Velocidade e Aceleração Instantânea

Teoria Completa

Até agora nosso único conceito de velocidade foi dado pela velocidade média:

v m = ∆ S ∆ t

Mas.. concorda comigo que essa velocidade não nos mostra a velocidade em cada ponto? Mas, como um nome diz, só uma média dos valores dela durante um intervalo de tempo? Como a gente faz pra descobrir a velocidade em cada ponto? Este conceito se chama velocidade instantânea.

Velocidade Instantânea

A ideia da velocidade instantânea é a seguinte: Pra sabermos a velocidade em um instante t , vamos tender o intervalo de tempo ∆ t para zero.

É amigo, vamos utilizar de ferramentas do Cálculo a partir daqui, mas tranquilo não é nenhum bicho de sete cabeças não! Você vai tirar de letra!

Terminei de lhe dizer que a velocidade instantânea é quando o intervalo de tempo tende a zero, bom vamos escrever isso:

v =   lim Δ t → 0 ⁡ Δ S Δ t

Pelo Cálculo temos que isso é igual a:

v = d S d t

Agora temos que a velocidade instantânea é a derivada da posição no tempo. Então se você tiver uma função posição, se você derivá-la em função do tempo, obterá uma função velocidade que lhe dará a velocidade instantânea.

Análise Gráfica

O Cálculo ainda nos dá outra informação bem útil: A tangente é representação gráfica da derivada, e por isso temos que em um gráfico S   x   t   a tangente de um ponto no tempo t x é igual a velocidade instantânea do objeto naquele instante t x .

Como a velocidade é derivada da posição, pode-se dizer que a posição é a integral da velocidade :

S 1 - S 0 =   ∫ t 0 t 1 v ( t ) d t

E ainda, como a área é a representação gráfica da integral, a área sob o gráfico v   x   t é a variação da posição da partícula nos instantes t 0   e t 1

Aceleração Instantânea

Assim como fizemos com a velocidade instantânea, a aceleração instantânea é o quanto a velocidade varia em um intervalo de tempo que tende a zero.

a = lim Δ t → 0 ⁡ Δ v Δ t

Isso é definido como derivada pelo Cálculo, então:

a = d v d t

Descobrimos que a aceleração instantânea é a derivada da função velocidade, então se você tem uma função velocidade basta derivá-la que para obter a função aceleração.

Por exemplo: Dada a função posição, em metros, do objeto A . Calcule a velocidade instantânea no momento t = 2   s   e a aceleração instantânea no instante de tempo t = 1   s .

S t = 10 -   2 . t + 3 . t 2

Bora derivar a função posição então!

v ( t ) = 0 - 2 + 6 . t

v t =   - 2 + 6 . t

Achamos a função velocidade, agora vamos usá-la para descobrir a velocidade no instante t = 2   s  

v 2 =   - 2 + 6.2  

v 2 = 10     m / s

Vamos achar a aceleração agora, terminamos de aprender que a aceleração instantânea é igual a derivada da função velocidade

Acabamos de achar a função velocidade derivando a função posição

v t =   - 2 + 6 . t

Se derivarmos essa função encontraremos a a

a t = d v d t

a t = 0 + 6

a t = 6   m / s 2

Sim! O objeto A está sendo acelerado o tempo todo com uma aceleração a = 6   m / s 2 , constante(não varia com o tempo).

Se observarmos o que fizemos, vamos ver que derivamos duas vezes a função posição e obtivemos a aceleração, como a velocidade é derivada da posição e a aceleração é derivada velocidade, temos que a aceleração é a derivada segunda da posição

a t = d v t d t = d d t d S t d t = d 2 S t d t 2

O importante é lembrar que se derivar a função posição duas vezes, obtém-se a aceleração e se integrar duas vezes a aceleração, obtém-se a posição.

Análise gráfica

Utilizando do fato que a tangente é a representação da derivada, como já vimos, podemos através de um gráfico v   x   t , fazer a tangente de um ponto e descobrir a aceleração instantânea naquele instante.

No gráfico vemos que se fizermos a tangente no instante t y

T g 0 = a t y = 0  

Isso mostra que naquele instante a velocidade é constante, diferente do instante t x   que a velocidade é zero, mas vemos que ela está aumentando, o que implica em uma aceleração.

Por outro lado, a velocidade é integral da função aceleração, o que nos permite dizer que a área sob o gráfico a   x   t   é igual a variação da velocidade entre os instantes analisados.

v t 1 - v t 0 =   ∫ t 0 t 1 a t d t

Assim,

Vamos fazer uma breve revisão do que conseguimos integrando e derivando as funções:

Para obter a função posição S t   :   Você pode integrar a função velocidade, ou fazer a área do gráfico v   x   t   para obter Δ S ;

Para obter a função velocidade v t   : Você pode derivar a função posição, ou fazer a tangente de um ponto em um gráfico S   x   t ;   Ainda, pode integrar a função aceleração, ou até fazer a área sob o gráfico a   x   t   para achar a Δ v ;  

Para obter a função aceleração a t   :   Você pode derivar a função velocidade, ou fazer a tangente de um ponto em um gráfico v   x   t .

Agora, que já vimos tudo e revisamos, vamos fixar nosso conhecimento nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercícios do Fisica Superior

A velocidade (em metros por segundo) de uma partícula que se move no plano xy é dada por:

v → = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j

a) Qual é a aceleração no instante t=3s?

b) Em que instante (se possível) a aceleração é nula?

c) Em que instante (se possível) a velocidade é nula?

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Passo 1

Puts, ele nos deu a equação da velocidade e pediu a aceleração... O QUE FAZEMOS AGORA? :O Isssoooo! É só lembrar que a aceleração de uma partícula é a derivada da velocidade em função do tempo! Fechou? Então temos que:

a = d v d t → d 6,0 t - 4,0 t 2 + 8,0 d t = ( 6,0 - 8,0 t ) i

Como queremos no tempo t=3s, é só substituirmos na equação da aceleração que encontramos acima!

a = 6,0 - 8,0 t i → 6 - 8 . 3 =   - 18 i   m / s 2

Show!

Passo 2

Agora queremos o instante (ou seja, o t) onde a aceleração será nula... Só igualarmos a equação da aceleração a 0, porque ela será nula, sacou? Bora lá:

6,0 - 8,0 t = 0   → 6 = 8 t

t = 6 8 = 0,75 s

Lindíssimo!

Passo 3

Agora queremos o instante da velocidade ser nula, é só fazermos o mesmo da letra b mas com a equação da velocidade! Vamo nessa:

v → = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j   → 0 = 6,0 t - 4,0 t 2 i + 8,0 j

Como podemos ver, a componente da velocidade em j vale 8 e não depende do tempo, então essa velocidade nunca será nula. Fechamosss!

Passo 4

Resposta

  1. a = - 18 i   m / s 2

b) 0,75s

c) Nunca será nula.

Exercício Resolvido #2

UFES - Lista do Professor Anderson

Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por: x t = 6,00 t 2 + 3,00 t + 2,00 onde x está em metros e t em segundos e a velocidade da partícula 2 é dada por   v t = - 4,00 t 2 + 20 , 00 onde a está em metros por segundo ao quadrado e t também em segundos.

a) Em que instante as partículas tem a mesma velocidade?

b) Qual a velocidade de A e B no t=0s?

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Passo 1

Como queremos o instante onde as velocidades serão iguais é só igualarmos a equação da velocidade da partícula A com a aprtícula B! Mas não temos a da partícula A E agora?

É só derivarmos a equação do espaço, porque v = d x d t . Show! Vamo lá:

x t = 6,00 t 2 + 3,00 t + 2,00   → d x d t = v t = 12,00 t + 3,00

Igualando as duas, a gente tem:

12,00 t + 3,00 =   - 4,00 t 2 + 20,00

4,00 t 2 + 12,00 t - 17,00 = 0

Onde o tempo positivo dessa equação do segundo grau dá aproximadamente t ≅ 1,0 5 s fechou?

Passo 2

Pra descobrirmos a velocidade é só susbtituirmos t=0 nas equações da velocidade! Bora lá, partícula A, temos: 12,00.0 + 3,00 = 3 m / s e partícula B temos: = - 4,00 . 0 2 + 20 , 00 = 20 m / s ! Fechamossss!

Resposta

  1. t=1,05s
  2. 3m/s e 20m/s

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-17

A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x   é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50 t 3 , onde t   está em segundos. Calcule a   a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2,00   s   a t = 3,00   s ; b   a velocidade instantânea em t = 2,00   s ; c   a velocidade instantânea em t = 3,00   s ;   d a velocidade instantânea em t = 2,50   s ; e   a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2,00   s   e t = 3,00   s .   f Plote o gráfico de x   em função de t   e indique suas respostas graficamente.

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Passo 1

a Velocidade média é dada pela fórmula

v m = Δ x Δ t

Para calcularmos v m devemos achar as posições nos instantes t = 2   s   e t = 3   s

x 2 = 9,75 + 1,5.2 3

x 2 = 21,75   c m

x 3 = 9,75 + 1,5 .   3 3

x 3 = 50,25   c m

Passo 2

Podemos aplicar a equação da velocidade média

v m = Δ x Δ t = x 3 - x 2 3 - 2

v m = 50,25 - 21,75 3 - 2

v m = 28,5   c m / s    

Passo 3

b Para calcularmos a velocidade instantânea devemos achar a função velocidade e para isso vamos derivar a função posição

v t = d x d t

v t = d d t 9,75 + 1,50 t 3 = d d t 9,75 + d d t 1,50 t 3 = 0 + 1,5 3 t 2

v t = 4,5 t 2  

A velocidade instantânea no instante t = 2   s   é dada por

v 2 = 4,5.2 2

v 2 = 18   c m / s    

Passo 4

c Vamos substituir t   por 3   s   para descobrirmos a velocidade nesse instante

v 3 = 4,5.3 2

v 3 = 40,5   c m / s