Trabalho de uma força

Resumo Completo

Já sabemos que as integrais são utilizadas para calcular áreas e volumes. Mas, além disso, elas também podem ser utilizadas para calcular fenômenos físicos. Vamos ver agora como aplicar as integrais para calcular o trabalho realizado por uma força.

Definição

Por definição, o trabalho realizado por uma força é denominado tem W e definido como a força vezes a distância na qual a força atua.

W = F o r ç a   X   d i s t â n c i a   d e   a t u a ç ã o   d a   f o r ç a

Ocorre que nem sempre a força é constante em toda a distância, o que dificulta o cálculo do trabalho. Nesses casos, é como se, em intervalos infinitesimais eu pudesse considerar a força constante. Então, eu escrevo essa expressão em sua forma infinitesimal. Assim:

d W = F   d x

Então, em problemas em que quero calcular o trabalho realizado por uma força variável na direção do eixo x , eu preciso conhecer a expressão de F em função de x , o que me permitirá escrever essa função em sua forma integrada:

W = a b F x d x

Também é preciso conhecer os pontos inicial e final para determinar os limites de integração. A integral pode se tornar mais fácil ou mais difícil dependendo da expressão para F ( x ) . Vamos fazer alguns exemplos?

Exemplo 1 - Mola

Determine o trabalho necessário para esticar uma mola partindo de seu comprimento inicial de 1 m até um comprimento de 2 m além do seu comprimento original se a constante da mola é K = 30 N m .

Como eu disse anteriormente, o cálculo do trabalho realizado por uma força variável no eixo x depende de conhecermos sua expressão para x . No enunciado, temos uma força elástica, isto é, a força para comprimir uma mola. Pela Lei de Hooke, sabemos que a força para comprimir ou esticar uma mola de x unidades de comprimento pode ser definida como F = K x , sendo K a chamada constante da mola.

Portanto, podemos substituir a expressão da Lei de Hooke para calcular o trabalho dessa força.

E os limites de integração?

Nesses problemas, é sempre importante estabelecer a origem do sistema de coordenadas, lembrando que é você quem escolhe essa origem, o importante é que você seja sempre coerente com ela. Nesse caso, estamos tratando do trabalho unidimensional, apenas na direção x .

Podemos pensar na mola não comprimida. Se estabelecermos que a origem do eixo x da seguinte forma:

O limite inferior será 0 e o limite superior 2 m , visto que ele quer que a mola seja esticada 2 m ALÉM do seu comprimento original 2 m   não é o comprimento final da mola, então a força age por 2 m

W = 0 2 K x d x

W = K x 2 2 2 1

W = 30 2 2 2 - 0

W = 60   J

Exemplo 2 – Içar um corpo

Qual o trabalho realizado para içar um balde que pesa 5   N a partir do solo com velocidade constante com uma corda de 20   m de comprimento sabendo que a corda pesa 0,08 k g m ?

Bom, se queremos o trabalho de ume força em dada direção, temos que estabelecer uma expressão para a força nessa direção.

Então o primeiro ponto é estabelecer que força foi feita nesse caso. Bom, no enunciado, tem uma “pegadinha”. Observa que ele diz que o balde foi içado com velocidade constante. Pela primeira Lei de Newton, sabemos que um corpo tem velocidade constante quando o somatório das forças que agem sobre ele é nulo.

Bom, temos que pensar que, nesse caso, ele pede o trabalho para içar o balde, só que ele deu a massa da corda, o que significa que ela não é desprezível. Logo, o trabalho realizado, na verdade, é o trabalho necessário para içar o sistema balde +corda. Que forças agem sobre o sistema balde + corda?

  • Peso do balde
  • Peso da corda
  • Força para içar

Se o sistema é içado a velocidade constante, sabemos que a força para içar deve ser igual à soma da força peso do balde + a força peso da corda.

Sabemos que a força peso é definida como:

P = m a s s a   X   a c e l e r a ç ã o   d a   g r a v i d a d e

P b a l d e = m b a l d e g

O balde tem peso constante e já é dado no enunciado ( 5 N ) . Mas o peso da corda é dada em função do seu comprimento. Conforme a corda vai sendo puxada, uma parte cada vez menor dela faz peso. Se estabelecermos o seguinte sistema de coordenadas:

Podemos, então, escrever:

P c o r d a = 0,08   ( 20 - x )

Isso porque cada metro de corda tem 0,08 kg. Então conforme a corda vai sendo puxada, o comprimento de corda que resta é 20 - x .

Portanto, a força F equivale a:

F = P b a l d e + P c o r d a

F = 5 + 0,08 ( 20 - x )

A força F atua por 20 m . Considerando o sistema de coordenadas que estabelecemos:

W = 0 20 5 + 0,08 ( 20 - x ) d x

Considerando g = 10 m s 2

W = 0 20 5 + 0,08 ( 20 - x ) d x

W = 0 20 5 + 1,6 - 0,08 x d x

W = 6,6   x - 0,08 x 2 2   20 0

W = 132 - 0,04   20 2

W = 116   N

Exemplo 3 Puxar um corpo

Um cavalo puxa uma carroça por uma estrada retilínea, exercendo uma força variável no tempo: F t = 3 + sen t   N . A carroça se desloca com velocidade constante de 7   m / s . Ache o trabalho realizado pelo cavalo nos primeiros 30 segundos.

Bem, já sabemos que a expressão para o trabalho realizado por uma força é igual a

W = a b F x d x

Para isso, precisamos achar uma expressão para F ( x ) . Ele deu uma expressão para F envolvendo tempo, mas queremos uma expressão envolvendo distância.

Só que a velocidade v de deslocamento ao longo do eixo x pode ser escrita em função do tempo t como:

v = d x d t                 d x = v d t

Portanto, reescrevemos a expressão do trabalho como:

W = a b F t v d t

v   é constante e igual a 7 m s e queremos o trabalho nos primeiros 30 segundos. Portanto, temos:

W = 0 30 ( 3 + sen t )   7 d t

W = 0 30 ( 21 + 7 sen t )   d t

W = ( 21   t - 7 cos t ) 30 0

E então:

W = ( 21 30 - 7 cos ( 30 ) ) - ( 0 - 7 cos 0 ) = 7 ( 91 - c o s ( 30 ) )

Observação: Nesse caso, se a velocidade fosse variável e tivéssemos uma expressão de v em função de t , a única coisa que mudaria é que ela também seria levada em consideração na integração. Por exemplo, se tivéssemos que v t = 3 + t e quiséssemos o trabalho nos primeiros 5 minutos:

W = 0 300 3 + sen t 3 + t d t

Basicamente, cada problema é um problema (meio óbvio rs mas vale ressaltar!). O sucesso na resolução dos problemas que pedem o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um dado eixo depende de entender bem o problema e escolher o sistema de coordenadas de forma que te facilite o máximo possível e que você se sinta mais confortável para entender o que está acontecendo. Mas esse tipo de exercício depende de prática mesmo, porque cada caso vai ser de uma forma e a resolução de vários exercícios é que vai começar a te dar a manha para escolher a origem do eixo de forma adequada e a interpretar os problemas. Então... mãos-à-obra!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 485 - 7

Use a integral abaixo

T r a b a l h o = p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V

para determinar o trabalho realizado ao comprimir o gás de V 1 = 243   p o l 3 a V 2 = 32   p o l 3 , se p 1 = 50   l b / p o l 3 e p e V obedecem à lei dos gases p V 1,4 = c o n s t a n t e (para processos adiabáticos).

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro, uma observação: as unidades são estranhas, eu sei. Esquece elas, usa os números e no final te conto qual será a unidade final.

Dada a fórmula, a boa é se conseguirmos escrever a pressão apenas em função do volume. Dado a equação do processo adiabático que o cara nos deu, podemos escrever:

p = C V 1,4

Onde C é a constante que tem na equação que o enunciado nos deu. Com isso, tendo o volume inicial e final, sabemos a fórmula do trabalho:

W = p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V = 243 32 C V 1,4 d V

= C 243 32 d V V 1,4

Passo 2

Integrando, teremos:

W = C 243 32 V - 1,4   d V = C V - 0,4 - 0,4 [ 32 243

= C 32 - 0,4 - 0,4 - 243 - 0,4 - 0,4

= C 0,4 243 - 0,4 - 32 - 0,4

Antes de fazer essa conta gigante, vamos descobrir C . Pelo enunciado, temos pressão inicial e volume inicial. Com isso, é fácil descobrir o valor de C pela fórmula que o cara nos deu:

C = p 1 V 1 1,4 = 50 243 1,4

Então:

W = 50 243 1,4 0,4 243 - 0,4 - 32 - 0,4

É claro que vou usar uma calculadora para calcular esse monstrengo estranho. Cheguei no seguinte aqui:

W = - 37968,75     l b . p o l

A unidade final é essa aí, libra-polegada

Resposta

W = - 37968,75     l b . p o l

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 489 - 38

Dois elétrons longe um do outro r metros repelem-se com uma força de

F = 2,3.10 - 29 r 2     n e w t o n s

a Suponha que um elétron seja mantido fixo no ponto 1,0 no eixo x (unidades em metros). Quanto trabalho será necessário para deslocar um segundo elétron ao longo do eixo x do ponto - 1,0 para a origem.

b Suponha que um elétron seja mantido fixo em cada um dos pontos - 1,0 e 1,0 . Quanto trabalho será necessário para deslocar um terceiro elétron ao longo do eixo x de 5,0 a 3,0 ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a A gente sabe que o trabalho será dado pela integral na distância do produto F o r ç a   x   d i s t â n c i a . Nesse problema, nossa variável de integração será r . Pela equação do trabalho, teremos:

W = a b F r d r

Onde o posição inicial será - 1,0 e a final será 0,0 . Assim, a distância r ao outro elétron em 1,0 inicialmente e no fim serão dadas por:

r i n i c i a l = 1 - - 1 = 2

r f i n a l = 1 - 0 = 1

Então, os limites de integração serão dados por:

W = 2 1 F r d r

Passo 2

Substituindo a força, teremos:

W = 2 1 2,3.10 - 29 r 2 d r = 2 1 2,3.10 - 29 r - 2 d r

= - 2,3.10 - 29 r - 1 = - 2,3.10 - 29 r [ 1 2

= - 2,3.10 - 29 1 - - 2,3.10 - 29 2 = - 2,3.10 - 29 2

= - 1,15 10 - 29   J

O trabalho tem sinal negativo pois é realizado sobre o sistema, ou seja, vai contra a tendência natural do movimento, de se repelir. O usual mesmo é usar seu módulo:

W = 1,15 10 - 29   J

Passo 3

b Temos o mesmo princípio a ser aplicado nessa letra, apenas muda que calcularemos duas integrais ao invés de uma.

Em relação ao elétron em 1,0 , os valores de r inicial e final serão:

r i n i c i a l = 5 - 1 = 4

r f i n a l = 3 - 1 = 2

Para o em - 1,0 , serão:

r i n i c i a l = 5 - - 1 = 6

r f i n a l = 3 - - 1 = 4

O que teremos, então, será:

W = 4 2 F r d r + 6 4 F r d r

Por propriedades das integrais, teremos:

W = 4 2 F r d r + 6 4 F r d r = 6 2 F r d r

Passo 4

Substituindo a força, teremos:

W = 6 2 2,3.10 - 29 r 2 d r = 6 2 2,3.10 - 29 r - 2 d r

= - 2,3.10 - 29 r - 1 = - 2,3.10 - 29 r [ 2 6

= - 2,3.10 - 29 2 - - 2,3.10 - 29 6 = - 2,3.10 - 29 3

= - 0,77 10 - 29   J

O trabalho tem sinal negativo pois é realizado sobre o sistema, ou seja, vai contra a tendência natural do movimento, de se repelir. O usual mesmo é usar seu módulo:

W = 0,77 10 - 29   J

Resposta

a   W = 1,15 10 - 29   J

b   W = 0,77 10 - 29   J

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 486 - 12

Suponha que o gás contido em um cilindro com área transversal A esteja sendo comprimido por um pistão. Se p for a pressão do gás em l i b r a s   p o r   p o l 2 e V o volume em p o l 3 , o trabalho realizado na compressão do gás, do estado ( p 1 , V 1 ) até o estado ( p 2 ,   V 2 ) é dado pela equação:

p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V  

Use essa integral para determinar o trabalho realizado ao comprimir o gás de V 1 = 243   p o l 3 a V 2 = 32   p o l 3 , se p 1 = 50   l b / p o l 3 e p e V obedecem à lei dos gases p V 1,4 = c o n s t a n t e , para processos adiabáticos.

(Dica: Nas coordenadas sugeridas pela figura, d V = A d x . A força contra o pistão é p A )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bem, ele quer o trabalho realizado para comprimir um gás de dado volume e dada pressão até outro estado. A integral a ser usada, ele já definiu no enunciado e é essa aqui embaixo:

p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V  

Além disso, ele definiu a relação entre p e V nesse processo.

Nesse tipo de questão, o mais difícil é que, se p não é constante, ou seja, se p varia com o volume, temos que escrever p em função de V para poder integrar, já que a integral está definida para d V .

Nesse caso, ele deu a relação entre p e V . Então é essa relação que temos que usar para relacionar os dois e escrever p em função de V .

Passo 2

A primeira coisa que eu vou fazer é justamente escrever p em função de V .

Ele diz que:

p V 1,4 = c o n s t a n t e

Então:

p = C V 1,4

Beleza, tá tudo muito bom, mas como achar essa constante C ?

Repara que no estado inicial do gás, ele dá as duas condições do gás p 1 e V 1 . Logo, temos como substituir na fórmula e encontrar C , não é mesmo?

Olha aqui:

  p 1 = 50   l b / p o l 3

V 1 = 243   p o l  

Substituindo na fórmula:

p = C V 1,4

50 = C 243 1,4 C = 109350

Passo 3

Agora eu tenho que substituir na integral. Temos que lembrar que como a nossa variável de integração é V , os limites de integração devem ser dados em função de V .

Temos, do enunciado:

V 1 = 243   p o l 3

V 2 = 32   p o l 3

Logo:

243 32 109350 V 1,4 d V  

- ''

Passo 4

Resolvendo a integral:

243 32 109350 V 1,4 d V =   243 32 109350   V - 1,4   d V

= 109350   V - 1,4 + 1 - 1,4 + 1 32 243

= 109350   V - 0,4 - 0,4 32 243 = - 109350   V - 0,4 0,4 32 243

= - 109350   32 - 0,4 0,4 - 243 - 0,4 0,4 = - 37968,75   i n . l b

O trabalho realizado pelo sistema é negativo porque se trata de uma compressão.

- ''

Resposta

W = 37968,75   i n . l b

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