Força hidrostática

Resumo Completo

Já aprendemos a utilizar as integrais para calcular áreas, volumes e alguns problemas físicos, incluindo o trabalho realizado por uma força variável. Vamos ver agora como aplicar as integrais para calcular forças hidrostáticas.

Definição

As forças hidrostáticas são forças de pressão, que são forças de superfície, isto é, precisam de contato. As forças de pressão são normais à superfície do corpo.

Sabe-se, por definição, que força é igual a pressão vezes a área de atuação da força:

F = p r e s s ã o   X   á r e a   d e   a t u a ç ã o   d a   f o r ç a

Genericamente, define-se a pressão que age sobre um corpo mergulhado em um fluido como:

P = P a t m + ρ g h , sendo h   a profundidade do corpo no fluido.

Se eu tenho um corpo, mergulhado em um fluido, em cada altura do corpo, as forças de pressão são diferentes, pois a profundidade é diferente. Então em cada pedaço infinitesimal desse corpo, as forças são diferentes. Não esqueça que a força de pressão varia com a profundidade!

Por isso, podemos escrever em sua forma infinitesimal:

d F = d F á g u a - d F a r

d F = P a t m +   ρ g h d A - P a t m d A

d F =   ρ g h   d A

Então, em problemas de pressão hidrostática, eu preciso escrever d A em função de uma variável que eu consiga integrar. Toda a expressão precisa ficar em função unicamente de uma variável (que será a variável de integração). Todos os outros termos devem ser constantes, que não vão influenciar na variável de integração.

Vamos fazer um exemplo. Esse exemplo é bem completinho e, além do conceito de força hidrostática envolve também o conceito de torque. Vou explicando todos os conceitos durante o exercício, ok? Segura a ansiedade aí! Respira e não pira!

Exemplo: Uma porta com 1 m de largura e 1,5 m de altura está localizada em uma parede vertical, plana, de um tanque de água. A porta é articulada ao longo de sua borda superior, que fica 1 m abaixo da superfície da água. A pressão atmosférica atua na superfície da porta. Se a pressão na superfície da água for a atmosférica, que força deve ser aplicada na borda inferior da porta a fim de impedi-la de abrir?

Nesse caso, que quero que a porta fique estática, o que significa que eu quero que o somatório de todas as forças que agem sobre ela seja igual a zero. O primeiro passo a fazer é identificar as forças que agem na porta. As forças que agem sobre a porta são:

  • Força F (para segurar)
  • Forças de pressão da água e do ar
  • Força peso
  • Força de resistência da articulação.

Eu quero saber a força F mas também não conheço a força da articulação e o peso da porta. Eu preciso de outra equação. Para isso, vou usar outro conceito, que é o de torque. O torque é sempre definido em relação a um ponto em que o objeto irá rodar:

T = F o r ç a   X   d i s t â n c i a   e m   r e l a ç ã o   a o   p o n t o   d e   r o t a ç ã o .  

Para que a porta fique estática, a soma dos torques exercidos pelas forças tem que ser igual a zero. Nesses problemas, é sempre importante estabelecer a origem do sistema de coordenadas, lembrando que é você quem escolhe essa origem, o importante é que você seja sempre coerente com ela. Se estabelecermos que o eixo de rotação é localizado no eixo da articulação, que é a borda superior da porta, isso é vantajoso, pois torque é definido como força vezes distância. Nesse caso, a distância da força da articulação em relação ao eixo de rotação é zero, o que significa que o torque será igual a zero.

Se no equilíbrio a porta está vertical, isso significa que a força peso não exerce torque.

Portanto, teremos:

T = T F + T p r e s s ã o + T p e s o + T a r t i c u l a ç ã o = 0  

Em relação ao ponto de articulação, que escolhemos como sendo coincidente com a borda superior da porta:

T = T F + T p r e s s ã o = 0  

Como torque é igual a força vezes distância em relação ao eixo de articulação:

T F = F h

O torque da força de pressão será dado pela força de pressão vezes a distância. Já sabemos que a força de pressão muda em cada ponto da porta, então o conceito é o mesmo de quando escrevemos a força de pressão em sua forma infinitesimal. Poderemos escrever a expressão para o torque da força de pressão também em sua forma infinitesimal:

d T p r e s s ã o = z   d F p r e s s ã o  

z   é a distância da força ao eixo de articulação. Agora temos que estabelecer d F p r e s s ã o , isto é, escrevê-la em função de z para que possamos integrar

Bom, já sabemos que:

d F p r e s s ã o =   ρ g h   d A  

Nesse tipo de problema, temos que avaliar como escrever d A   em função de algo que possamos integrar. Lembre-se que d A é o elemento infinitesimal de área. Temos que escrever assim porque em cada ponto infinitesimal a força irá mudar!

A porta é um retângulo, certo? Então vamos escrever d A baseado no sistema de coordenadas que escolhemos anteriormente.

Ok. Então o z vai variando. Cada ponto da porta tem uma altura ( z ) diferente. A largura da porta não importa nesse caso, ela é sempre a mesma independente da altura. Se integrássemos d x teríamos que integrar de 0 a 1 , que é a largura da porta, e isso daria exatamente 1 . Portanto, podemos esquecer esse d x .

Ok. Então temos d z , o que significa que nossa variável de integração é z . Portanto, temos que escrever h em função da nossa variável de integração. Quem é h nesse caso? h é sempre a profundidade do ponto em que queremos a força! Lembre-se que a força muda com a profundidade. Nesse caso, ele quer a força que deve ser aplicada na parte inferior da porta. Isso significa que devemos sempre considerar a altura desse ponto ( z ) .

Colocamos a origem do eixo z na parte superior da porta. A profundidade da parte superior da porta em relação à água é fixa e igual a h 2 = 1   m . O que muda é o ponto z   da porta em que estamos calculando a força em relação à origem do eixo z .

Então, concorda que podemos escrever:

d F p r e s s ã o =   ρ g 1 + z d z  

Agora já temos a expressão para d F p r e s s ã o em função de z !! Então podemos voltar para a expressão do torque!

T F + T p r e s s ã o = 0

F h 1 + d T p r e s s ã o = 0

  d T p r e s s ã o = z   d F p r e s s ã o  

F h 1 + z   d F p r e s s ã o   = 0

F h 1 +   ρ z g 1 + z d z = 0

Agora podemos transformar a equação acima em sua forma integrada. Mas, para isso, temos que saber os limites de integração. Como colocamos a origem do eixo z na parte superior da porta, esse é o ponto z = 0 e o ponto final é o ponto inferior da porta, onde estamos querendo calcular a força, que equivale a 1,5   m , pois essa á a altura da porta.

Portanto, temos:

F h 1 + 0 1,5 ρ g z 1 + z d z = 0

Considerando que a água seja incompressível, isto é que a densidade do fluido não muda com a pressão, então a densidade é constante com a altura e pode sair da integral. g corresponde à gravidade e também é constante. Portanto, temos:

F h 1 + ρ g 0 1,5 z 1 + z d z = 0

F h 1 +   ρ g   0 1,5 z + z 2 d z = 0

F h 1 + ρ g   z 2 2 + z 3 3 1,5 0 = 0

Sabemos:

h 1 = 1,5   m

ρ á g u a = 1000 k g m 3

g = 9,8 m s 2

Substituindo os valores, encontramos:

F = 14700   N

Calma. Eu sei que parece complicado. Mas esse problema é bem completinho, para você entender que esses conceitos de escrever na forma infinitesimal podem ser usados não só para a força em si, mas também podem ser estendidos sempre que uma grandeza varia. O importante é escrever tudo na mesma variável que vai permitir a integração e escolher a origem dos eixos de forma a te facilitar!

Vamos aos exercícios, pois é o treino que leva à perfeição. Não esqueça que ninguém nasce sabendo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P3 2013.1 – 3

Um barril com seção reta elíptica está deitado no fundo de um poço cheio de água, com 10 m de profundidade. Ache a força hidrostática exercida sobre a tampa do barril. É dada a equação da elipse nos eixos da figura:

x 2 4 + y 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro passo é entender o que está acontecendo no problema. Um esboço do problema é esse:

E nessa figura vemos uma projeção do barril no fundo do poço. O que sabemos inicialmente é que cada mini faixa azul do barril sofre ação de uma força hidrostática diferente das demais mini faixas, pois elas são de tamanhos diferentes. Então vamos escrever a força que age sobre cada faixinha de área d A e que está a uma profundidade h em relação ao nível da água.

d F = ρ g h   d A

Passo 2

Agora vamos identificar quanto vale a profundidade h em termos de y . E sabemos que, como o poço tem 10 metros e de acordo com o esboço que fizemos o nível da água está em y = 9 , então a profundidade h = 9 - y .

Passo 3

Considerando cada minifaixa azul do barril, conseguimos escrever a área de cada minifaixa como d A = 2 x   d y . E os valores de x e y estão relacionados pela equação da elipse dada no problema. Por ela, sabemos que:

x = 2 1 - y 2

Passo 4

E voltando agora pra expressão da força hidrostática, vamos ter:

d F = ρ g 9 - y 4 1 - y 2 d y

Integrando a expressão em ambos os lados:

d F = F = - 1 1 4 ρ g 9 - y 1 - y 2 d y

F = 36 ρ g - 1 1 1 - y 2 d y - 4 ρ g - 1 1 y 1 - y 2 d y

Passo 5

Devemos calcular então:

1 - y 2 d y

Fazendo a substituição y = sen θ , teremos que: d y = cos θ d θ . E voltando na integral:

1 - y 2 d y = 1 - sen 2 θ cos θ d θ = cos 2 θ d θ

Pra resolver essa integral, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que diz que:

cos 2 θ = cos 2 θ - 1 2

E então vamos calcular:

cos 2 θ - 1 2 d θ = sen 2 θ 4 - θ 2 + C = sen θ cos θ 2 - θ 2 + C

E como y = sen θ , voltando pra variável y , temos que:

1 - y 2 d y = y 1 - y 2 - arcsen y 2 + C

Avaliando nos extremos do problema:

1 - y 2 d y = - arcsen 1 - ( - arcsen - 1 ) 2 = - π 4 + 3 π 4 = π 2

Passo 6

E agora devemos calcular a outra integral:

y 1 - y 2 d y

Fazendo a substituição u = 1 - y 2 , teremos d u - 2 y = d y e então reescreveremos a integral assim:

y u d u - 2 y = - 1 2 u   d u = - 1 2 2 3 u 3 2 + C = - 1 3 1 - y 2 3 2 + C

Avaliando nos extremos do problema:

y 1 - y 2 d y = - 1 3 1 - 1 2 3 2 - - 1 3 1 - - 1 2 3 2

y 1 - y 2 d y = 0

Passo 7

E agora finalmente voltando lá na expressão da força hidrostática, teremos:

F = 36 ρ g π 2 - 0 = 18 ρ g π

Resposta

F = 18 ρ g π

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P3 2013.2 – 1

Uma vala está cheia de um líquido de densidade ρ até uma altura de 3 metros. As extremidades da vala são trapézios isósceles com base menor no fundo e medindo 4 metros. A base maior mede 8 metros e a altura do trapézio é de 4 metros. Calcule a força hidrostática em uma extremidade da vala.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos identificar o que foi pedido: Força Hidrostática em uma extremidade da vala! Então vamos escrever a equação que conhecemos de força hidrostática. Sabemos que numa minifaixa de comprimento infinitesimal, como mostrado na figura, a força hidrostática que age sobre essa minifaixa de área d A é:

d F = ρ g y   d A

Só que como a área dessa minifaixa, que é considerada um retângulo de base ( 4 + 2 a ) e altura d y é dada por:

d A = 4 + 2 a d y

Teremos a expressão da força hidrostática nessa minifaixa:

d F = ρ g y 4 + 2 a d y

Passo 2

Reparem que o valor de a é diferente pra cada minifaixa da extremidade da vala. Então temos de achar uma relação entre a e y , pra que a gente possa resolver o problema. E olhando o segundo desenho do enunciado, que mostra só uma lateral da extremidade da vala, podemos utilizar uma semelhança de triângulos e observar que:

2 4 = a 3 - y

a = 3 - y 2

Passo 3

Substituindo o valor de a que encontramos na expressão da força hidrostática, vamos ficar com:

d F = ρ g y 4 + 2 3 - y 2 d y

E agora basta integrar dos dois lados e resolver a seguinte integral:

F = 0 3 ρ g y 7 - y d y

Resolvendo:

F = ρ g 7 y 2 2 - y 3 3

E avaliando no intervalo [0;3], encontramos:

F = 45 2 ρ g

Resposta

F = 45 2 ρ g     ( N )

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