Otimização – Modelagem

Teoria Completa

Modelagem algébrica no plano cartesiano

O lado esquerdo do retângulo abaixo está sobre o eixo y , ou seja, tem coordenada x   =   0 . O lado direito está limitado pela curva f ( x ) , ou seja, está inscrito nessa curva.

Como a gente poderia maximizar essa área? Que tipo de otimização trabalhamos aqui?

Modelar algo algebricamente é atribuir variáveis a algumas medidas, como x , y etc.

Foi exatamente isso que fizemos até agora. Modelagem algébrica no plano cartesiano, porém, é atribuir variáveis a algumas medidas no plano cartesiano. Como, por exemplo:

O lado esquerdo do retângulo abaixo está sobre o eixo y , ou seja, tem coordenada x   =   0 . O lado esquerdo está limitado pela curva f ( x ) , ou seja, está inscrito nessa curva.

Modelar algebricamente no plano cartesiano é, por exemplo, substituir as medidas desse retângulo pelas variáveis do plano x y . Como o lado direito está limitado por f , sua altura será:

y = f x = x - 1 2

A base será o próprio x . A área desse retângulo será:

A = b a s e ⋅ a l t u r a ⟹ A = x ⋅ f x ⟹ A = x ⋅ x - 1 2

Otimizar essa área agora seria fácil. Só encontrar os pontos críticos derivando e igualando a zero e depois mostrar que é máximo ou mínimo.

Problemas com ângulos

Alguns problemas de otimização que envolvem ângulos, costumam requerer o conhecimento de relações trigonométricas pra resolver. Como gostamos muito de você, fique atento:

sen ⁡ ² ( x ) + cos ⁡ ² ( x ) = 1

Se a gente dividir tudo por cos ⁡ ² ( x ) :

sen ⁡ ² ( x ) cos ⁡ ² ( x ) + cos ⁡ ² ( x ) cos ⁡ ² ( x ) = 1 cos ⁡ ² ( x ) ⟹ tan ² ⁡ ( x ) + 1 = sec ² ⁡ ( x )

Ou por sen ⁡ ² ( x ) :

sen ⁡ ² ( x ) sen ⁡ ² ( x ) + cos ⁡ ² ( x ) sen ⁡ ² ( x ) = 1 sen ⁡ ² ( x ) ⟹ cot ² ⁡ ( x ) + 1 = cossec ² ⁡ ( x )

As somas de ângulos também são importantes:

s e n a + b = s e n a cos ⁡ b + s e n b cos ⁡ a ;  

s e n a - b = s e n a cos ⁡ b - s e n b cos ⁡ a

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n ( a ) s e n ( b )

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n ( a ) s e n ( b )

Onde:

tan ⁡ ( a + b ) = s e n a + b cos ⁡ a + b

Vamos aplicar nos exercícios de fixação?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF - Cálculo IA - Lista 16 – 9

Um quadro de altura H está pendurado em uma parede vertical de modo que sua borda inferior está a uma altura h do raio de visão horizontal de um observador. A que distância da parede deve colocar-se o observador para que a sua posição seja a mais vantajosa para contemplar o quadro, isto é, para que o ângulo de visão seja máximo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Agora que chegamos até aqui, vamos diluir os passos e ser mais diretos na resolução.

Vou esboçar então o que a questão pede, onde o pedaço em vermelho é o quadro e em laranja essa distância ao chão, com o ângulo de nome θ .

Passo 2

Olha o que dá para dizer se eu chamar aquele ângulo de visão da parte inferior do quadro com a horizontal de ϕ e a distância da pessoa que vê o quadro horizontalmente ao quadro de d .

tg ⁡ ( ϕ ) = h d

tg ⁡ ( ϕ + θ ) = H + h d

Não sei se você vai lembrar, mas existe uma fórmula relacionando soma de tangentes. É essa aqui:

tg ⁡ x + y = tg ⁡ x + tg ⁡ y 1 - tg ⁡ x   ⋅ tg ⁡ y

Se eu somar as tangentes de θ e de ϕ eu vou achar uma expressão que me trará a cara da tangente de θ . Tendo ela posso procurar um meio de otimizar esse θ .

tg ⁡ ϕ + θ = tg ⁡ ϕ + tg ⁡ θ 1 - tg ⁡ ϕ   ⋅ tg ⁡ θ

H + h d = h d + tg ⁡ θ 1 - h d ⋅ tg ⁡ θ

H + h d 1 - h d ⋅ tg ⁡ θ = h d + tg ⁡ θ

H + h d - h d = tg ⁡ θ 1 + H + h h d 2

H d = tg ⁡ θ d 2 + H + h h d 2

tg ⁡ ( θ ) = H d d 2 + H + h h

Passo 3

Vamos lembrar uma coisa, a questão pede para encontrarmos a distância que gera o maior ângulo de visão. Logo, é como se tivéssemos que achar um θ ( d ) e, a partir dele, descobrir em θ ' d = 0 o d que gera o maior θ . Enfim, podemos fazer isso implicitamente, já no formato que está aqui em cima, com o detalhe que θ ' deve ser 0 no ponto em questão.

θ ' sec 2 ⁡ θ = H d ' d 2 + H + h h - H d d 2 + H + h h ' d 2 + H + h h 2

0 = H d 2 + H + h h - H d 2 d d 2 + H + h h 2

0 = H d 2 + H 2 h + H h 2 - 2 H d 2

H d 2 = H 2 h + H h 2

d 2 = h ( H + h )

d = h H + h

Essa é a nossa distância, em termos das alturas!

Resposta

d = h H + h

Exercício Resolvido #2

UFF - Cálculo IA - Lista 16 – 8

Se um objeto dista x unidades de um foco de intensidade luminosa constante I , a luminosidade do objeto é igual a I / x 2 . Dois focos, F 1 e F 2 com intensidades I 1 e I 2 , respectivamente, encontram-se separados por d unidades. Em que ponto do segmento de reta liga F 1 a F 2 , a luminosidade é mínima? Qual deve ser a razão entre I 1 e I 2 para que o ponto de luminosidade mínima entre os dois focos esteja a uma distância de d / 3 unidades da fonte de luminosidade I 1 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, se imaginarmos que a intensidade luminosa num ponto é igual a soma de toda intensidade incidente nela teremos que a intensidade num ponto qualquer entre F 1 será:

I = I F 1 + I F 2

Esquematizando a figura, teríamos algo assim:

Onde, pelo enunciado:

I F 1 = I 1 x 2

I F 2 = I 2 d - x 2

Assim, a intensidade num ponto qualquer da reta que une as duas fontes será:

I x = I 1 x 2 + I 2 d - x 2

Para minimizarmos essa função devemos derivá-la e igualar a 0 .

Passo 2

I ' x = ( - 2 ) I 1 x 3 + - 2 I 2 d - x 3 - 1 = 0

I 1 x 3 = I 2 d - x 3

I 1 I 2 = x 3 d - x 3

I 1 I 2 3 = x d - x

d I 1 I 2 3 - I 1 I 2 3 x = x

x 1 + I 1 I 2 3 = d I 1 I 2 3

x = d I 1 I 2 3 1 + I 1 I 2 3

Esse é o x onde a intensidade é mínima. Para provar que ele é realmente de mínimo e não máximo basta analisar que nas proximidades das lâmpadas a intensidade tende a + ∞ .

Passo 3

Quanto a segunda pergunta, basta igualar esse x achado a x = d 3 e achar a relação entre I 1 e I 2 que é gerada:

d I 1 I 2 3 1 + I 1 I 2 3 = d 3

1 + I 1 I 2 3 = 3 I 1 I 2 3

2 I 1 I 2 3 = 1

I 1 I 2 3 3 = 1 2 3

I 1 I 2 = 1 8

Resposta

x = d I 1 I 2 3 1 + I 1 I 2 3

I 1 I 2 = 1 8

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2010.2 – 3

Dentre os retângulos limitados pelo eixo x , pelo eixo y e pelo gráfico de f : 0,1 → R definida por f x = x - 1 2 (conforme a figura), determine as dimensões do retângulo de área máxima.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, a área desse retângulo é dada pela base vezes a altura. No caso, a base é a distância horizontal entre o ponto do gráfico e o eixo y , que acaba sendo x mesmo. Já a altura é dada por f x , o que nos faz concluir que a área A é dada por:

A = x . f x

A = x x - 1 2 = x x 2 - 2 x + 1

A = x 3 - 2 x 2 + x

Passo 2

Para otimizá-la vamos derivar a área em função de x e igualar o termo a 0 . Como é um polinômio, ela vai sempre existir.

A ' x = 3 x 2 - 4 x + 1 = 0

Por Bhaskara, temos que as raízes serão:

x = - - 4 ± 16 - 12 2 3

= 4 ± 4 6

= 2 ± 1 3

x 1 = 1 3 ; x 2 = 1

Como vemos, ao substituir x = 1 na função teríamos uma área nula:

A 1 = 1 1 - 1 2 = 0

Para saber se é um ponto de máximo mesmo, devemos testar o sinal da derivada. Como é fácil de derivar, podemos usar o teste da segunda derivada.

A ' ' x = 6 x - 4 ⟹ A ' ' 1 / 3 = 2 - 4 < 0

Como a segunda derivada é negativa no ponto crítico, podemos concluir que o x responsável pelo retângulo de área máxima é x = 1 / 3 .

É um ponto de máximo global, pois no outro ponto crítico, que a fronteira direita, a área é nula. No ponto x = 0 , que é a fronteira à esquerda:

A 0 = 0 3 - 2 ⋅ 0 2 + 0 = 0

Uma vez que x é a base do retângulo e f x a sua altura, descobrimos:

B a s e = 1 3   ; A l t u r a = f 1 3 = 4 9

Essas são as dimensões do nosso retângulo, 1 / 3,4 / 9 !

Resposta

B a s e = 1 3   ; A l t u r a = 4 9

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2012.1 - 3

Um triângulo retângulo, localizado no primeiro quadrante, tem um vértice na origem e seus outros dois vértices determinados pela interseção da reta tangente ao gráfico da função f x = e - x com os eixos coordenados (ver figura).

( a ) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da f em x = a .

( b ) Determine as interseções da reta r com o eixo x e com o eixo y .

( c ) Determine o valor de a de forma que a área do triângulo seja máxima, considerando somente os triângulos formados no 1 º quadrante.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

( a ) Vamos modelar uma reta y = m x + n , (não usei y = a x + b para não confundir com o x = a ). Sabemos que seu coeficiente angular m é igual a f ' x = - e - x em x = a .

m = - e - a = - 1 e a

Sabemos ainda, porém, que a função da reta passa pelo ponto x , f x = ( x , e - x ) quando x = a , ou seja, passa pelo ponto ( a , e - a ) . Assim descobrimos o n :

y = m x + n

e - a = - e - a a + n

e - a ( a + 1 )

Enfim, concluímos a nossa reta:

y = e - a - x + a + 1

y = a + 1 - x e a

Passo 2

( b ) Suas interseções com os eixos y e x acontecem em x = 0 e y = 0 respectivamente:

y = a + 1 - 0 e a → y = a + 1 e a

0 = a + 1 - x e a → x = a + 1

Passo 3

( c ) Pela figura inicial percebemos que o triângulo tem como dimensões de altura e base as interseções com os eixos y e x , respectivamente. Logo, sua área será:

A = b . h 2

A = a + 1 e a a + 1 2 = a + 1 2 2 e a

Para achar a área máxima devemos derivar a função em relação a a e igualar a expressão a 0 . Ela vai sempre existir, pois a o denominador é sempre maior que zero.

A ' a = a + 1 2 ' 2 e a - a + 1 2 2 e a ' 2 e a 2

= 2 a + 1 2 e a - a 2 + 2 a + 1 2 e a 2 e a 2

= 1 - a 2 2 e a = 0

a = ± 1

Como o triângulo deve ser formado no primeiro quadrante, a = 1 é o único valor que nos serve. A gente observa que lim x → 0 ⁡ A ( a ) = 1 2 lim x → ∞ ⁡ A ( a ) = 0 e A 1 = 2 e > 1 2 > 0 , o que garante que x = a é ponto de máximo e não mínimo, dado que a = 1 é o único máximo em ] 0 , + ∞ [ .

Resposta

a   y = a + 1 - x e a

b   y = a + 1 e a ;   x = a + 1

c   a = 1

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