Teoria

Imagine que a gente queira calcular a reta tangente a uma circunferência de raio 1 no ponto em que x = ( 1 / 2 , 3 / 2 ) da circuferência.

x ² + y ² = 1 ⏞ r a i o ⏟ e q u a ç ã o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a

Como a reta tangente passa por esse ponto, já podemos substituir na equação da reta:

y - y 0 = m x - x 0 ⟹ y - 3 2 = m x - 1 2 ⟹ y = m x - m 2 + 3 2

Mas agora, qual o valor de m ? Como achamos esse coeficiente angular, se não temos um y como função de x para derivar??

Usamos a derivada implicitamente! Vamos achar y ' para essa equação implicitamente:

x ² + y ² = 1   ⟹ 2 x + 2 y y ' = 0 ⟹ y ' =   - x y  

No ponto 1 2 , 3 2 :

y ' = - 1 2 3 2 =   - 1 3 =

- 3 3

Como sabemos, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ( y ' = m ). Então...

m = - 3 3

Agora não falta nada:

y =   - 3 3 x + 3 6 + 3 2 ⟹ y =   3 3 ( 2 - x )

Para retas paralelas e perpendicular, é só usar a mesma ideia: y ' calculado implicitamente como coeficiente angular.

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