Velocidade Média

Resumo Completo

Introdução

Fala, pessoal! Vamos começar a estudar agora o movimento de um corpo em uma única direção, ou seja, em uma reta. Esse movimento é chamado de movimento retilíneo.

Tá, um corpo quando está se deslocando sempre se desloca em uma direção e um sentido, certo?

Espera, o que é direção e sentido ?

Direção é em qual reta o movimento está acontecendo. Por exemplo um movimento pode ser vertical ou horizontal. Como vamos estudar apenas o movimento em uma direção (unidimensional), não fará diferença para gente em qual direção é esse movimento, por enquanto.

Já o sentido é pra qual lado dessa reta estamos andando. Isso significa que o sentido mostra se estamos progredindo, andando para frente na reta ou se estamos regredindo, andando para trás na reta.

Confuso? Vamos ver um exemplo para a definição de sentido ficar mais clara para a gente.

A imagem abaixo representa uma estrada na qual o sentido que a posição na estrada aumenta é da esquerda para direita.

Então imagina que em um instante inicial um carro está na posição k m   95 e, passado algum tempo, observa-se que o mesmo carro está na posição k m   27 . Podemos dizer que este carro se movimenta em um sentindo oposto ao da estrada, pois a posição do carro está diminuindo com o passar do tempo.

Até aí tudo tranquilo? Tá, vamos lá!

Variação da posição ( Δ x )

No exemplo acima, vimos que o carro começa na posição k m   95 e para na posição k m   27 . Chamaremos de Δ x essa variação na posição, ou seja, a posição final x f menos a posição inicial x 0 .

Δ x = x f - x 0

Ainda analisando o exemplo acima, temos que:

Δ x   =   27 - 95 =   - 68 k m

Isso significa que este carro variou sua posição em 68 km e o sinal negativo mostra que essa variação foi contrária ao sentido que a estrada aumenta sua posição.

O Δ ( delta )   em física significa variação. Por exemplo, para se referir à variação do tempo usamos :  

Δ t = t f - t 0

Lembre-se disso, esse símbolo será usado frequentemente em todas as áreas da física.

Velocidade média

A velocidade média é a razão entre a variação da posição e o intervalo de tempo que você demorou para variar a posição, ou seja, o quão rápido, em média, o corpo está se movendo.

V m = Δ x Δ t  

Vamos voltar ao exemplo passado. Na estrada havia radares que marcaram a velocidade média absoluta do carro em 17 k m / h . Agora, quero que você calcule o instante de tempo t f   em que o carro chega na posição k m   27 , sabendo que o carro saiu do k m   95   no instante t 0 = 0 s .

Calma, vamos devagar.

O primeiro passo já calculamos, que foi achar o valor de Δ x =   - 68 k m .

Agora temos que ter muita atenção: como a variação da posição é negativa e a variação do tempo positiva, a velocidade média tem sinal negativo. Por isso:

V m =   - 17 k m / h

Agora podemos calcular Δ t , pela formula de velocidade média temos:

- 17 =   - 68 Δ t

Onde:

Δ t = 4   h o r a s  

Como t 0 = 0 , temos que:

t f = 4   h o r a s

Função horária da posição em um movimento retilíneo uniforme

Um movimento retilíneo uniforme (MRU) é quando a velocidade é constante, ou seja, não se altera com o passar do tempo naquele trecho analisado.

Admitindo que t 0 = 0 , podemos escrever a equação da V m em função das posições S e S 0 . Como a velocidade é constante, podemos escrevê-la apenas como V e por isso temos:

V = S - S 0 t

Isolando S , chegamos na função horária da posição em um MRU:

S = S 0 + V . t

Unidades

No sistema internacional de unidades a unidade de velocidade é m / s mas é muito comum no nosso dia-a-dia usarmos k m / h . Muitas vezes você vai ter que converter de uma unidade pra outra então se liga nesse bizu aqui ;)

Lembrando que

1 k m = 1000 m

1 h = 60   m i n = 60 × 60 s = 3600 s

Assim

k m h = 1000 3600 m s = 1 3,6 m s

Se a gente quer passar de k m / h pra m / s tem que dividir por 3,6 . Se quer passas de m / s pra k m / h tem que multiplicar por 3,6 .

Por exemplo: um corredor de 100 m rasos corre isso tudo em um pouco menos de 10 s então a a sua velocidade correndo é um pouco maior do que

v = 100 m 10 s = 10 m / s

Se quisermos saber isso em k m / h , basta fazer

v = 10 m / s = 10 × 3,6 k m / h

v = 36   k m / h

Uma figurinha que me ajuda muito é essa aqui ó!

Análise gráfica

Ao analisar a função horária da posição em um MRU, pode-se observar que ela é semelhante a equação de uma reta Y = a X + b . Em um gráfico posição x por tempo ( t ) , b representa S 0 , o ponto onde a reta corta o eixo da posição, e V é o coeficiente angular da reta, podendo ser calculado dessa forma:

t g θ = V

Função posição

O que é uma função posição? Mais uma fórmula para decorar?

Pode ficar tranquilo, não se trata de nada disso!

Função posição é uma equação em função do tempo que lhe permite saber onde o objeto estudado encontra-se, ou seja, qual é a posição dele em um dado instante t . Por exemplo:

S ( t ) = 2 t 2 - 5 t 3 + t 4 + 15

Isso é uma função posição, e com ela podemos descobrir S 0 , basta substituir t = 0   e temos :

S ( 0 ) = 2.0 2 - 5 .   0 3 + 0 4 + 15  

S 0 = 15  

Podemos descobrir a posição do objeto em qualquer instante que desejarmos.

Essa função será dadá pelo enunciado nos exercícios e por isso você não precisa se preocupar com ela, você só precisa saber achar a posição nos instantes pedidos.

E como que eu faço para calcular a velocidade média quando o enunciado me dá uma função posição?

Então para acharmos a v m   de um objeto que se move dado uma função da posição qualquer, seguiremos esse passo a passo:

  1. Acharemos a posição nos instantes desejados;
  2. Calcularemos a variação da posição entre esses instantes;
  3. Calcularemos a variação do tempo;
  4. Aplicaremos a equação de v m .

Não importa o quão “maluca” seja sua função posição, você vai ver que resolver o problema fica tranquilo com esse passo a passo!

Só mais uma coisinha, o que acontece quando ao invés de dar a função maluca, o enunciado nos dá o gráfico da função e nos pede   v m ? Ou então se ele pede pra construir o gráfico e medir   v m ? Imagina que o gráfico que ele te deu ou você construiu é esse:

Agora, basta achar os valores referentes a S t nos instantes pedidos. Feito isso a próxima etapa é traçar uma linha entre os pontos achados deste modo:

Se lembrarmos que:

t g θ = v m  

Conseguimos resolver o problema, pois se calcularmos a tangente da reta que terminamos de traçar encontramos a v m .

E pelo gráfico conseguimos isso, por exemplo, no primeiro gráfico teríamos:

v m = 100 - 50 80 - 60

v m = 50 20

v m = 2,5   m / s

Vai ficando mais fácil a medida que formos resolvendo os exercícios, então bora lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 33-3

Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,50   s . Se você está dirigindo um carro a 90 k m / h e espirra, de quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente os olhos?

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Passo 1

O enunciado nos forneceu o tempo que ficamos de olho fechados e a velocidade com que nosso carro está se movendo:

t = 0,5 s       v = 90 k m / h

Queremos descobrir a distância percorrida pelo carro, o Δ x .

Mas observamos que as unidades que ele nos forneceu não são equivalentes: o tempo está em segundos e a velocidade em quilômetros por hora.

Logo, devemos colocá-las no S . I . (Sistema Internacional de unidades). Assim, vamos dividir a velocidade por 3,6   para obtermos a velocidade em m / s :

v = 90 3,6 = 25 m / s

Passo 2

Agora, com os dados no S . I .   , conseguimos calcular o Δ x   :  

Δ x = 25   .   0,50

Δ x = 12,5   m

Assim, resolvemos o exercício: o carro desloca-se 12,5   m   enquanto você está de olho fechado.

Resposta

Δ x = 12,5   m

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 51 - Modificado
  1. Seu carro velho pode desenvolver uma velocidade média de 8,0   m / s durante 60   s , a seguir melhora o desempenho e desenvolve uma velocidade média de 20,0   m / s durante 60   s . Calcule sua velocidade média para o intervalo total de 120   s .
  2. Suponha a velocidade média de 8,0   m / s seja mantida durante um deslocamento de 240   m , seguido de uma velocidade média de 24,0   m / s em outro deslocamento de 240   m . Calcule a velocidade média para o deslocamento total.
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Passo 1

a )

Ele pede a velocidade média total do percurso, para isso precisamos da variação da posição, Δ x , do carro e do tempo que ele levou para fazer esse percurso.

Pelo enunciado percebemos que o tempo que ele leva para percorrer o trecho total é 120   s .

Δ t t o t a l = 120   s  

Então precisamos apenas dos deslocamentos em cada trecho, para isso vamos lembrar que:

V m = Δ S Δ t

O enunciado deu V m e Δ t de cada trecho, para achar o deslocamento, fazemos:

Δ S = V m . Δ t

Passo 2

O primeiro trecho tem:

D a d o s V m = 8 m s Δ t = 60   s  

Δ S 1 = 8 V m . 60 Δ t = 480   m  

Passo 3

O segundo trecho tem:

D a d o s V m = 20 m s Δ t = 60   s    

Δ S 2 = 20 V m . 60 Δ t = 1200   m  

Passo 4

O deslocamento total é:

Δ S t o t a l = Δ S 1 + Δ S 2  

Δ S t o t a l = 480 + 1200 = 1680   m  

Passo 5

Então a velocidade média total é:

V m t o t a l = Δ S t o t a l Δ t t o t a l  

V m t o t a l = 1680 120 = 14   m / s    

Passo 6

b )

Ele pede a velocidade média total do percurso, para isso precisamos de qual distância o carro percorreu e do tempo que ele levou para fazer esse percurso.

Pelo enunciado, percebemos que o carro percorreu a distância total de 480   m .

Δ S t o t a l = 480   m  

Então precisamos apenas dos tempos para cada trecho.

No enunciado ele nos dá a V m e Δ S de cada trecho, usando novamente a fórmula de velocidade média:

Δ t = Δ S V m  

Passo 7

No primeiro trecho,

D a d o s V m = 8   m / s   Δ S = 240   m    

Δ t 1 = 240 8 = 30   s  

Passo 8

No segundo trecho,

D a d o s V m = 24   m / s   Δ S = 240   m  

Δ t 2 = 240 24 = 10   s  

Passo 9

O tempo total é:

Δ t t o t a l = Δ t 1 + Δ t 2  

Δ t t o t a l = 30 + 10 = 40   s  

Passo 10

A velocidade média total é:

V m t o t a l = Δ S t o t a l Δ t t o t a l = 480 40 = 12   m / s    

Resposta

a )   V m t o t a l = 14   m / s    

b )   V m t o t a l = 12   m / s      

Exercício Resolvido #3

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 33-9

Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra cidade, a uma distância de 300   k m   . A entrevista foi marcada para as 11 : 15   h   da manhã. Você planeja dirigir a 100 k m h   e parte às 8 : 00   h   da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100   k m   , depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir para 40   k m / h   por 40   k m . Qual a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo para a entrevista?

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Passo 1

O enunciado nos deu o tempo máximo, t max .   , com o qual você pode realizar esse trajeto entre as cidades e não se atrasar para a entrevista.

t max . = 11 : 15 - 8 : 00 = 3   h     e   15   m i n

Transformando os 15   m i n   em horas temos:

t max . = 3   h   e 15 60 h = 3,25   h

Ele também dividiu o caminho em três trechos, sendo os dois primeiros representados pelos dados:

t r e c h o 1 v m 1 = 100   k m / h Δ x 1 = 100   k m Δ t 1 =   ?  

t r e c h o 2 v m 2 = 40   k m /   h Δ x 2 = 40   k m Δ t 2 =   ?

Nos dois primeiros, conhecemos v m e   Δ x , e no terceiro o que queremos saber é a v m 3 , pois ela é a mínima velocidade que permitirá a você cheguar a tempo da entrevista.

Para saber o Δ x 3 é necessário subtrair do Δ x t o t a l os Δ x 1   e   Δ x 2 . Deve-se fazer o mesmo com o Δ t 3 .

t r e h o 3 v m 3 =   ? ? Δ x 3 =   Δ x t o t a l -   Δ x 1 -   Δ x 2 = 300 - 100 - 40 = 160   Δ t 3 = t max . - Δ t 1 - Δ t 2

Como sabemos os valores de Δ x 1   e   Δ x 1 , conseguimos obter que o Δ x 3 = 160   k m .

Então, para calcular v m 3 , é necessário descobrir qual o tempo que ainda lhe resta para não chegar atrasado na entrevista, Δ t 3 .

Passo 2

Para isso, vamos achar Δ t 1 . Como temos Δ x 1 e   v m 1   , podemos aplicar a equação de velocidade média:

v m = Δ x Δ t  

t 1 = 100 k m 100 k m / h = 1   h  

Passo 3

Agora, vamos achar Δ t 2 . Como temos Δ x 2 e   v m 2   , podemos fazer o mesmo que fizemos para achar Δ t 1 :

v m = Δ x Δ t  

t 2 = 40 k m 40 k m / h = 1   h  

Passo 4

Assim, podemos calcular o valor de Δ t 3   :  

Δ t 3 = t max . - Δ t 1 - Δ t 2

Δ t 3 = 3,25   h - 1   h - 1   h = 1,25   h

Passo 5

O último passo, já que temos Δ x 3   e   Δ t 3 , é calcular a v m 3   :

v m 3 = Δ x 3 Δ t 3  

v m 3 = 160   k m 1,25   h

v m 3 = 128   k m / h      

A mínima velocidade com que você deve dirigir para chegar a tempo de sua entrevista é de 128   k m /   h .

Resposta

v m 3 = 128   k m / h      

Exercício Resolvido #4

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 33-6

Calcule a velocidade média nos dois casos seguintes: a você caminha 73,2   m   a uma velocidade de 1,22   m / s e depois corre 73,2   m   a 3,05   m /   s em uma pista reta. b Você caminha 1,00   m i n   com uma velocidade de 1,22   m / s e depois corre por 1,00   m i n a 3,05   m / s em uma pista reta. c Faça o gráfico de x   em função de t   nos dois casos e indique como a velocidade média pode ser determinada a partir do gráfico.

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Passo 1

( a )

A Questão quer que você calcule a v m   , para isso vamos escrever a equação de v m   :

v m = Δ x Δ t

Onde, o enunciado nos fornece o Δ x :

Δ x = 73,2   m + 73,2 m = 146,4   m  

Não temos o Δ t , mas sabemos que:

Δ t = t t r e c h o 1 + t t r e c h o 2

Passo 2

Vamos calcular t t r e c h o 1 . Sabemos os seguintes dados do trecho 1 :

t r e c h o 1 Δ x 1 = 73,2   m v m 1 = 1,22   m / s

Assim, substituindo os valores na equação de v m :

t 1 = Δ x 1 v m 1

t 1 = 73,2   m   1,22 m / s  

t 1 = 60   s

Passo 3

Vamos calcular t t r e c h o 2 . Sabemos os seguintes dados do trecho 2 :

t r e c h o 2 Δ x 2 = 73,2   m v m 2 = 3,05   m / s

Assim, substituindo os valores na equação de v m :

t 2 = 73,2   m   3,05   m / s  

t 2 = 24   s

Passo 4

Agora podemos calcular Δ t :

Δ t = 60   s + 24   s = 84 s

Tendo o Δ x   e   Δ t , vamos calcular v m :

v m = Δ x Δ t  

v m = 146,4   m 84   s

v m = 1,743   m / s

Passo 5

( b )

Novamente a questão quer que você calcule a v m   , para isso vamos escrever a equação de v m   :

v m = Δ x Δ t

Onde, o enunciado nos fornece o Δ t :

Δ t = 1,00   m i n + 1,00   m i n = 2   m i n  

Convertendo para segundos:

Δ t = 2   .   60 = 120   s  

Não temos o Δ x , mas sabemos que :

Δ x = x t r e c h o 1 + x t r e c h o 2

Passo 6

Vamos calcular x t r e c h o 1 . Sabemos os seguintes dados do trecho 1 :

t r e c h o 1 Δ t 1 = 60   s v m 1 = 1,22   m / s

Assim, substituindo os valores na equação de v m :

x 1 = Δ t 1   .   v m 1  

x 1 = 60   s   .   1,22   m / s

x 1 = 73,2   m

Passo 7

Vamos calcular x t r e c h o 2 . Sabemos os seguintes dados do trecho 2 :

t r e c h o 2 Δ t 2 = 60   s v m 2 = 3,05   m / s

Assim, substituindo os valores na equação de v m

x 2 = 60   .   3,05    

x 2 = 183   m

Passo 8

Agora podemos calcular Δ x :

Δ x = 73,2   m + 183   m   = 256,2   m

Tendo o Δ x   e   Δ t , vamos calcular v m :

v m = Δ x Δ t  

v m = 256,2   m 120   s

v m = 2,135   m / s

Passo 9

c

Como no item a   já calculamos tudo que precisávamos para desenhar o gráfico, nosso gráfico ficou assim:

Para calcular a velocidade média do trajeto todo, basta traçar uma reta do ponto inicial ao final:

E lembrarmos que a tangente do â ngulo entre essa reta e a horizontal é a velocidade média do trajeto:

T a n θ = v m

Pelas geometria plana, temos que:

T a n   θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e  

T a n θ = 146,4 84  

v m = T a n θ = 1,743   m / s

Passo 10

Para fazermos o gráfico referente ao item b , não é necessário mais nenhuma informação pois já calculamos tudo no item b . Então, vamos desenhar:

Para calcular a velocidade média, faremos o mesmo que fizemos acima:

Calculando a T a n θ '   :  

v m = T a n θ ' = 256,2 120

v m = 2,135   m / s    

Resposta

a   v m = 1,743   m / s    

b   v m = 2,135   m / s    

( c )

Exercício Resolvido #5

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 39-80 - Modificado

Um piloto voa horizontalmente a 1300   k m / h     a uma altura h = 35   m   acima do solo inicialmente plano. No instante t = 0 , o piloto começa a sobrevoar um terreno inclinado para cima de um ângulo θ = 4,3 °   . Se o piloto não mudar a trajetória do avião, em que instante o avião se chocará com o solo?

Dado: t g 4,3 ° = 0,0752  

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pela equação horária da posição temos:

v = Δ x Δ t  

Como o problema pede o instante t   em que o avião encontrará o solo e já temos v = 1300 k m h , apenas falta achar qual a distância que o avião vai percorrer antes de bater no solo.

Observamos que o solo, ao se inclinar de θ , forma um triângulo assim:

E no ponto em que o solo se encontra na altura h = 35   m   será onde ocorrerá a colisão e o avião terá percorrido toda a distância d .

Passo 2

Vamos agora achar d , né!

Se lembrarmos que:

t g θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e  

Temos:

t g 4,3 ° = h d

Usando o dado:

t g 4,3 ° = 0,0752  

Assim:

d = 35   m 0,0752

d = 465 ,   426   m  

Passo 3

Como a velocidade está em k m / h     e a distância em metros, vamos deixar tudo no S . I .   para podermos calcular t  

v = 1300 3,6 = 361,1   m / s    

Passo 4

Agora podemos usar a definição de velocidade média para calcular t :

361,1 = 465,426 t

t = 465,426   m 361,1   m / s

t = 1,2880   s  

Resposta

t = 1,288   s  

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Unicamp-P1-2015.1-Q2

A posição de uma partícula (em metros) é dada em função do tempo ( em segundos) pela seguinte equação x t = 5 t 3 - 8 t . A velocidade média entre os instantes t = 1   s e t = 2   s é:

a) - 35   m / s

b) + 35   m / s

c) - 27   m / s

d) + 27   m / s

e) 0   m / s

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema pede a v m   entre os instantes t = 1   s   e t = 2   s   , desta forma já temos o Δ t

Δ t = 2 - 1

Δ t = 1   s

Então só precisamos achar as posições da partícula nesses instantes.

Passo 2

Para achar em que posição a partícula está no instante t = 1   s , iremos substituir este instante na função posição dada pelo problema.

x 1 = 5.1 3 - 8.1

x 1 = 5 - 8

x 1 = - 3   m

Passo 3

Faremos o mesmo para achar x 2

x 2 = 5.2 3 - 8.2

x 2 = 40 - 16

x 2 = 24   m

Passo 4

Podemos calcular Δ x   agora

Δ x = x 2 - x 1

Δ x = 24 - - 3

Δ x = 27   m

Passo 5

Por fim, vamos aplicar a equação de v m

v m = Δ x Δ t

v m = 27   m 1   s

v m = 27   m / s    

Resposta

(d) v m = 27   m / s    

Exercício Resolvido #7

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 33-5

A posição de um objeto que se move o longo de um eixo x   é dada por x = 3 t - 4 t 2 + t 3 , onde x   está em metros e t   em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t   :   a   1   s ,   b   2   s ,   c   3   s   d   4 s .   e Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4   s ? f Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2   s   a t = 4   s ? g Faça o gráfico de x   em função de t   para 0 t 4   s   e indique como a resposta do item f pode ser determinada a partir do gráfico.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Para achar a posição no instante t = 1   s   vamos substituir t   por 1   na função posição dada

x ( 1 ) = 3.1 - 4   . 1 2 + 1 3

x ( 1 ) = 3 - 4 + 1

x 1 = 0   m

Passo 2

b Faremos o mesmo nos itens a seguir

x 2 = 3.2 - 4.2 2 + 2 3

x 2 = 6 - 16 + 8

x 2 =   - 2   m

Passo 3

c     Para t = 3   s

x 3 = 3.3 - 4.3 2 + 3 3  

x 3 = 9 - 36 + 27

x 3 = 0   m

Passo 4

d Para t = 4   s

x 4 = 3.4 - 4.4 2 + 4 3

x 4 = 12 - 64 + 64

x 4 = 12   m  

Passo 5

e   Pede-se o Δ x   entre t = 0   e t = 4   s

Temos que:

Δ x = x 4 - x 0

Já calculamos x 4 no item d

Vamos calcular x 0

x 0 = 3.0 - 4.0 2 + 0 3

x 0 = 0   m

Assim descobrimos que

Δ x = 12 - 0

Δ x = 12   m

Passo 6

f Deseja-se saber a v m   entre os instantes t = 2   s   e t = 4   s , pela forma de v m   temos :

v m = Δ x Δ t

v m = x 4 - x 2 t f - t 0

Substituindo os valores:

v m = 12 - - 2 4 - 2  

v m = 14 2  

v m = 7   m / s    

Passo 7

g

Primeiro vamos fazer um gráfico apenas marcando os pontos que conhecemos

Agora podemos traçar uma linha que passe em todos os pontos, e assim teremos nosso gráfico

Passo 8

Para achar a v m   por um gráfico iremos traçar uma reta entre os instantes pedidos t = 2   s   e t = 4   s  

E agora vamos calcular a tangente dessa reta, pois:

T a n θ = v m

Como não temos ideia de quem seja θ   iremos usar a relação

T a n θ = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

Por isso achamos:

v m = 14 2  

v m = 7   m / s      

Resposta

a   x 1 = 0   m

b   x 2 = - 2   m

c   x 3 = 0   m

d   x 4 = 12   m

e   Δ x = 12   m  

f   v m = 7   m / s    

Exercício Resolvido #8

Enunciado

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 33/34-11

Dois trens, cada um com velocidade de 30   k m / h , trafegam em sentidos opostos na mesma linha férrea retilínea. Um pássaro capaz de voar a 60   k m / h     parte da frente de um dos trens, quando eles estão separados por 60   k m , e se dirige em linha reta para o outro trem. Ao chegar ao outro trem, o pássaro faz meia-volta e se dirige para o primeiro trem, e assim por diante. (Não temos a menor ideia da razão pela qual o pássaro se comporta desta forma.) Qual é a distância total que o pássaro percorre até os trens colidirem?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O problema quer saber quantos metros o pássaro percorre antes de os trens colidirem, o que faremos será descobrir o tempo que ocorrerá o acidente e assim conseguir descobrir a posição do pássaro. Vamos considerar a posição inicial do pássaro como s 0 = 0 que é a mesma de um dos trens e faz com que o segundo trem esteja na posição s = 60   k m .

Passo 2

Vamos seguir nosso passo a passo para resolver questões de encontro de partícula. Primeiro vamos dizer qual é o movimento de cada corpo estudado.

Tanto pássaro, quanto os trens tem velocidade constante e por isso executam um movimento retilíneo uniforme.

t r e m 1 s 0 = 0 v = 30   k m / h

P á s s a r o s 0 = 0 v = 60   k m / h    

t r e m 2 s 0 = 60   k m v = - 30   k m / h    

A velocidade do trem dois é negativa devido ao sentido do movimento dele.

Passo 3

Vamos escrever as respectivas equações da posição de cada corpo.

t r e m 1 S = 30 . t

P á s s a r o S = 60 . t

t r e m 2 S = 60 - 30 . t  

Passo 4

Queremos o instante de tempo t   em que os trens se encontram. Por isso vamos igualar as equações da posição dos trens.

30 t = 60 - 30 t

t = 1   h

Passo 5

Agora que sabemos o instante em que ocorre o encontro, sabemos o tempo que o pássaro passa voando e assim substituindo t = 1   h na equação da posição do pássaro.

S = 60   k m

Resposta

60   k m

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