Retas Paralelas e Perpendiculares

Teoria Completa

Vamos imaginar que temos essa reta y 1 :

y 1 = 3 x + 1

Quero a equação de outra reta y 2 que é paralela a essa e que passa pelo ponto ( 2,1 ) .

Como a gente determina a equação dessa outra reta?

Sabemos que ela passa pelo ponto (2,1), então:

x 0 , y 0 = ( 2,1 )

Logo, podemos substituir esses valores na equação da reta:

y 2 - y 0 = m x - x 0 ⟹ y 2 - 1 = m x - 2 ⟹ y 2 = m x - 2 m + 1

Falta encontrar m . Aí, lembramos que retas paralelas nunca se encontram, ou seja, é necessário que as retas tenham o mesmo coeficiente angular, a mesma inclinação.

A inclinação é a derivada lembra?

y 1 = 3 x + 1 ⟹ y 1 ' = m = 3 ;    

y 2 = m x - 2 m + 1   ⟹ y 2 = 3 x - 5

Ok, mas e se fossem retas normais (retas perpendiculares)? Pensando na mesma reta do exemplo anterior, y 1 = 3 x + 1 , qual que seria a reta y 2 normal a essa no ponto 1,4 ?

Assim como na reta tangente, a reta normal passa pelo ponto em questão, então:

y 2 - y 0 = m x - x 0 ⟹ y 2 - 4 = m x - 1 ⟹ y 2 = m x - m + 4

Novamente falta m . Para retas normais, o produto dos coeficientes angulares é igual à - 1 .

Então:

y 1 ' ⋅ y 2 ' = - 1   ⟹ 3 ⋅ m = - 1 ⟹ m = - 1 3

Agora já temos tudo que nós queríamos:

y 2 = m x - m + 4 ⟹ y 2 = - 1 3 x +   1 3 + 4

⟹ y 2 = 1 3 ( 13 - x )  

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 1 - P1 2014.2 – 4

Considere f a função definida pelo gráfico abaixo, r a reta tangente ao gráfico da f em x = 3 e s a reta tangente ao gráfico em x = - 2 .

Sabendo f - 2 = 1 , f ' 3 = 2 3 e a reta r é paralela à reta s , determine:

  1. A equação da reta s
  2. f ' - 2
  3. f 3
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a ) A reta s é tangente à função f no ponto x 0 = - 2 . Se é tangente seguirá a equação geral da reta tangente:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Como o ponto de tangência é x 0 = - 2 : y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 ⟹ y - f - 2 = f ' ( - 2 ) ( x + 2 )

O valor de f ( - 2 ) foi dado no enunciado, então podemos substituir também: y - f - 2 = f ' - 2 x + 2 ⟹ y - 1 = f ' ( - 2 ) ( x + 2 )

Passo 2

Falta só o valor do coeficiente angular, f ' ( 2 ) .

Agora vai entrar a ideia das retas paralelas. O enunciado disse que as retas r e s são paralelas, ou seja, possuem o mesmo coeficiente angular.

O coeficiente angular da reta r é f ' 3 que foi dado no enunciado. Dessa forma:

f ' 3 = 2 3 = f ' ( - 2 )

Pronto, já temos tudo que precisamos!

y - 1 = f ' - 2 x + 2 ⟹ y - 1 = 2 3 x + 2

Para ficar bonitinho: y = 2 3 x + 4 3 + 3 3 ⟹ y = 2 3 x + 7 3 ⟹ y = 1 3 ( 2 x + 7 )

Passo 3

b )

Já vimos ali no passo 1 que a derivada vai ser

f ' - 2 = 2 3

Passo 4

c )

Para achar o valor de f 3 vamos olhar a reta tangente que passa por 3 , f 3 , a reta r .

Conhecemos um ponto que passa por essa reta, é aquele na parte de baixo, onde a reta corta o eixo y , 0 , - 5 3 . A equação da reta tangente vai ser:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 ⟹ y - f 3 = f ' ( 3 ) ( x - 3 )

y - f 3 = 2 3 ( x - 3 ) ⟹   y = 2 3 x - 2 + f 3

Passo 5

Vamos agora trocar o valor de x e y por aquele ponto que pertente a reta:

y = 2 3 x - 2 + f 3

- 5 3 = 2 3 ∙ 0 - 2 + f 3

- 5 3 + 2 = f 3

6 - 5 3 = f 3

f 3 = 1 3

Resposta

  1. y = 1 3 ( 2 x + 7 )
  2. f ' - 2 = 2 3
  3. f 3 = 1 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Quantas retas tangentes ao gráfico de y = x 3 + 12 x - 15 são paralelas à reta y = 24 x + 8 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para que duas ou mais retas sejam paralelas é necessário que todas possuam o mesmo coeficiente angular.

Passo 2

Chamando o y da função cúbica de y 1 e o y da reta de y 2 . Nesse caso, os coeficientes angulares das retas serão, derivando:

y 1 ' = 3 x ² + 12

E:

y 2 ' = 24

Assim: y 1 ' = y 2 ' = 24

Ou seja:

24 = 3 x ² + 12

Passo 3

Como falamos no passo 1, as retas tangentes à reta y = 24 x + 8 deverão ter os coeficientes angulares iguais a 24 . Logo:

3 x 2 + 12 = 24

3 x 2 = 12

Dividindo todos os termos por 3 , teremos:

x 2 = 4

x = 4

x = - 2 2

Logo, nos pontos x = - 2 e x = 2 , as retas tangentes serão paralelas à reta y = 24 x + 8 .

Portanto, duas retas tangentes ao gráfico de y = x 3 + 12 x - 15 são paralelas à reta y = 24 x + 8 .

Resposta

Duas retas tangentes ao gráfico de y = x 3 + 12 x - 15 são paralelas à reta y = 24 x + 8 .

Exercício Resolvido #3

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 167-41.

Calcule a equação da reta tangente à curva y = x 3 - 4 x + 1 no ponto ( 2,1 ) .

A partir da reta tangente, encontre as equações de mais duas retas:

  • Reta paralela
  • Reta perpendicular

Ambas passando pelo ponto ( 1 , - 2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro começamos calculando a reta tangente a função y = x 3 - 4 x + 1 . A equação geral da reta tangente é: y - f x 0 = f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Ela passa pelo ponto ( 2,1 ) . Então: x 0 , f x 0 = ( 2,1 )

Substituindo: y - 1 = f ' ( 2 ) ( x - 2 )

Passo 2

Para calcular f ' ( 2 ) , basta derivar f ' ( x ) :

f ' x = 3 x ² - 4

No ponto x = 2 :

f ' 2 = 3 2 2 - 4 = 3 ⋅ 4 - 4 = 8

Pronto, já temos tudo que precisamos: y - 1 = f ' 2 x - 2 ⟹ y - 1 = 8 x - 2 ⟹ y = 8 x - 16 + 1

Deixando bonitinho: y t a n g e n t e = 8 x - 15

Passo 3

Acabou? Não! HAHAHA

Olha lá no enunciado de novo! Ele não quer só a reta tangente à curva, mas a paralela e a normal a essa reta que passam por um outro ponto! Esse outro ponto será o ( 1 , - 2 ) .

Sabemos que 2 retas paralelas entre si apresentam o mesmo coeficiente angular, certo?

Entãããoooo....A equação da reta paralela será:

y - y 0 = a ( x - x 0 )

Onde a ≡ coef. angular que a gente já sabe = 8 , x 0 = 1 e y 0 = - 2 . Logo, teremos:

y p a r a l e l a = 8 x - 10

Temos que calcular também a equação da reta normal. Ela vai seguir a equação geral da reta:

y - y 0 = m x - x 0

Ela passa pelo mesmo ponto da reta paralela ( x 0 , y 0 ) = ( 1 , - 2 ) . Looogooo: y - - 2 = m x - 1 ⟹ y = m x - m - 2

Passo 4

Vamos considerar o y da reta paralela que calculamos como y 1 e y da reta normal como y 2 , só para diferenciá-los. Assim vai ficar: y 1 = 8 x - 10

y 2 = m x - m - 2

Precisamos achar o m .

Os coeficientes angulares da reta paralela e normal seguirão a equação: y 1 ' ⋅ y 2 ' = - 1

O coeficiente angular de y 1 , derivando, vai ser: y 1 ' = 8

Derivando y 2 também: y 2 ' = m

Pronto, podemos relacionar os dois:

y 1 ' ⋅ y 2 ' = - 1 ⟹ 8 ⋅ m = - 1 ⟹ m = - 1 8

Já temos tudo que queríamos:

y 2 = m x - m - 2 ⟹ y 2 = - 1 8 x + 1 8 - 2

Para ficar bonitinho também: y n o r m a l = - 1 8 x - 15 8

Resposta

y t a n g e n t e = 8 x - 15

y p a r a l e l a = 8 x - 10

y n o r m a l = - 1 8 x - 15 8

Exercício Resolvido #4

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 210-70. MODIFICADO

Encontrem quantas retas são normais à curva x y + 2 x - y = 0 e paralelas à reta 2 x + y = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui ele quer saber quantas retas normais são paralelas a reta dada. Então precisamos trabalhar com o coeficiente angular da reta normal!

Passo 2

Não precisamos encontrar as equações das retas normais, só precisamos determinar quantas são.

Para diferenciar, vamos considerar y da primeira equação como y 1   e o y da segunda como y 2 .

Se o coeficiente angular das retas normais é m , então ele estará relacionado da seguinte maneira:

m ⋅ y 1 ' = - 1

Passo 3

Se acharmos y 1 ' achamos m . Primeiro vamos isolar y 1 : x ⋅ y 1 + 2 x - y 1 = 0 ⟹ y 1 x - 1 + 2 x = 0 ⟹ y 1 = - 2 x x - 1 Agora vamos derivar pela regra do quociente:

y 1 ' = - 2 x ' ⋅ x - 1 - x - 1 ' ⋅ ( - 2 x ) x - 1 2 = - 2 x - 1 + 2 x x - 1 2 = - 2 x + 2 + 2 x x - 1 2 = 2 x - 1 2

Assim:

m ⋅ 2 x - 1 2 = - 1 ⟹ m = - x - 1 2 2

Passo 4

Agora precisamos relacionar m com as retas paralelas.

As retas paralelas a 2 x + y 2 = 0 terão o mesmo coeficiente angular dessa, então, derivando: 2 x + y 2 = 0 ⟹ y 2 = - 2 x ⟹ y 2 ' = - 2

As retas normais a y 1 terão coeficiente angular m e as retas paralelas a y 2 terão coeficientes angulares y 2 ' .

Passo 5

A questão quer saber as retas normais a são paralelas a 2 x + y = 0 então: m = y 2 '

Substituindo: - x - 1 2 2 = - 2

x - 1 2 = 4 ⟹ x - 1 = ± 2 ⟹ x = ± 2 + 1

x pode valer:

x = + 2 + 1 = 3

Ou: x = - 2 + 1 = - 1

Existem duas soluções para retas normais a y 1 e paralelas a y 2 . Então há duas retas normais à curva x y + 2 x - y = 0 que são paralelas à reta 2 x + y = 0 .

Resposta

Duas

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