Cascas Cilíndricas

Resumo Completo

Quando aplicar o método das cascas cilíndricas?

Usamos esse método pra calcular volumes de sólidos de revolução, que nada mais são do que sólidos obtidos pela rotação de uma figura em torno de algum eixo.

Por exemplo, um cone é um sólido de revolução, obtido pela rotação de um triângulo em torno de um eixo:

Não precisamos de integral pra calcular o volume de um cone né?

Agora suponha que queremos calcular o volume do sólido originado pela rotação, em torno do eixo y , do gráfico de uma função f ( x ) ao longo de um intervalo [ a , b ] :

Vamos imaginar uma “casca” que está a uma distância x do eixo y , tem altura f ( x ) e uma espessura beeem pequena d x .

O volume da revolução dessa casca em torno de y é:

d v = 2 π x f ( x ) d x

Entendendo:

2 π x   é   o   p e r í m e t r o   d a   c i r c u n f e r ê n c i a   ( 2 π r ,   l e m b r a ? ) f x d x   ( a l t u r a   v e z e s   e s p e s s u r a )

Logo, podemos integrar de x = a a x = b essa expressão e obteremos o volume que queremos:

V = a b 2 π x   f ( x ) d x

Só umas observações...

Caso a função tenha sinal negativo no intervalo de integração, deve-se calcular:

V = a b 2 π x ( -   f x ) d x

Outra coisa: também podemos aplicar o método para curvas que giram em torno de x :

Repare: y é o raio, d y é a espessura da casca e f ( y ) é a largura da casca.

V = 0 3 2 π y   f ( y ) d y

Agora vamos para os exercícios praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Considere a região delimitada pelo gráfico da função f x = x 2 + 1 e pelo eixo x , com x 1 ,   2 .

Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo y .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar visualizando essa região.

A função é bem simples, então podemos esboçar o gráfico dela:

Mais especificamente, no intervalo 1 ,   2 , que foi o intervalo pedido:

Então a região que o enunciado falou é:

Passo 2

Aplicando a fórmula, o volume V do sólido de revolução é

V = 1 2 2 π x f x d x

V = 2 π 1 2 x x 2 + 1 d x

Passo 3

Agora é só desenvolver isso e integrar!

V = 2 π 1 2 x 3 + x d x = 2 π x 4 4 + x 2 2 1 2

= 2 π 16 4 + 4 2 - 1 4 - 1 2 = 2 π 16 4 + 8 4 - 3 4

= 2 π 21 4 = 21 π 2

Resposta

21 π 2

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.2 - 2

Encontre o volume obtido pela rotação da placa limitada por y = 0 , y = f x , x = 0 e x = π 2 - 1 , em torno do eixo y , sendo f x = cos ( x 2 + 1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O cara quer que nós calculemos o valor do volume rotacionado em torno de y da região R dada por:

R : y = 0 ; y = cos ( x 2 + 1 ) ; x = 0 ; x = π 2 - 1

Com f 0 = cos ( 1 ) e f π 2 - 1 = cos π 2 - 1 2 + 1 = cos π 2 = 0 .

Vamos, em primeiro lugar, desenhar R . Eu não sei com exatidão como se comportaria o c o s ( x 2 + 1 ) num gráfico, mas deve ser algo parecido com um cosseno.

Ali eu representei também duas setas, uma horizontal e outra vertical. A horizontal vai medir em relação ao eixo y o raio de rotação de R em relação ao mesmo eixo. Já a seta vertical medirá uma distância f ( x ) do gráfico até o eixo x . Enfim, como a rotação é em torno do eixo y , podemos constatar que a reta horizontal medirá o raio dessa rotação e a vertical a altura. Fazendo o volume por cascas cilíndricas teríamos:

R a i o : x     ;     A l t u r a : cos ( x 2 + 1 )

V = 0 π 2 - 1 2 π x cos x 2 + 1 d x

Passo 2

Vamos resolver a integral com uma substituição:

V = π 0 π 2 - 1 2 x cos x 2 + 1 d x

u = x 2 + 1 d u = 2 x d x

x = 0 u = 1

x = π 2 - 1 u = π 2

V = π 0 π 2 - 1 cos u d u

= π sen u [ π / 2 1

= π sen π 2 - sen 1

= π 1 - sen 1

Esse é nosso volume!

Resposta

V = π 1 - sen 1   u n i d a d e s   d e   v o l .

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2014.2 - 4 bc

Considere a região R delimitada pela parábola y = x 2 + 2 x - 4 e pela reta y = - 1 .

  ( b ) Considere S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta x = 2 . Escreva uma integral que calcule o volume de S .

( c ) Calcule o Volume de S .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar fazendo o gráfico dessa parábola

Temos que a expressão da parábola pode ser melhor aberta por:

x 2 + 2 x - 4 = x + 1 + 5 x + 1 - 5

As raízes serão, para facilitar no seu desenho, aproximadamente - 3,1 e 1,1 :

Lembrando que esse é apenas um esboço para dar uma noção geral.

Passo 2

Agora temos a área com o eixo de rotação para o volume

O método mais prático de fazer esse cálculo é através de cascas cilíndricas. Nesse caso, podemos dizer que a altura do cilindro será a distância da parábola até y = - 1 , ou seja

- 1 - x 2 + 2 x - 4

Para o raio, temos que ele valerá a distância horizontal de um ponto ( x , y ) qualquer até um ponto na reta x = 2 na mesma altura, ou seja, será a seguinte diferença:

2 - x

Assim, nossa integral, que se estende no intervalo dos dois pontos onde y = - 1 encontra y = x 2 + 2 x - 4 :

x 2 + 2 x - 4 = - 1

x 2 + 2 x - 3 = 0

x + 3 x - 1 = 0

x = - 3 ; x = 1

Terá sua integral dada por:

V = - 3 1 2 π 2 - x - 1 - x 2 + 2 x - 4 d x

Passo 3

Agora é só resolver:

V = - 3 1 2 π 2 - x - x 2 - 2 x + 3 d x

= - 3 1 2 π x 3 - 7 x + 6 d x

= 2 π x 4 4 - 7 x 2 2 + 6 x - 3 1

= 2 π 1 4 4 - 7 ( 1 2 ) 2 + 6 ( 1 ) - - 3 4 4 - 7 - 3 2 2 + 6 ( - 3 )

= 2 π 1 4 - 7 2 + 6 - 81 4 - 63 2 - 18

= 2 π - 20 + 28 + 24

= 2 π 32

= 64 π

Resposta

b   V = - 3 1 2 π 2 - x - 1 - x 2 + 2 x - 4 d x

c   V = 64 π

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2013.1 – 3

Seja D a região situada entre as curvas y = 1 12 , x = 1 , x = 3 e y = 1 x + x 3 . Calcule o volume do sólido S obtido fazendo girar a região D em torno do eixo y .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O chato dessa questão é conseguir visualizar. Vamos fazer um esboço para nos orientar. Como sabemos que o polinômio x + x 3 é crescente para todo o x , podemos ver que:

y = 1 x + x 3

Deve ser decrescente para todo x , excluindo x = 0 onde não está definido. Além disso temos:

y 1 = 1 2 > 1 12

y 3 = 1 4 3 > 1 12

Passo 2

Portanto podemos esboçar:

Agora podemos fazer a fórmula de cascas cilíndricas:

V = 1 3 2 π R f x d x

Onde R é a distância de um ponto arbitrário no eixo O x até o eixo de giro. No caso a distância é simplesmente x :

R = x

Passo 3

A função f ( x ) é a altura do gráfico. Como a região D só considera a parte do gráfico acima de y = 1 / 12 , nossa f ( x ) é:

f x = 1 x + x 3 - 1 12

Logo:

V = 2 π 1 3 x 1 x + x 3 - 1 12 d x

Passo 4

Fazendo a distributiva da integral:

V = 2 π 1 3 1 1 + x 2 d x - 1 12 1 3 x d x

Integramos:

V = 2 π a r c t g x 1 3 - x 2 24 1 3

Por fim, substituímos os valores:

V = 2 π π 3 - π 4 - 1 24 3 - 1

V = π 2 - π 6

Resposta

π 2 - π 6

Exercício Resolvido #5

Enunciado

USP - Cálculo 1 - P3 2012 - 2 B

Seja R a região compreendida entre os gráficos de f x = 18 9 + x 2 e g x = x 3 para x   ϵ   [ 0,3 ] , como mostra a figura abaixo:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno de O y .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Giramos em torno do eixo y . Vou tentar a integral por cascas cilíndricas, para não ter o trabalho de ter que inverter as funções e os limites de integração. Se fizermos assim, nós ficaremos com o volume sendo a rotação do gráfico azul menos a do gráfico vermelho em torno do eixo y :

a b 2 π x f x d x - a b 2 π x g x d x

Os limites de integração são os mesmos, assim como as funções:

V = 0 3 2 π x 18 9 + x 2 d x - 0 3 2 π x x 3 d x

= 2 π 0 3 18 x 9 + x 2 d x - 2 π 0 3 x 2 3 d x

O primeiro termo da integral pode sofrer a seguinte substituição para ser resolvido:

u = 9 + x 2 d u = 2 x   d x

2 π 0 3 18 x 9 + x 2 d x = 2 π 0 3 9 d u u

= 2 π 9 ln u

= 2 π 9 ln 9 + x 2

Passo 2

Assim, sendo a outra integral a de um polinômio normal, ficamos assim:

2 π 0 3 18 x 9 + x 2 - x 2 3 d x

= 2 π 9 ln 9 + x 2 - x 3 9 [ 3 0

= 2 π 9 ln 9 + 9 - 27 9 - 2 π 9 ln 9 - 0 9

= 2 π 9 ln 18 - 9 ln 9 - 3

= 2 π 9 ln 9 + 9 ln 2 - 9 ln 9 - 3

= 6 π 3 ln 2 - 1

Resposta

V = 6 π 3 ln 2 - 1   u . v .

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