Enunciado

Se 1   200   c m 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.

Passo 1

Seja a caixa com uma base quadrada de lado b e uma altura h , temos que a área total da caixa é dada pela soma da área da base mais a área lateral, então

A b = b 2

A L = 4 ⋅ b ⋅ h

A = b 2 + 4 b h = 1200

Temos que o volume da caixa é dado por

V = b 2 ⋅ h

Da área da caixa, podemos escrever

h = 1200 - b 2 4 b

Substituindo no volume, ficamos com

V = b 2 ⋅ 1200 - b 2 4 b = 1200 b - b 3 4

Passo 2

Para encontrarmos o volume máximo, basta derivarmos e igualarmos a zero, daí

V ' = 1200 - 3 b 2 4

Igualando a zero, ficamos com

1200 - 3 b 2 4 = 0

1200 - 3 b 2 = 0

3 b 2 = 1200

b 2 = 400

b = 20   c m

Encontrando h

h = 1200 - 20 2 4 ⋅ 20 = 1200 - 400 80 = 10   c m

Passo 3

Agora, podemos encontrar o maior volume possível da caixa

V = b 2 ⋅ h = 20 2 ⋅ 10 = 4   000   c m 3

Resposta

O maior volume possível da caixa é V = 4   000   c m 3

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