermos um gráfico da posição em função do tempo, a velocidade instantânea em um ponto será a inclinação da reta tangente naquele ponto:

Gráfico da posição
Gráfico da posição

Além disso, se tivermos um gráfico da velocidade versus tempo, a área sob a curva do mesmo nos dará a variação na posição:

Gráfico da velocidade
Gráfico da velocidade

E essa foi a definição de velocidade instantânea.

Aqui no Responde Aí, além de conteúdos incríveis em textos, temos também conteúdos em vídeos. Eu vou deixar aqui embaixo o vídeo sobre esse conceito que estudamos aqui hoje. É um vídeo completo e rápido focado em fazer você aprender exatamente o que precisa. Além de falar sobre velocidade instantânea ele fala também sobre aceleração instantânea.

Confere aí 👇🏽

Depois de aprender a teoria é muito importante praticar, então corre pra essa nossa página aqui repleta de exercícios resolvidos: Velocidade Instantânea - Exercícios

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Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A velocidade (em metros por segundo) de uma partícula que se move no plano xy é dada por:

v → = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j

a) Qual é a aceleração no instante t=3s?

b) Em que instante (se possível) a aceleração é nula?

c) Em que instante (se possível) a velocidade é nula?

Passo 1

Puts, ele nos deu a equação da velocidade e pediu a aceleração... O QUE FAZEMOS AGORA? :O Isssoooo! É só lembrar que a aceleração de uma partícula é a derivada da velocidade em função do tempo! Fechou? Então temos que:

a = d v d t → d 6,0 t - 4,0 t 2 + 8,0 d t = ( 6,0 - 8,0 t ) i

Como queremos no tempo t=3s, é só substituirmos na equação da aceleração que encontramos acima!

a = 6,0 - 8,0 t i → 6 - 8 . 3 =   - 18 i   m / s 2

Show!

Passo 2

Agora queremos o instante (ou seja, o t) onde a aceleração será nula... Só igualarmos a equação da aceleração a 0, porque ela será nula, sacou? Bora lá:

6,0 - 8,0 t = 0   → 6 = 8 t

t = 6 8 = 0,75 s

Lindíssimo!

Passo 3

Agora queremos o instante da velocidade ser nula, é só fazermos o mesmo da letra b mas com a equação da velocidade! Vamo nessa:

v → = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j   → 0 = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j

Como podemos ver, a componente da velocidade em j vale 8 e não depende do tempo, então essa velocidade nunca será nula. Fechamosss!

Resposta

  1. a = - 18 i   m / s 2

b) 0,75s

c) Nunca será nula.

Exercício Resolvido #2

Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por: x t = 6,00 t 2 + 3,00 t + 2,00 onde x está em metros e t em segundos e a velocidade da partícula 2 é dada por   v t = - 4,00 t 2 + 20 , 00 onde a está em metros por segundo ao quadrado e t também em segundos.

a) Em que instante as partículas têm a mesma velocidade?

b) Qual a velocidade de A e B no t=0s?

Passo 1

Como queremos o instante onde as velocidades serão iguais é só igualarmos a equação da velocidade da partícula A com a aprtícula B! Mas não temos a da partícula A E agora?

É só derivarmos a equação do espaço, porque v = d x d t . Show! Vamo lá:

x t = 6,00 t 2 + 3,00 t + 2,00   → d x d t = v t = 12,00 t + 3,00

Igualando as duas, a gente tem:

12,00 t + 3,00 =   - 4,00 t 2 + 20,00

4,00 t 2 + 12,00 t - 17,00 = 0

Onde o tempo positivo dessa equação do segundo grau dá aproximadamente t ≅ 1,05 s fechou?

Passo 2

Pra descobrirmos a velocidade é só susbtituirmos t=0 nas equações da velocidade! Bora lá, partícula A, temos: 12,00.0 + 3,00 = 3 m / s e partícula B temos: = - 4,00 . 0 2 + 20 , 00 = 20 m / s ! Fechamossss!

Resposta

  1. t=1,05s
  2. 3m/s e 20m/s

Exercício Resolvido #3

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x   é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50 t 3 , onde t   está em segundos. Calcule a   a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00   s   a t = 3,00   s ; b   a velocidade instantânea em t = 2,00   s ; c   a velocidade instantânea em t = 3,00   s ;   d a velocidade instantânea em t = 2,50   s ; e   a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00   s   e t = 3,00   s .   f Plote o gráfico de x   em função de t   e indique suas respostas graficamente.

Passo 1

a Velocidade média é dada pela fórmula

v m = Δ x Δ t

Para calcularmos v m devemos achar as posições nos instantes t = 2   s   e t = 3   s

x 2 = 9,75 + 1,5.2 3

x 2 = 21,75   c m

x 3 = 9,75 + 1,5 .   3 3

x 3 = 50,25   c m

Passo 2

Podemos aplicar a equação da velocidade média

v m = Δ x Δ t = x 3 - x 2 3 - 2

v m = 50,25 - 21,75 3 - 2

v m = 28,5   c m / s    

Passo 3

b Para calcularmos a velocidade instantânea devemos achar a função velocidade e para isso vamos derivar a função posição

v t = d x d t

v t = d d t 9,75 + 1,50 t 3 = d d t 9,75 + d d t 1,50 t 3 = 0 + 1,5 3 t 2

v t = 4,5 t 2  

A velocidade instantânea no instante t = 2   s   é dada por

v 2 = 4,5.2 2

v 2 = 18   c m / s    

Passo 4

c Vamos substituir t   por 3   s   para descobrirmos a velocidade nesse instante

v 3 = 4,5.3 2

v 3 = 40,5   c m / s    

Passo 5

d Faremos o mesmo para t = 2,5   s

v 2,5 = 4,5.2,5 2

v 2,5 = 28,125   c m / s    

Passo 6

e O primeiro passo é descobrir em que instante a partícula está na metade da distância entre os instantes t = 2   s e t = 3   s  

No item a   calculamos

x 2 = 21,75   c m   ; x 3 = 50,25   c m   ;

Assim a metade entre essas posições é

x = 21,75 + 50,25 2

x = 36   c m  

Passo 7

Descobrimos a posição que equivale a metade do caminho entre x 2 e x 3 , agora conseguimos descobrir em que instante isso acontece

x t = 36

36 = 9,75 + 1,5 t 3

17,5 = t 3

t = 2,5962   s  

Passo 8

Agora é só substituir esse valor de t   na função velocidade para descobrirmos qual era a velocidade naquele instante

v 2,5962 = 4,5 × 2,5962 2

v 2,5962 = 30,33   c m / s    

Passo 9

f Como a função da posição é um polinômio de grau 3   e vamos considerar t ≥ 0   podemos prever que o gráfico crescerá infinitamente començando em

x 0 = 9,75   c m  

Passo 10

A resposta do item a seria obtida fazendo a tangente da reta em vermelho

Passo 11

E as respostas nos demais itens seria obtida fazendo a tangente dos pontos respectivos a seus instantes ou posição

Resposta

a)

  v m = 28,5   c m / s

b)

v = 18   c m / s      

c)

v = 40,5   c m / s    

d)

v = 28,125   c m / s    

e)

v = 30 , 33   c m / s    

f)

Exercício Resolvido #4

a Se a posição de uma partícula é dada por x = 20 t - 5 t 3 , onde x está em metros e t em segundos, em que instante ( s ) a velocidade da partícula é zero? b Em que instantes ( s )   a aceleração a   é zero? c   Para que intervalo de tempo ( positivo e negativo ) a aceleração a   é negativa? d Para que intervalo de tempo ( positivo ou negativo )   a aceleração a   é positiva? e Trace os gráficos de x t ,   v t   e   a t .

Passo 1

Essa é uma questão com vários itens mas não precisa entrar em desespero, tudo partirá da equação da posição e usaremos bastante as derivadas por aqui, beleza? Vem comigo que eu te mostro o passo a passo.

a Para descobrir o instante em que a velocidade é zero, primeiro precisamos descobrir a equação da velocidade. Para encontrarmos a equação da velocidade é só a gente derivar a equação da posição.

v t = d x d t

v t = d d t 20 t - 5 t 3 = 20 - 3 × 5 t 2

v t = 20 - 15   t 2

Passo 2

Então para descobrir o tempo pra qual a velocidade é zero vamos zerar a velocidade v t = 0

0 = 20 - 15 t 2

20 15 = t 2

t =   ± 1,1547

Ou seja, a velocidade será zero nos tempos t 1 = 1,1547 s e t 2 = - 1,1547 .

Passo 3

b Para descobrir os instantes que a aceleração a   é zero, devemos achar a equação da aceleração, ela é a derivada da velocidade se liga aí:

a t = d v t   d t  

a t = d d t 20 - 15 t 2 - 2 × 15 t

a t = - 30 t  

Passo 4

De novo queremos o tempo quando a aceleração é zero, então faremos a t = 0 .

0 = - 30 t

t = 0   s

Passo 5

c Aceleração é negativa quando

a t < 0

Se tratando de uma função linear não tem muito mistério, vamos substituir e analisar o que rola.

- 30 t < 0

Dividindo os dois lados por - 30 , temos t isolado e a relação fica:

t > 0   s

Para tempos maiores que 0 s a aceleração é negativa.

Se liga, que inverteu-se o sinal da inequação ali em cima!Isso acontece, por que dividimos por um número negativo dos dois lado da inequação

(E sempre que multiplicarmos ou dividirmos uma inequação por um número negativo, é necessário inverter o sinal da inequação!)

Passo 6

d Para a aceleração ser positiva

a t >   0

- 30 t > 0

Seguindo a mesma idéia usada no item c . As acelerações positivas vão ocorrer para os seguintes tempos.

t < 0   s

Ou seja, para tempo menor do que zero, a aceleração será positiva.

Passo 7

e Para traçar o gráfico X × t pegaremos os pontos de máximo e mínimo fazendo a derivada da função igual a zero que nesse caso, pasmem é a velocidade que já calculamos pra esse ponto.

v t = d x d t

Para v = 0 , encontramos os seguintes valores de t lá no passo 2 .

t =   ± 1,1547

Voltando com esses valores de t para a equação da posição temos os valores de máximo e mínimo, começando com o valor positivo.

x t =   20 t -   5 t 3

x 1,1547 = 20 × 1,1547 - 5 × 1,1547 3 = 15,4 m   ( M á x i m o )  

Para o valor negativo temos:

x - 1,1547 = 20 × - 1,1547 - 5 × - 1,1547 3 = - 15,4   ( M í n i m o )

Um outro ponto relevante é a origem e nesse caso podemos substituir t = 0 .

x 0 = 0

Podemos então plotar o gráfico com esse comportamento.

Passo 8

Para fazer o gráfico de v t vamos analisar a equação da velocidade, que é um polinômio de segundo grau

v t = 20 - 15   t 2

Calculamos que essa parábola corta o eixo nos pontos t =   ± 1,1547   , onde avaliamos qual era o tempo de v = 0 .

Para encontrar o ponto de máximo, basta derivar a equação e igualar a zero. Mas se liga a gente já fez isso, lembra que a derivada da velocidade é a aceleração?

d v d t = a t = - 30 t

A gente também avaliou o ponto onde a t = 0 e concluímos que é quando t = 0 , agora vamos pegar esse tempo e substituir na eq. da velocidade.

v 0 = 20 - 15 × 0 2 = 20

Agora é só plotar o gráfico e correr pro abraço:

Passo 9

A equação da aceleração a gente calculou e é essa aqui:

a t = - 30 t  

Descreve uma reta com inclinação negativa. Nós também avaliamos que a aceleração tem valor 0 na origem para t = 0 e portanto temos o seguinte gráfico.

Resposta

a   t = ± 1,1547   s

b   t = 0   s  

c   t > 0   s

d   t < 0   s  

Exercício Resolvido #5

A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x   é dada por x = 16 t e - t   m , onde t   está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?

Passo 1

Parar momentaneamente é o mesmo que dizer que a velocidade instantânea é igual a zero. Assim, para achar a distância que ele tem velocidade zero, devemos achar o instante t   que a velocidade é zero.

Então, tendo esse instante t , substituímos na função posição x t para descobrir a posição correspondente àquele momento.

Passo 2

Vamos achar o instante t , onde a velocidade é zero.

Como a velocidade é a variação da posição, basta derivar essa expressão da posição:

v t = d x d t

v t = 16 t e - t '

Para derivar esse cara, temos que usar a regra do produto entre o termo “ t ” e o termo “ e - t ”, lembrando que o “ 16 ” é uma constante multiplicando e por isso ela fica igualzinha:

v t = 16 t . e - t '

v t = 16 t ' e - t + t e - t '

As derivadas serão as seguintes...

A derivada de t é:

t ' = 1

Já a derivada de e - t é a derivada de uma exponencial, ou seja, a sua derivada é ela mesma. Não podemos confundir com a derivada de um polinômio t 3 , por exemplo.

Mas, além disso, precisamos usar uma regra da cadeia com o expoente, então temos:

e - t ' = e - t - t '

e - t ' = e - t - 1

e - t ' = - e - t

Substituindo essas duas derivadas na nossa expressão, temos:

v t = 16 t ' e - t + t e - t '

v t = 16 1 e - t + t - e - t

v t = 16 e - t - 16 t e - t

Beleza, achamos uma expressão para a velocidade em função do tempo.

Passo 3

Agora, vamos achar o instante onde essa velocidade zera:

v t = 0

16 e - t - 16 t e - t = 0

16 e - t = 16 t e - t

Cortando o “ 16 ” e o “ e - t ”, temos:

1 = t

t = 1   s

Achamos o instante.

Passo 4

Substituindo na equação da posição, t = 1   s , vamos achar a posição onde o elétron se encontra quando v t = 0

x 1 = 16 ( 1 ) e - 1

x 1 = 5,886   m  

Resposta

x 1 = 5,886   m

Exercício Resolvido #6

A figura mostra a velocidade de uma partícula que se move em um eixo. O ponto 1   É o ponto mais alto da curva; o ponto 4   é o mais baixo; os pontos 2   e 6   estão na mesma altura. Qual é o sentido do movimento a no instante t =0 e b no ponto 4 ? c     Em qual dos seis pontos numerados a partícula inverte o sentido de movimento? d   Coloque os seis pontos na ordem do módulo da aceleração, começando pelo maior.

Passo 1

O problema pede para dizermos o sentido do movimento de acordo com um gráfico v   x   t , para isso temos que relacionar a posição com a velocidade, sendo assim vamos olhar a fórmula

v t = d S d t ;  

Como o tempo é sempre positivo, o sinal da velocidade está diretamente relacionado com o sinal do movimento, nos mostrando assim o sentido da trajetória.

Passo 2

a No instante t = 0   s , temos que a velocidade é positiva

v > 0  

Assim,

d s > 0

Por isso podemos afirmar que nesse instante a partícula move-se no sentido positivo do eixo.

Passo 3

b Já no ponto 4   temos que a velocidade é negativa (pois o gráfico esta na parte negativa do eixo de velocidade)

v < 0  

Então,

d S < 0  

Podemos afirmar assim que a partícula move-se no sentido negativo da trajetória

Passo 4

c Como estamos determinando o sentido pelo sinal da velocida (   se v > 0   sentido positivo e v < 0   sentido negativo ) , temos que no ponto 3   a partícula muda o sentindo do movimento, pois passa de uma velocidade positiva para uma negativa, e no ponto 5   ela passa de uma velocidade negativa para uma positiva.

Passo 5

Para analisarmos a aceleração devemos olhar a tangente de cada ponto, pois aceleração é a derivada da velocidade

a = d v d t

Assim o ponto 1   e 4   tem suas retas tangentes horizontais ao eixo t   , θ = 0 °   , por isso suas acelerações serão zero.

Como estamos analisando os módulos basta ver qual reta está mais inclinada, para obtermos o ponto com maior aceleração, assim vemos que os pontos 2   e 6   tem módulo de aceleração maior que os pontos 3   e 5  

Assim a ordem comenchando do maior das acelerações fica desta forma

2 ; 6 > 3 ; 5 > 1 ; 4

Resposta

a Sentido positivo

b Sentido negativo

c   3 ; 5  

d   2 ; 6 > 3 ; 5 > 1 ; 4  

Exercício Resolvido #7

A velocidade escalar de um carro em uma pista reta é dada pela expressão:

v t = 4 + 2 t 3

Onde t é medido em segundos e v é medido em m / s . Qual é a distância percorrida pelo carro no intervalo de tempo de t = 0 a 2   s ?

a) 12   m

b) 16   m

c) 20   m

d) 24   m

e) nenhuma destas

Passo 1

Basta lembrar que a função posição é a integral da função velocidade. Portanto:

r t = ∫ v t   d t

r t = ∫ 4 + 2 t 3   d t

r t = 4 t + 1 2 t 4 + k

Preste atenção que esse k é uma constante que depende da condição inicial ( no instante t = 0 ,     r 0 = k )

Pronto! Agora que já temos a função posição, é só calcular a posição em t = 0 e t = 2 e achar a distância percorrida.

Δ r = r 2 - r 0

Δ r = 4   .   2 + 1 2 2 4 - 4   .   0 + 1 2 0 4

Δ r = 16   m

Resposta

Letra (b)

Exercício Resolvido #8

A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por a = - k v 2 , onde k é uma constante positiva. Sabendo-se que, quando t = 0 , x = 0 e v = v 0 , obter a velocidade e a posição como funções do tempo. Obter também v como função de x .

Passo 1

Lembrando que a aceleração é a variação da velocidade no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da velocidade em relação ao tempo:

d v d t = a

Substituindo a aceleração teremos:

d v d t = - k v 2

Bem, para extrair a equação da velocidade em função do tempo desta equação, vamos ter que usar algo um pouco diferente do que estamos acostumados a fazer. Esta equação é chamada de equação separável e o que nós vamos fazer é justamente separar o termo d v do termo d t . Pode parecer meio esquisito, mas o importante é que funciona, basta deixar apenas os termos que tem v de um lado e os termos que não tem v do outro.

1 v 2 d v = - k   . d t

Entretanto, essa equação não faz o mínimo sentido! Mas calma, para consertá-la, basta integrar dos dois lados e tudo fica perfeito =)

∫ 1 v 2 d v = ∫ - k   .   d t

Resolvendo as integrais encontramos:

- 1 v + C 1 = - k t + C 2