Reta Tangente – Derivadas Implícitas

Teoria Completa

Imagine que a gente queira calcular a reta tangente a uma circunferência de raio 1 no ponto em que x = ( 1 / 2 , 3 / 2 ) da circuferência.

x ² + y ² = 1 ⏞ r a i o ⏟ e q u a ç ã o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a

Como a reta tangente passa por esse ponto, já podemos substituir na equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 3 2 = m x - 1 2 ⟹ y = m x - m 2 + 3 2

Mas agora, qual o valor de m ? Como achamos esse coeficiente angular, se não temos um y como função de x para derivar??

Usamos a derivada implicitamente! Vamos achar y ' para essa equação implicitamente:

x ² + y ² = 1   ⟹ 2 x + 2 y y ' = 0 ⟹ y ' =   - x y  

No ponto 1 2 , 3 2 :

y ' = - 1 2 3 2 =   - 1 3 =

- 3 3

Como sabemos, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ( y ' = m ). Então...

m = - 3 3

Agora não falta nada:

y =   - 3 3 x + 3 6 + 3 2 ⟹ y =   3 3 ( 2 - x )

Para retas paralelas e perpendicular, é só usar a mesma ideia: y ' calculado implicitamente como coeficiente angular.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFPE, Cálculo 1, 2º EE - 2016.1, Questão 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Aplicamos a derivada implícita nessa igualdade aí, com o cuidado de usar a Regra do Produto no primeiro termo e no termo do seno:

x 3 y 2 ' + x 2 ' - 5 y ' + x sen ⁡ y ' = 1 '

x 3 ' y 2 + x 3 y 2 ' + 2 x - 5 y ' + x ' sen ⁡ y + x sen ⁡ y ' = 0

3 x 2 y 2 + x 3 2 y y ' + 2 x - 5 y ' + 1 sen ⁡ y + x cos ⁡ y y ' = 0

3 x 2 y 2 + 2 x 3 y y ' + 2 x - 5 y ' + sen ⁡ y + x cos ⁡ y y ' = 0

Passo 2

Agora vamos colocar o y ' em evidência:

y ' 2 x 3 y - 5 + x cos ⁡ y = - 3 x 2 y 2 - 2 x - sen ⁡ y

y ' = d y d x = - 3 x 2 y 2 - 2 x - sen ⁡ y 2 x 3 y - 5 + x cos ⁡ y

Passo 3

b Sabemos que o coeficiente angular a de uma reta modelada por y = a x + b valerá a derivada da função no ponto de tangência em que x , y = 1,0 :

y ' 1,0 = - 3 1 2 0 2 - 2 1 - sen ⁡ 0 2 1 3 0 - 5 + 1 cos ⁡ 0 = 0 - 2 - 0 0 - 5 + 1

= - 2 - 4 = 1 2

Logo, se a = 1 2 , achamos b :

y = a x + b   →       0 = 1 2 1 + b     ;     b = - 1 2

Assim, a reta será y = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x - 1

Resposta

a   y ' = d y d x = - 3 x 2 y 2 - 2 x - sen ⁡ y 2 x 3 y - 5 + x cos ⁡ y

b   y = 1 2 x - 1

Exercício Resolvido #2

George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 209-58. MODIFICADO

Encontre pontos na curva x ² + x y + y 2 = 7 onde a tangente é paralela (a) ao eixo x e (b) ao eixo y .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a ) A reta é paralela ao eixo x , ou seja, horizontal. Se a reta é horizontal:

y ' = 0

Passo 2

Precisamos determinar qual o valor de x = x 0 tal que isso seja verdade.

Sabemos que y ' = 0 . Então vamos derivar implicitamente para igualar a esse valor: x 2 + x y + y 2 = 7 ⟹ 2 x + y + x y ' + 2 y y ' = 0 ⟹ y ' x + 2 y = - 2 x - y

Assim: y ' = - 2 x + y 2 y + x

Passo 3

Quando y ' = 0 , no ponto x = x 0 :

0 = 2 x 0 + y ( x 0 ) 2 y ( x 0 ) + x 0 ⟹ 2 x 0 + y x 0 = 0 ⟹ y x 0 = - 2 x 0

Passo 4

Substituindo na equação:

x 2 + x y + y 2 = 7 ⟹ x 0 2 + x 0 y x 0 + y 2 x 0 = 7 ⟹ x 0 2 - 2 x 0 2 + 4 x 0 2 = 7

x 0 = ± 7 3

Nesses pontos, a reta tangente será horizontal.

Passo 5

b ) Quando a reta é paralela ao eixo y , a derivada não pode existir, ou seja, o denominador deve ser 0 .

2 y x 1 + x 1 = 0 → y x 1 = - x 1 2

Passo 6

Substituindo na equação:

x 2 + x y + y 2 = 7 ⟹ x 1 2 + x 1 y x 1 + y 2 x 1 = 7 ⟹ x 1 2 - x 1 2 2 + x 1 2 4 = 7

x 1 = ± 28 3

Nesses pontos, a reta tangente será vertical.

Resposta

a ) ± 7 3

b ) ± 28 3

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