Integral Do Trabalho De Uma Força

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Teoria

Fala aí! Nesse texto sobre aplicações de integrais, vamos ver como usar essa ferramenta do Cálculo para calcular fenômenos físicos, mais especificamente a integral do trabalho de uma força.

Tá preparado? Então vem comigo ver como fazer isso aí com uns exercícios resolvidos passo a passo 😋

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Como calcular o trabalho usando integral?

A fórmula mais simples de trabalho é aquela da força vezes deslocamento.

Mas essa fórmula aí só pode ser usada quando a força é constante. Afinal, se essa variável assumir vários valores, qual deles você vai jogar na fórmula?

É aí que entra a integral!

Olha só, imagina uma força variável qualquer, com uma função que descreve esse gráfico aqui em relação à distância:

Gráfico de uma função não constante.
Gráfico de uma função não constante.

Consegue perceber que cada valor de distância ali no eixo vai gerar um correspondente diferente de força no eixo ?

Cada valor de
Cada valor de

Isso que quer dizer a força ser variável!

Agora, olha só como a gente resolve isso. Se a gente pegar um pedacinho muito pequeno (infinitesimal) de deslocamento , a força correspondente só àquele pedacinho vai ser constante!

E aí podemos calcular o trabalho também infinitesimal resultante disso aí.

Beleza, mas a gente quer o trabalho todo e não só esse pedacinho, não é? Então, pra voltarmos de para , é só integrar em relação ao deslocamento todo.

Ah, é claro, a gente tem que conhecer a expressão da força em função de , para podermos integrá-la. Beleza?

Então, bora ver alguns exemplos com os casos mais comuns.

Exemplo 1 - Trabalho da Força Peso

Qual o trabalho realizado para içar um balde que pesa a partir do solo, com velocidade constante, com uma corda de de comprimento? Considere que a corda tenha uma massa dada por .

Tá, se queremos o trabalho de uma força em dada direção, temos que encontrar uma expressão para essa força nessa direção. O primeiro passo é descobrir qual força atua nesse caso.

Repare que, pelo enunciado, a massa da corda não é desprezível. Isso significa que o trabalho realizado aqui vai ser o necessário para levantar o sistema . Quais as forças atuando aí?

  • Peso do balde
  • Peso da corda
  • Força para içar

Se o sistema é içado com velocidade constante, quer dizer que o somatório das forças sobre ele é nulo (Segunda Lei de Newton), certo? Então, a força para içar deve ser igual ao peso do balde somado ao peso da corda.

O peso do balde já foi dado pelo enunciado. Vale . E o da corda?

Aí tem que tomar cuidado! Conforme a corda vai sendo puxada, uma parte cada vez menor dela faz peso.

Se estabelecermos o seguinte sistema de coordenadas:

Sistema de coordenadas para o exemplo.
Sistema de coordenadas para o exemplo.

Conforme a corda vai sendo puxada, o comprimento que resta é .

Lembrando que esse sistema de coordenadas aí é você quem escolhe, só tem que se atentar pra ser sempre coerente com ele.

Então, o peso da corda vai ser dado por:

Agora sim, bora substituir lá outra expressão.

A força atua por . Considerando o sistema de coordenadas que estabelecemos, vamos substituir lá na fórmula pro cálculo do trabalho.

Integrar esse polinômio aí não tem segredo, né?

Agora aplica os limites de integração:

Exemplo 2 - Trabalho da Força Elástica

Determine o trabalho necessário para esticar uma mola partindo de seu comprimento inicial de até uma extensão de . A constante elástica da mola é .

Novamente, o primeiro passo é encontrar a função que descreve a variação da força em .

Como a situação aqui envolve uma mola, estamos tratando da força elástica! E, como você deve saber, esse cara pode ser descrito pela Lei de Hooke:

é a tal da constante elástica e é a distância ou comprimento da mola.

Então é essa expressão aí que vamos usar.

E os limites de integração?

Bora definir o seguinte sistema de coordenadas:

Sistema de coordenadas para o exemplo.
Sistema de coordenadas para o exemplo.

Como o enunciado quer que a mola seja esticada além do seu comprimento original, a força age por um total de . Então:

Com mais algumas continhas:

Pronto! Chegamos no nosso resultado.

Deu pra perceber que o sucesso na resolução de problemas que pedem o trabalho realizado por uma força variável depende de entender a situação para podermos extrair uma função e escolher o sistema de coordenadas de forma que facilite suas contas, né?

Então bora fazer mais alguns exercícios resolvidos passo a passo pra ficarmos bem craques nisso aí!

Exemplo 1 - Trabalho da Força Peso

Exemplo 2 - Trabalho da Força Elástica

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Use a integral abaixo

T r a b a l h o = ∫ p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V

para determinar o trabalho realizado ao comprimir o gás de V 1 = 243   p o l 3 a V 2 = 32   p o l 3 , se p 1 = 50   l b / p o l 3 e p e V obedecem à lei dos gases p V 1,4 = c o n s t a n t e (para processos adiabáticos).

Passo 1

Primeiro, uma observação: as unidades são estranhas, eu sei. Esquece elas, usa os números e no final te conto qual será a unidade final.

Dada a fórmula, a boa é se conseguirmos escrever a pressão apenas em função do volume. Dado a equação do processo adiabático que o cara nos deu, podemos escrever:

p = C V 1,4

Onde C é a constante que tem na equação que o enunciado nos deu. Com isso, tendo o volume inicial e final, sabemos a fórmula do trabalho:

W = ∫ p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V = ∫ 243 32 C V 1,4 d V

= C ∫ 243 32 d V V 1,4

Passo 2

Integrando, teremos:

W = C ∫ 243 32 V - 1,4   d V = C V - 0,4 - 0,4 [ 32 243

= C 32 - 0,4 - 0,4 - 243 - 0,4 - 0,4

= C 0,4 243 - 0,4 - 32 - 0,4

Antes de fazer essa conta gigante, vamos descobrir C . Pelo enunciado, temos pressão inicial e volume inicial. Com isso, é fácil descobrir o valor de C pela fórmula que o cara nos deu:

C = p 1 V 1 1,4 = 50 243 1,4

Então:

W = 50 243 1,4 0,4 243 - 0,4 - 32 - 0,4

É claro que vou usar uma calculadora para calcular esse monstrengo estranho. Cheguei no seguinte aqui:

W = - 37968,75     l b . p o l

A unidade final é essa aí, libra-polegada

Resposta

W = - 37968,75     l b . p o l

Exercício Resolvido #2

Dois elétrons longe um do outro r metros repelem-se com uma força de

F = 2,3.10 - 29 r 2     n e w t o n s

a Suponha que um elétron seja mantido fixo no ponto 1,0 no eixo x (unidades em metros). Quanto trabalho será necessário para deslocar um segundo elétron ao longo do eixo x do ponto - 1,0 para a origem.

b Suponha que um elétron seja mantido fixo em cada um dos pontos - 1,0 e 1,0 . Quanto trabalho será necessário para deslocar um terceiro elétron ao longo do eixo x de 5,0 a 3,0 ?

Passo 1

a A gente sabe que o trabalho será dado pela integral na distância do produto F o r ç a   x   d i s t â n c i a . Nesse problema, nossa variável de integração será r . Pela equação do trabalho, teremos:

W = ∫ a b F r d r

Onde o posição inicial será - 1,0 e a final será 0,0 . Assim, a distância r ao outro elétron em 1,0 inicialmente e no fim serão dadas por:

r i n i c i a l = 1 - - 1 = 2

r f i n a l = 1 - 0 = 1

Então, os limites de integração serão dados por:

W = ∫ 2 1 F r d r

Passo 2

Substituindo a força, teremos:

W = ∫ 2 1 2,3.10 - 29 r 2 d r = ∫ 2 1 2,3.10 - 29 r - 2 d r

= - 2,3.10 - 29 r - 1 = - 2,3.10 - 29 r [ 1 2

= - 2,3.10 - 29 1 - - 2,3.10 - 29 2 = - 2,3.10 - 29 2

= - 1,15 10 - 29   J

O trabalho tem sinal negativo pois é realizado sobre o sistema, ou seja, vai contra a tendência natural do movimento, de se repelir. O usual mesmo é usar seu módulo:

W = 1,15 10 - 29   J

Passo 3

b Temos o mesmo princípio a ser aplicado nessa letra, apenas muda que calcularemos duas integrais ao invés de uma.

Em relação ao elétron em 1,0 , os valores de r inicial e final serão:

r i n i c i a l = 5 - 1 = 4

r f i n a l = 3 - 1 = 2

Para o em - 1,0 , serão:

r i n i c i a l = 5 - - 1 = 6

r f i n a l = 3 - - 1 = 4

O que teremos, então, será:

W = ∫ 4 2 F r d r + ∫ 6 4 F r d r

Por propriedades das integrais, teremos:

W = ∫ 4 2 F r d r + ∫ 6 4 F r d r = ∫ 6 2 F r d r

Passo 4

Substituindo a força, teremos:

W = ∫ 6 2 2,3.10 - 29 r 2 d r = ∫ 6 2 2,3.10 - 29 r - 2 d r

= - 2,3.10 - 29 r - 1 = - 2,3.10 - 29 r [ 2 6

= - 2,3.10 - 29 2 - - 2,3.10 - 29 6 = - 2,3.10 - 29 3

= - 0,77 10 - 29   J

O trabalho tem sinal negativo pois é realizado sobre o sistema, ou seja, vai contra a tendência natural do movimento, de se repelir. O usual mesmo é usar seu módulo:

W = 0,77 10 - 29   J

Resposta

a   W = 1,15 10 - 29   J

b   W = 0,77 10 - 29   J

Exercício Resolvido #3

Suponha que o gás contido em um cilindro com área transversal A esteja sendo comprimido por um pistão. Se p for a pressão do gás em l i b r a s   p o r   p o l 2 e V o volume em p o l 3 , o trabalho realizado na compressão do gás, do estado ( p 1 , V 1 ) até o estado ( p 2 ,   V 2 ) é dado pela equação:

∫ p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V  

Use essa integral para determinar o trabalho realizado ao comprimir o gás de V 1 = 243   p o l 3 a V 2 = 32   p o l 3 , se p 1 = 50   l b / p o l 3 e p e V obedecem à lei dos gases p V 1,4 = c o n s t a n t e , para processos adiabáticos.

(Dica: Nas coordenadas sugeridas pela figura, d V = A d x . A força contra o pistão é p A )

Passo 1

Bem, ele quer o trabalho realizado para comprimir um gás de dado volume e dada pressão até outro estado. A integral a ser usada, ele já definiu no enunciado e é essa aqui embaixo:

∫ p 1 , V 1 p 2 , V 2 p   d V  

Além disso, ele definiu a relação entre p e V nesse processo.

Nesse tipo de questão, o mais difícil é que, se p não é constante, ou seja, se p varia com o volume, temos que escrever p em função de V para poder integrar, já que a integral está definida para d V .

Nesse caso, ele deu a relação entre p e V . Então é essa relação que temos que usar para relacionar os dois e escrever p em função de V .

Passo 2

A primeira coisa que eu vou fazer é justamente escrever p em função de V .

Ele diz que:

p V 1,4 = c o n s t a n t e

Então:

p = C V 1,4

Beleza, tá tudo muito bom, mas como achar essa constante C ?

Repara que no estado inicial do gás, ele dá as duas condições do gás p 1 e V 1 . Logo, temos como substituir na fórmula e encontrar C , não é mesmo?

Olha aqui:

  p 1 = 50   l b / p o l 3

V 1 = 243   p o l  

Substituindo na fórmula:

p = C V 1,4

50 = C 243 1,4 → C = 109350

Passo 3

Agora eu tenho que substituir na integral. Temos que lembrar que como a nossa variável de integração é V , os limites de integração devem ser dados em função de V .

Temos, do enunciado:

V 1 = 243   p o l 3

V 2 = 32   p o l 3

Logo:

∫ 243 32 109350 V 1,4 d V  

- ''

Passo 4

Resolvendo a integral:

∫ 243 32 109350 V 1,4 d V =   ∫ 243 32 109350   V - 1,4   d V

= 109350   V - 1,4 + 1 - 1,4 + 1 32 243

= 109350   V - 0,4 - 0,4 32 243 = - 109350   V - 0,4 0,4 32 243

= - 109350   32 - 0,4 0,4 - 243 - 0,4 0,4 = - 37968,75   i n . l b

O trabalho realizado pelo sistema é negativo porque se trata de uma compressão.

- ''

Resposta

W = 37968,75   i n . l b

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