Otimização – Casos Clássicos

Teoria Completa

Pitágoras

Imagine que um velho nadador chamado Phelps quer ir de um ponto A de um lado do rio para um ponto B do outro lado do rio que está há uma distância horizontal de 50 m do ponto A.

O rio tem 10 metros de uma margem para outra e o Phelps pode andar uma parte da margem e nadar o restante do caminho, ou nadar o caminho todo como ele preferir. Se Phelps anda a 5 m / s e nada a 3 m / s , qual o melhor trajeto de Phelps?

Que função que eu vou otimizar, ó Céus?

Na maioria das questões de otimização, a função a otimizar e outras equações não são fornecidas no enunciado. Então, nós vamos ter que analisar o problema e encontrar a função a otimizar e outras equações. Vamos lá?

1º Passo: Fazer um desenho do problema e atribuir variáveis para as quantidades pedidas.

Então vamos lá: o rio é esse, o que Phelps terá de decidir é o quanto ele andará e quanto ele nadará, ou seja, queremos os comprimentos dessas retas mais escuras:

2º Passo: Escrever relações entre as variáveis do problema.

Vamos adotar x como a variável do problema e tentaremos achar a relação entre c e x . Temos aqui um triângulo retângulo, então é só usar Pitágoras:

c = x 2 + 100

Ou seja c é a distância que Phelps nada. Consequentemente, qual a distância que ele andará? Se a margem tem comprimento de 50 metros, então a distância que ele anda em terra é

50 - x

3º Passo: Escrever a função a ser maximizada (ou minimizada) em função de uma das variáveis do problema.

Agora sim, observando o problema, a gente chega na função a otimizar, o tempo:

t x = Δ t t e r r a + Δ t r i o

Lá dá física do ensino médio e já substituindo:

v t e r r a = Δ S t e r r a Δ t t e r r a ⟹ Δ t t e r r a = Δ S t e r r a v t e r r a = ( 50 - x ) 5

Da mesma maneira:

Δ t r i o = Δ S r i o v r i o = c 3 = x 2 + 100 3

Aí pronto:

t x = ( 50 - x ) 5 + x 2 + 100 3 = 3 ( 50 - x ) + 5 x 2 + 100 15

A partir daqui, é só fazer como na teoria inicial de otimização!

4º Passo: Derive a função e ache os pontos críticos para achar os pontos de máximo ou de mínimo

5º Passo: Verificar se o ponto achado é um ponto de máximo (ou mínimo) local ou global. No fundo, se existe algum ponto melhor (que é “mais máximo” ou “mais mínimo” do que o ponto achado anteriormente). Para isso, teste os extremos do intervalo ou estude o comportamento.

Distância de Ponto à Função

Olha essas duas funções aqui, f e g :

Se eu te pedisse a menor distância entre as duas funções, chamando um ponto de f qualquer de x A , y A e um ponto qualquer de g de x B , y B , como você começaria? Vou começar dando uma melhorada na função:

Se os pontos A e B são pontos das curvas f e g , então a distância entre os pontos formará um triângulo retângulo e poderá ser calculada por Pitágoras:

s 2 = Δ x 2 + Δ y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2

Isolando s e substituindo por seu valor como função de x :

s = x B - x A 2 + g x B - f ( x A ) 2

Simples assim, basta usar essa fórmula para otimizar a distância entre duas curvas!

Quando precisar encontrar a menor distância entre um ponto e uma curva a distância entre eles também será dada pela diferença entre as coordenadas aplicadas ao Pitágoras.

Área e Volume

Um homem do campo tem 1.500 m de cerca e quer construir um cercado retangular em volta do seu terreno. Qual é a área máxima que ele poderá cercar? Qual será a altura e a largura da área cercada? Como equaciona essa bosta, amigo?

Bem, identificamos que se trata de um problema de otimização, pois queremos a área máxima.

1º Passo: Faça um desenho do problema e atribua variáveis para as quantidades pedidas.

2º Passo: Escreva relações entre as variáveis do problema.

P e r í m e t r o →   2 x + 2 y = 1500 → x + y = 750 ⟹ y = ( 750 - x )

A = x ⋅ y

3º Passo: Escrever a função a ser maximizada (ou minimizada) em função de apenas uma das variáveis do problema. Como fica a área em função de x ?

A = x ⋅ y = x ⋅ 750 - x = - x 2 + 750 x

4º Passo: Derive a função e iguale a 0 para achar os pontos de máximo (ou de mínimo).

d A d x = - 2 x + 750 = 0 → x = 375

5º Passo: Verificar se o ponto achado é um ponto de máximo (ou mínimo) local ou global.

Você vai achar que esse é um ponto de máximo global, a área máxima é 140.625   m 2   e as dimensões são x = 375 e y = 375 .

Tudo bem? Outros problemas de área e perímetro cobram outras fórmulas, então fique ligado!

A r e t a n g u l o = l a d o 1 ⋅ l a d o 2 ; A t r i a n g u l o = b a s e ⋅ a l t u r a 2 ; A c i r c u l o = π r a i o 2 ;

A l a t e r a l   d o c i l i n d r o = 2 π ⋅ r a i o ⋅ a l t u r a ; A e s f e r a = 4 π r a i o 2

Grave todas essas fórmulas aí!

Volume

E se fosse um volume? Problemas de volume em nada mudam quanto à organização do passo-a-passo, mas você precisa saber as principias fórmulas cobradas:

V c o n e = π r a i o 2 a l t u r a 3 ; V c i l i n d r o = π r a i o 2 a l t u r a ;

V p r i s m a = A b a s e ⋅ a l t u r a ;   V e s f e r a = 4 3 π r 3

Veremos bastante disso nos exercícios de fixação ;-).

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2012.1 - 1

Seja l uma reta passando pelo ponto 1,1 com inclinação negativa. Dentre todos os triângulos retângulos A B C obtidos tomando A = 0,0 e B C - a interseção da reta l com o primeiro quadrante, encontre as dimensões do que possui a menor hipotenusa.

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Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Esta questão merece um desenho bem feito:

Agora sim podemos começar à pensar. Atribuindo algumas dimensões ao problema

C = x , 0

B = 0 , y

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Repare que existem dois triângulos semelhantes na figura do problema:

O triângulo em vermelho tem altura y - 1 e base 1 . O triângulo em azul tem altura 1 e base x - 1 . Como são semelhantes, podemos usar a semelhança de triângulos: y - 1 1 = 1 x - 1 ⟹ y - 1 x - 1 = 1 ⟹ y = x x - 1

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Queremos achar a menor hipotenusa que será dada por Pitágoras:

h 2 = x ² + y 2 ⟹ h = x x - 1 2 + x 2

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

h ' = x 2 + x x - 1 2 - 1 2 x - x x - 1 3

Igualando à zero obtemos:

x - x / x - 1 3 x 2 + x / ( x - 1 ) 2 = 0

Sumindo com esse denominador que nunca vai poder ser zero ficamos com:

x 1 - 1 x - 1 3 = 0

1 x - 1 3 = 1

x - 1 = 1

x = 2

Também teremos outro ponto crítico em x = 1 que é onde a derivada não existe. Nesse ponto, porém, a reta seria vertical e não tocaria o eixo y . Vamos desconsiderá-lo então.

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Agora precisamos provar que x = 2 é um mínimo. Uma alternativa é o teste da derivada segunda, a outra é simplesmente analisar o sinal da derivada h ' x . O segundo teste é mais conveniente, pois derivar isso aí de novo seria bem complicado.

h ' x = x - x / x - 1 3 x 2 + x / ( x - 1 ) 2

Arrumando, podemos ver que o denominador não influencia no sinal. Por ser uma raiz ele deve ser sempre positivo.

Vamos testar um ponto à esquerda e à direita do ponto crítico. Pode ser x = 3 / 2 e x = 3 . Como o sinal só depende do numerador basta testar somente ele.

Para x = 3 / 2 :

1 - 1 3 / 2 - 1 3 = 1 - 1 1 / 2 3 = 1 - 8 < 0

Para x = 3 :

1 - 1 3 - 1 3 = 1 - 1 8 > 0

A derivada é negativa à esquerda e positiva à direita, então temos um ponto de mínimo aí!

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Temos um outro ponto crítico em x = 1 , mas nesse ponto, a reta é vertical e não toca o eixo y . A hipotenusa, portanto, será infinita. Maior que nosso ponto de mínimo, obviamente.

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo 6 e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

x vai variar desde x = 1 , que é seu valor mínimo, até infinito. Já vimos o que acontece em x = 1 . Para x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ x x - 1 2 + x 2 = lim x → ∞ ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x 2 x 2 - 2 x + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 4 - 2 x 3 + 2 x 2 x 2 - 2 x + 1 = ∞

Como ambas fronteiras vão para mais infinito, garantimos que o nosso ponto de mínimo encontrado é mínimo global!

Resposta

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Uma cerca de 2   m de altura corre paralela a um edifício alto a uma distância de 1   m do edifício. Qual o comprimento da menor escada que se apoie no chão e na parede do prédio por cima da cerca?

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Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Ok, primeira coisa que temos que notar é que a análise desse problema começa por um corte perpendicular à extensão da cerca. Imagina como se eu tivesse olhando para cerca e para o edifício no sentido em que eles correm, como isso aqui, ó:

Beleza, a partir daqui já aparece um triângulo e umas distâncias relevantes para o nosso problema. Só para esclarecer tudo, a distância mínima dessa escada tem que, necessariamente, estar tocando ali no pico do arame, já que é o ponto no qual ele mais se “aproxima” do chão e da parede.

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

O cara quer o tamanho mínimo da escada, ou seja, precisamos descrever a escada de através de alguma equação. Bom, imagina que eu chamo a distância do ponto onde ela toca o edifício de h e a distância do ponto onde ela toca o chão de b . Bom, por Pitágoras, eu poderia dizer que o comprimento E da escada é:

E = h 2 + b 2

Tá maneiro, e como eu chego aos valores de h e de b ? Nesse desenho aqui eu chamei de x a distância do ponto onde a escada toca o chão até a cerca. Marquei também as distâncias que o problema me deu:

Repara, por aqui, eu tenho:

b = x + 1

E posso matar essa altura por semelhança de triângulos, certo?

2 x = h x + 1

h = 2 x + 2 x = 2 + 2 x

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

Jogando na equação do E ( x ) :

E x = h 2 + b 2 = 2 + 2 x 2 + ( x + 1 ) 2

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Vamos derivar E ( x ) agora, e o negócio fica assim:

E ' ( x ) = 2 + 2 x 2 + 2 x ' + x + 1 x + 1 ' 2 + 2 x 2 + x + 1 2 = 2 + 2 x ( - 2 x 2 ) + x + 1 2 + 2 x 2 + x + 1 2