Otimização

Teoria Completa

Olá! Imagine que Sr. Marcos, ou Marquitos para os íntimos, tem uma mercearia. Marquitos quer comprar várias bananas, mas ele está gastando muito dinheiro e quer saber quantas bananas ele deve comprar pra ter um custo mínimo, mas continuar ganhando dinheiro. Então você pode o Marquitos fazendo uma otimização!

Afinal, otimizar é o processo de encontrar a melhor solução para um problema, e fazemos isso achando valores máximos ou mínimos. Outros exemplos em que podemos usar a otimização são para saber o lucro máximo de uma loja ou a mínima quantidade de azulejos que devem ser usadas para cobrir uma parede.

Agora, vamos voltar ao Marquitos e entender melhor o problema dele. Como eu falei, ele quer comprar várias bananas ( B ) e o custo ( C ) que ele tem é dado assim:

C = B 2 + 100 B  

Então vamos lá, ajudar o seu Marcos descobrir quantas bananas ele deve comprar pra ter um custo mínimo, mas continuar ganhando dinheiro.

Os pontos de máximo e mínimo estão relacionados à derivada, então vamos derivar nossa função em relação à B . Como queremos que ele gaste menos, vamos procurar o ponto mínimo.

Lembrando que vamos ter que usar a regra do quociente para fazer essa derivada:

C '     =           B 2 + 100 ' B - B ' B 2 + 100 B 2       =       2 B 2 - B 2 - 100 B 2                  

          ⟹               C ' = B ² - 100 B ²

Para achar o ponto máximo e mínimo temo que igualar a derivada a zero:

C ' = 0                         ⟹                       B 2 - 100 B 2   = 0                        

                              ⟹       B 2 - 100 = 0                  

e n t ã o               B = ± 10

Como a quantidade de bananas não pode ser negativa, desconsideramos B negativo. No final, só sobrou o ponto crítico:

B = 10

Maneiro, mas queremos determinar o menor custo possível, por isso devemos mostrar que esse ponto é um ponto de mínimo. Para isso a gente olha para o sinal da derivada à esquerda e à direita desse ponto, ou seja, vamos fazer o teste da primeira da derivada. Podemos escolher B = 5 à esquerda e B = 15 à direita, lembrando que encontramos C ' = B 2 - 100 B 2   :

Como a derivada é negativa à esquerda e positiva à direita, então esse é um ponto de mínimo. Achamos o ponto ótimo e terminamos a questão, certo?

Ainda não!

Olhando as fronteiras

A função ainda pode atingir valores menores para as fronteiras dela própria. Ou seja, resta descobrir se os pontos que vamos otimizar serão máximos locais ou globais ou mínimos locais ou globais!

No caso do Marquitos, vamos primeiro calcular o custo para o ponto de mínimo encontrado, ou seja, B = 10   :

C 10 = 10 2 + 100 10 = 20

Agora comparamos com as fronteiras para ver se é de fato o menor valor possível para a função.

As fronteiras, para esse problema, ocorrem para B tendendo a zero e mais infinito. Zero, pois a quantidade de bananas não pode ser negativa; infinito, pois Marquinhos não pode comprar infinitas bananas!

Assim, testamos essas fronteiras através do limite:

lim B → 0 + ⁡ C ( B )         =         lim B → 0 + ⁡ B 2 + 100 B         =           0 + + 100 0 +     =   ∞     >     C 10     =     20

E:

lim B → + ∞ ⁡ C ( B )       =       lim B → + ∞ ⁡ B 2 + 100 B       =       lim B → + ∞ ⁡ B + 100 B       =       ∞ + 0   =   ∞ >   C 10 = 20

Como os valores nas fronteiras são maiores que o ponto mínimo que encontramos, temos aí um ponto de mínimo global. Marquinhos fez a escolha certa dessa vez!

Agora vamos partir pros exercícios pra treinar essas ideias!

Exercício Resolvido #1

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 276-73.

A altura de um corpo que se desloca verticalmente é dada por:

  s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Com s em metros e t em segundos. Determine a altura máxima do corpo.

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Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Passo 2

Analisando a equação e o esquema, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

s = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

Note, que v 0 (velocidade inicial), g (aceleração da gravidade) e s 0 (posição inicial) são valores constantes. Deste modo, o tempo é a única variável.

Para encontrar o máximo da função s ( t ) , vamos derivar essa função.

Passo 3

Agora, para achar o ponto de máximo, temos que encontrar os pontos críticos. Para isso, derivamos:

s ( t ) = - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 , g > 0

s ' t = - g t + v 0 , g > 0

Os pontos críticos ocorrem onde a derivada não existe ou é zero. Como se trata de um polinômio, ela vai sempre existir. Vamos ver quando será zero:

- g t + v 0 = 0 ⟹ g t = v 0 ⟹ t = v 0 g

Passo 4

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Uma forma de determinar a presença de máximos e mínimos e pelo teste da segunda derivada. Então vamos aplicá-lo:

s ' t = - g t + v 0 , g > 0

s ' ' t = - g , g > 0

Como a questão garante que g > 0 . A segunda derivada é negativa no ponto crítico, ou seja, temos um ponto de máximo.

Passo 5

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros pontos críticos na função, então não precisamos comparar com outros pontos.

Passo 6

Vamos verificar agora as fronteiras (menor e maior tempos) para garantir que este é um máximo global (altura máxima).

A função começa em t = 0 (menor tempo), uma vez que o tempo não pode ser negativo. Para tal valor:

s 0 = s 0

Para o maior tempo, vamos considerar t → + ∞ , então vamos aplicar o limite:

lim t → ∞ ⁡ - 1 2 g t 2 + v 0 t + s 0 = - ∞

No Passo 3, encontramos o ponto crítico:

s v 0 / g = - 1 2 g v 0 2 g 2 + v 0 v 0 g + s 0 = - 1 2 v 0 2 g + v 0 2 g + s 0 = v 0 2 2 g + s 0

Comparando os valores de menor e maior tempo com o ponto crítico, vemos que t = v 0 / g é máximo global.

Assim, o s para esse tempo será:

s = - 1 2 g v 0 g 2 + v 0 v 0 g + s 0

s = v 0 2 2 g + s 0

Resposta

s = v 0 2 2 g + s 0 ,     e m   t = v 0 / g

Exercício Resolvido #2

UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 16 - 10

Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5 x = 375 - 3 p , p ≥ 0 . O custo de produção é de C x = 5 + 15 x + x ² / 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Não tem muito o que desenhar aqui, então vamos para o passo 2.

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Tá, vamos ver todas as informações que o problema nos deu aqui.

5 x = 375 - 3 p

x é a quantidade de produtos. p é o preço de venda. Temos também: C x = 5 + 15 x + x 2 6

Que é o custo de produção. Não é, porém, essa função que ele quer otimizar. É a função lucro que será a venda menos o custo:

L = V - C = p x - C ( x )

Onde p x é o preço de cada unidade multiplicado pela quantidade delas.

L x = p . x - C x

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

O problema é que p não é constante. Depende de x . Temos que deixar isso aí em função de x para podermos otimizar. Então voltamos na primeira equação e isolamos p :

5 x = 375 - 3 p ⟹ p = 1 3 ( 375 - 5 x )

O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:

L x = 125 - 5 x 3 x - 5 + 15 x + x 2 6

L x = 125 x - 5 x 2 3 - 5 - 15 x - x 2 6

L x = - 11 x 2 6 + 110 x - 5

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Para acharmos os pontos críticos, onde estarão localizados os pontos de máximo e mínimo, devemos derivar:

L ' x = - 11 x 3 + 110

Os pontos críticos estão onde a derivada não existe ou é zero. Ela sempre vai existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando é zero:

- 11 x 3 + 110 = 0 ⟹ 11 x 3 = 110 ⟹ x = 30

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Podemos escolher um valor à esquerda x = 0 e outro à direita x = 60 :

L ' ( 0 ) = + 110 > 0

L ' 60 = - 11 ⋅ 60 3 + 110 = - 110 < 0

Como é positiva à esquerda e negativa à direita, temos aí um ponto de máximo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros máximo para comparar, então vamos para o outro passo.

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo 6 e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

x pode ir de zero, pois não tem como ter quantidade negativa, até mais infinito.

L 0 = - 5

E:

lim x → ∞ ⁡ - 11 x 2 6 + 110 x - 5 = - ∞

No nosso ponto de máximo:

L 30 = - 11 30 2 6 + 110 30 - 5

L 30 = 1645

Comparando com outros valores, concluímos que se trata de um ponto de máximo global.

Resposta

x = 30   t o n .   ; L 30 = 1645   u n i .   m o n .

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