Teoria

Modelagem algébrica no plano cartesiano

O lado esquerdo do retângulo abaixo está sobre o eixo y , ou seja, tem coordenada x   =   0 . O lado direito está limitado pela curva f ( x ) , ou seja, está inscrito nessa curva.

Como a gente poderia maximizar essa área? Que tipo de otimização trabalhamos aqui?

Modelar algo algebricamente é atribuir variáveis a algumas medidas, como x , y etc.

Foi exatamente isso que fizemos até agora. Modelagem algébrica no plano cartesiano, porém, é atribuir variáveis a algumas medidas no plano cartesiano. Como, por exemplo:

O lado esquerdo do retângulo abaixo está sobre o eixo y , ou seja, tem coordenada x   =   0 . O lado esquerdo está limitado pela curva f ( x ) , ou seja, está inscrito nessa curva.

Modelar algebricamente no plano cartesiano é, por exemplo, substituir as medidas desse retângulo pelas variáveis do plano x y . Como o lado direito está limitado por f , sua altura será:

y = f x = x - 1 2

A base será o próprio x . A área desse retângulo será:

A = b a s e ⋅ a l t u r a ⟹ A = x ⋅ f x ⟹ A = x ⋅ x - 1 2

Otimizar essa área agora seria fácil. Só encontrar os pontos críticos derivando e igualando a zero e depois mostrar que é máximo ou mínimo.

Problemas com ângulos

Alguns problemas de otimização que envolvem ângulos, costumam requerer o conhecimento de relações trigonométricas pra resolver. Como gostamos muito de você, fique atento:

sen ⁡ ² ( x ) + cos ⁡ ² ( x ) = 1

Se a gente dividir tudo por cos ⁡ ² ( x ) :

sen ⁡ ² ( x ) cos ⁡ ² ( x ) + cos ⁡ ² ( x ) cos ⁡ ² ( x ) = 1 cos ⁡ ² ( x ) ⟹ tan ² ⁡ ( x ) + 1 = sec ² ⁡ ( x )

Ou por sen ⁡ ² ( x ) :

sen ⁡ ² ( x ) sen ⁡ ² ( x ) + cos ⁡ ² ( x ) sen ⁡ ² ( x ) = 1 sen ⁡ ² ( x ) ⟹ cot ² ⁡ ( x ) + 1 = cossec ² ⁡ ( x )

As somas de ângulos também são importantes:

s e n a + b = s e n a cos ⁡ b + s e n b cos ⁡ a ;  

s e n a - b = s e n a cos ⁡ b - s e n b cos ⁡ a

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n ( a ) s e n ( b )

cos ⁡ a - b = cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n ( a ) s e n ( b )

Onde:

tan ⁡ ( a + b ) = s e n a + b cos ⁡ a + b

Vamos aplicar nos exercícios de fixação?

Problemas com ângulos

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