Velocidade Instantânea

Teoria Completa

A velocidade instantânea é definida como a derivada da posição em relação ao tempo, como segue:

    Definição de velocidade instantânea
Definição de velocidade instantânea

Onde:

  • $S$ é a função posição do objeto, e;
  • $t$ é o tempo.

É isso, terminamos por aqui!!

CALMAAA!! Brincadeirinha!! hahahaha

Essa de fato é a definição de velocidade instantânea, mas esse é o modo bem formal e nada didático hahaha. Nós somos o Responde Aí, uma plataforma de exatas criada para levar até você um ensino de qualidade e bem didático. Então bora ver com calma isso aí?

Velocidade Instantânea

Quando começamos a estudar física e o movimento dos objetos uma das primeiras coisas que aprendemos é a velocidade média. Por definição, a velocidade média é a variação da posição sobre a variação do tempo:

 Fórmula da velocidade média
Fórmula da velocidade média

Mas... concorda comigo que essa velocidade não nos mostra a velocidade em cada ponto? Como o próprio nome diz, ela é só uma média dos valores da velocidade durante um intervalo de tempo.

Como a gente faz, então, pra descobrir a velocidade em cada ponto? É exatamente esse conceito de "velocidade em cada ponto, em cada instante de tempo", que chamamos de velocidade instantânea.

Agora pensa devagar aqui comigo: Eu tenho a velocidade média, que me dá a média das velocidades de um objeto ao longo de um determinado tempo. E se eu pegar essa expressão de velocidade média e fazer o intervalo de tempo tender a zero? Se o intervalo de tempo tende a zero, a velocidade que encontraremos será a velocidade em um instante de tempo, concorda?

Então, para acharmos a velocidade instantânea vamos fazer o limite de $Δt$ tendendo a zero na expressão da velocidade média:

Velocidade instantânea escrita como o limite de
Velocidade instantânea escrita como o limite de

Do Cálculo temos que esse limite é justamente a definição de derivadas, então:

Velocidade instantânea escrita como a derivada da função posição em relação ao tempo
Velocidade instantânea escrita como a derivada da função posição em relação ao tempo

E é daí que sai aquela expressão que vimos lá no início hahahaha.

Agora temos que a velocidade instantânea é a derivada da posição no tempo. Então, se você tiver uma função posição e derivá-la em função do tempo, obterá uma função velocidade que lhe dará a velocidade instantânea. Show de bola?

Análise Gráfica da Velocidade Instantânea

O estudo de cálculo nos mostra que a derivada de uma função em um ponto $x$ qualquer é igual a inclinação da reta tangente nesse mesmo ponto $x$. Então, se temos que a velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo, se tivermos um gráfico da posição em função do tempo, a velocidade instantânea em um ponto será a inclinação da reta tangente naquele ponto:

Gráfico da posição
Gráfico da posição

Além disso, se tivermos um gráfico da velocidade versus tempo, a área sob a curva do mesmo nos dará a variação na posição:

Gráfico da velocidade
Gráfico da velocidade

E essa foi a definição de velocidade instantânea.

Aqui no Responde Aí, além de conteúdos incríveis em textos, temos também conteúdos em vídeos. Eu vou deixar aqui embaixo o vídeo sobre esse conceito que estudamos aqui hoje. É um vídeo completo e rápido focado em fazer você aprender exatamente o que precisa. Além de falar sobre velocidade instantânea ele fala também sobre aceleração instantânea.

Confere aí 👇🏽

Depois de aprender a teoria é muito importante praticar, então corre pra essa nossa página aqui repleta de exercícios resolvidos: Velocidade Instantânea - Exercícios

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Exercício Resolvido #1

Exercícios do Fisica Superior

A velocidade (em metros por segundo) de uma partícula que se move no plano xy é dada por:

v → = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j

a) Qual é a aceleração no instante t=3s?

b) Em que instante (se possível) a aceleração é nula?

c) Em que instante (se possível) a velocidade é nula?

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Passo 1

Puts, ele nos deu a equação da velocidade e pediu a aceleração... O QUE FAZEMOS AGORA? :O Isssoooo! É só lembrar que a aceleração de uma partícula é a derivada da velocidade em função do tempo! Fechou? Então temos que:

a = d v d t → d 6,0 t - 4,0 t 2 + 8,0 d t = ( 6,0 - 8,0 t ) i

Como queremos no tempo t=3s, é só substituirmos na equação da aceleração que encontramos acima!

a = 6,0 - 8,0 t i → 6 - 8 . 3 =   - 18 i   m / s 2

Show!

Passo 2

Agora queremos o instante (ou seja, o t) onde a aceleração será nula... Só igualarmos a equação da aceleração a 0, porque ela será nula, sacou? Bora lá:

6,0 - 8,0 t = 0   → 6 = 8 t

t = 6 8 = 0,75 s

Lindíssimo!

Passo 3

Agora queremos o instante da velocidade ser nula, é só fazermos o mesmo da letra b mas com a equação da velocidade! Vamo nessa:

v → = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j   → 0 = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j

Como podemos ver, a componente da velocidade em j vale 8 e não depende do tempo, então essa velocidade nunca será nula. Fechamosss!

Passo 4

Resposta

  1. a = - 18 i   m / s 2

b) 0,75s

c) Nunca será nula.

Exercício Resolvido #2

UFES - Lista do Professor Anderson

Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por: x t = 6,00 t 2 + 3,00 t + 2,00 onde x está em metros e t em segundos e a velocidade da partícula 2 é dada por   v t = - 4,00 t 2 + 20 , 00 onde a está em metros por segundo ao quadrado e t também em segundos.

a) Em que instante as partículas tem a mesma velocidade?

b) Qual a velocidade de A e B no t=0s?

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Passo 1

Como queremos o instante onde as velocidades serão iguais é só igualarmos a equação da velocidade da partícula A com a aprtícula B! Mas não temos a da partícula A E agora?

É só derivarmos a equação do espaço, porque v = d x d t . Show! Vamo lá:

x t = 6,00 t 2 + 3,00 t + 2,00   → d x d t = v t = 12,00 t + 3,00

Igualando as duas, a gente tem:

12,00 t + 3,00 =   - 4,00 t 2 + 20,00

4,00 t 2 + 12,00 t - 17,00 = 0

Onde o tempo positivo dessa equação do segundo grau dá aproximadamente t ≅ 1,0 5 s fechou?

Passo 2

Pra descobrirmos a velocidade é só susbtituirmos t=0 nas equações da velocidade! Bora lá, partícula A, temos: 12,00.0 + 3,00 = 3 m / s e partícula B temos: = - 4,00 . 0 2 + 20 , 00 = 20 m / s ! Fechamossss!

Resposta

  1. t=1,05s
  2. 3m/s e 20m/s

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-17

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x   é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50 t 3 , onde t   está em segundos. Calcule a   a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00   s   a t = 3,00   s ; b   a velocidade instantânea em t = 2,00   s ; c   a velocidade instantânea em t = 3,00   s ;   d a velocidade instantânea em t = 2,50   s ; e   a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00   s   e t = 3,00   s .   f Plote o gráfico de x   em função de t   e indique suas respostas graficamente.

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Passo 1

a Velocidade média é dada pela fórmula

v m = Δ x Δ t

Para calcularmos v m devemos achar as posições nos instantes t = 2   s   e t = 3   s

x 2 = 9,75 + 1,5.2 3

x 2 = 21,75   c m

x 3 = 9,75 + 1,5 .   3 3

x 3 = 50,25   c m

Passo 2

Podemos aplicar a equação da velocidade média

v m = Δ x Δ t = x 3 - x 2 3 - 2

v m = 50,25 - 21,75 3 - 2

v m = 28,5   c m / s    

Passo 3

b Para calcularmos a velocidade instantânea devemos achar a função velocidade e para isso vamos derivar a função posição

v t = d x d t

v t = d d t 9,75 + 1,50 t 3 = d d t 9,75 + d d t 1,50 t 3 = 0 + 1,5 3 t 2

v t = 4,5 t 2  

A velocidade instantânea no instante t = 2   s   é dada por

v 2 = 4,5.2 2

v 2 = 18   c m / s    

Passo 4

c Vamos substituir t   por 3   s   para descobrirmos a velocidade nesse instante

v 3 = 4,5.3 2

v 3 = 40,5   c m / s    

Passo 5

d Faremos o mesmo para t = 2,5   s

v 2,5 = 4,5.2,5 2

v 2,5 = 28,125   c m / s    

Passo 6

e O primeiro passo é descobrir em que instante a partícula está na metade da distância entre os instantes t = 2   s e t = 3   s  

No item a   calculamos

x 2 = 21,75   c m   ; x 3 = 50,25   c m   ;

Assim a metade entre essas posições é

x = 21,75 + 50,25 2

x = 36   c m  

Passo 7

Descobrimos a posição que equivale a metade do caminho entre x 2 e x 3 , agora conseguimos descobrir em que instante isso acontece

x t = 36

36 = 9,75 + 1,5 t 3

17,5 = t 3

t = 2,5962   s  

Passo 8

Agora é só substituir esse valor de t   na função velocidade para descobrirmos qual era a velocidade naquele instante

v 2,5962 = 4,5 × 2,5962 2