Otimização

Resumo Completo

Otimizando

Imagine que Sr. Marcos, ou Marquinho para os íntimos, tem uma mercearia. Marquinho quer comprar várias bananas ( B ) , de forma que o custo ( C ) é dado assim:

C = B 2 + 100 B  

E qual é o custo mínimo para o Marquinhos? Como a gente resolve isso aí?

Otimizar é achar o máximo ou o mínimo de uma função.

Ou seja, buscamos determinar os pontos críticos da função!

Os pontos críticos estão relacionados à derivada, então, pela regra do quociente:

d C d B = B 2 + 100 ' B - B ' ( B 2 + 100 ) B ² = 2 B ² - B 2 - 100 B ² d C d B = B ² - 100 B ²

Esses pontos danados ocorrem quando a derivada é zero ou não existe:

d C d B = 0 B 2 - 100 = 0 B = ± 10

Como a quantidade de bananas não pode ser negativa, desconsideramos B negativo. No final, só sobrou o ponto crítico:

B = 10

Como queremos determinar o menor custo possível, devemos mostrar que esse ponto é um ponto de mínimo. Para isso testamos o sinal da derivada à esquerda e à direita desse ponto. Podemos escolher B = 5 à esquerda e B = 15 à direita:

d C ( 5 ) d B = 5 ² - 100 5 ² = - 75 25 ;   d C 5 d B -

d C ( 15 ) d B = 15 ² - 100 15 ² = 125 225 ;   d C 15 d B +

Como a derivada era negativa e se tornou positiva, então esse é um ponto de mínimo. Achamos o ponto ótimo e terminamos a questão, certo?

Ainda não!

Olhando as fronteiras

A função ainda pode atingir valores menores para as fronteiras dela própria. Ou seja, resta descobrir se os pontos que vamos otimizar serão máximos locais ou globais ou mínimos locais ou globais!

No caso do Marquinhos, primeiro calculamos o custo para o ponto de mínimo encontrado:

C 10 = 10 2 + 100 10 = 20

Agora comparamos com as fronteiras para ver se é de fato o menor valor possível para a função.

As fronteiras, para esse problema, ocorrem para B tendendo a zero e mais infinito. Zero, pois a quantidade de bananas não pode ser negativa; infinito, pois Marquinhos não pode comprar infinitas bananas!

Assim, testamos essas fronteiras através do limite:

lim B 0 + C ( B ) = lim B 0 + B 2 + 100 B = 0 + + 100 0 + = > C 10 = 20

E:

lim B C ( B ) = lim B B 2 + 100 B = lim B B + 100 B = + 0 = > C 10 = 20

Como os valores nas fronteiras são maiores que o ponto mínimo que encontramos, temos aí um ponto de mínimo global. Marquinhos fez a escolha certa dessa vez!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 276-73.

A altura de um corpo que se desloca verticalmente é dada por:

  s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Com s em metros e t em segundos. Determine a altura máxima do corpo.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Passo 2

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

A função do problema é s ( t ) e queremos encontrar seu máximo, derivando no tempo que é a única variável da função.

Passo 3

Agora, para achar o ponto de máximo, temos que encontrar os pontos críticos. Para isso, derivamos:

s ' t = - g t + v 0 , g > 0

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada não existe ou é zero. Aqui ela vai sempre existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando será zero:

- g t + v 0 = 0 g t = v 0 t = v 0 g

Passo 4

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Devemos, para isso, escolher valores à esquerda e à direita do ponto.

Para t = v 0 / g , podemos escolher t = 0 e t = 2 v 0 / g :

s ' ( 0 ) = + v 0 > 0

s ' 2 v 0 / g = - g 2 v 0 g + v 0 = v 0 - 2 v 0 = - v 0

Tá, mas e se v 0 for menor que zero? Isso aí daria positivo.

É verdade, esse valor à direta que escolhemos não se saiu muito bem. Não ficou claro se a derivada será negativa ou positiva. A questão não especificou se v 0 é maior ou menor que zero.

Além disso, escolher outro ponto finito também não mudará muito as coisas. O que fazer?

Vimos que outra maneira de determinar a presença de máximos e mínimos e pelo teste da segunda derivada. Então vamos aplicá-lo: s ' ' t = - g < 0 s ' ' g / v 0 = - g < 0

A questão garante que g > 0 . Como a segunda derivada é negativa no ponto crítico, temos um ponto de máximo.

Passo 5

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros pontos críticos na função, então não precisamos comparar com outros pontos.

Passo 6

Vamos verificar agora as fronteiras para garantir que este é um máximo global (altura máxima).

A função começa em t = 0 uma vez que o tempo não pode ser negativo. Para tal valor:

s 0 = s 0

A outra fronteira é t , então vamos aplicar o limite:

lim t - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 = -

No ponto de máximo que encontramos:

s v 0 / g = - 1 2 g v 0 2 g 2 + v 0 v 0 g + s 0 = - 1 2 v 0 2 g + v 0 2 g + s 0 = v 0 2 2 g + s 0

Comparando os valores, vemos que t = v 0 / g é máximo global.

Assim, o s para esse tempo será:

s = - 1 2 g v 0 g 2 + v 0 v 0 g + s 0

s = v 0 2 2 g + s 0

Resposta

s = v 0 2 2 g + s 0 ,     e m   t = v 0 / g

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 16 - 10

Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5 x = 375 - 3 p , p 0 . O custo de produção é de C x = 5 + 15 x + x ² / 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Não tem muito o que desenhar aqui, então vamos para o passo 2.

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Tá, vamos ver todas as informações que o problema nos deu aqui.

5 x = 375 - 3 p

x é a quantidade de produtos. p é o preço de venda. Temos também: C x = 5 + 15 x + x 2 6

Que é o custo de produção. Não é, porém, essa função que ele quer otimizar. É a função lucro que será a venda menos o custo:

L = V - C = p x - C ( x )

Onde p x é o preço de cada unidade multiplicado pela quantidade delas.

L x = p . x - C x

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

O problema é que p não é constante. Depende de x . Temos que deixar isso aí em função de x para podermos otimizar. Então voltamos na primeira equação e isolamos p :

5 x = 375 - 3 p p = 1 3 ( 375 - 5 x )

O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:

L x = 125 - 5 x 3 x - 5 + 15 x + x 2 6

L x = 125 x - 5 x 2 3 - 5 - 15 x - x 2 6

L x = - 11 x 2 6 + 110 x - 5

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Para acharmos os pontos críticos, onde estarão localizados os pontos de máximo e mínimo, devemos derivar:

L ' x = - 11 x 3 + 110

Os pontos críticos estão onde a derivada não existe ou é zero. Ela sempre vai existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando é zero:

- 11 x 3 + 110 = 0 11 x 3 = 110 x = 30

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Podemos escolher um valor à esquerda x = 0 e outro à direita x = 60 :

L ' ( 0 ) = + 110 > 0

L ' 60 = - 11 60 3 + 110 = - 110 < 0

Como é positiva à esquerda e negativa à direita, temos aí um ponto de máximo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros máximo para comparar, então vamos para o outro passo.

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo 6 e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

x pode ir de zero, pois não tem como ter quantidade negativa, até mais infinito.

L 0 = - 5

E:

lim x - 11 x 2 6 + 110 x - 5 = -

No nosso ponto de máximo:

L 30 = - 11 30 2 6 + 110 30 - 5

L 30 = 1645

Comparando com outros valores, concluímos que se trata de um ponto de máximo global.

Resposta

x = 30   t o n .   ; L 30 = 1645   u n i .   m o n .

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