Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

Resumo Completo

Método dos Discos

Usamos esse método pra calcular o volume de sólidos obtidos pela rotação de alguma figura em torno de um eixo (os famosos sólidos de revolução).

Rodando em torno do eixo x

Seja uma função f ( x ) contínua em a , b .

Vamos considerar a região limitada pelo gráfico y = f x e pelas retas x = a e x = b .

O volume do sólido de revolução obtido pela rotação dessa região em torno do eixo x é:

V = a b π   f x 2 d x

Isso vem da fórmula da área de um disco com raio f x , reparou?

A = π R 2 = π f x 2

Enfim, vejamos um exemplo.

Vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pela curva y = x 2 , pelas retas x = 1 e x = 2 .

Basta aplicar a fórmula:

V = 1 2 π x 2 2 d x   = 1 2 π   x 4 d x  

V = π x 5 5 1 2 = 31 5 π

Rodando em torno de uma reta paralela ao eixo x

Nesse caso o raio não é mais f ( x ) porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância da curva até essa reta.

O volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R em torno da reta y = L é dado por:

V = a b π R 2 d x = a b π f x - L 2 d x

Essa é a única diferença, o resto é só integrar igual!

Rodando em torno do eixo y

Pra rotações em torno do eixo y a fórmula fica no mesmo formato:

V = a b π   f y 2 d y

Vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo y da região limitada pela curva y = f x = ln x , pelas retas x = 0 e y = 0 e y = 1 .

Repara que temos y = f x , mas na fórmula precisamos de um f y . Então temos que escrever x em função de y :

y = ln x

e y = e ln x

x = e y

Show? Agora sim é só partir pro abraço!

V = 0 1 π e y 2 d y   = 0 1 π   e 2 y d y  

V = π e 2 y 2 0 1

V = π 2 e 2 - 1

Então fica a dica: às vezes você vai ter que reescrever a função antes de aplicar a fórmula. Agora vamos ver uns exercícios!

Método dos Anéis

A ideia desse método é bastante semelhante à ideia do método do disco. A diferença é que o método dos anéis é utilizado para quando giramos uma região limitada por duas curvas em torno de um eixo, ao invés de girarmos uma curva.

O eixo x não é mais a fronteira da região que estou girando. Nesse caso, sempre haverá uma diferença de volumes. Complicou???? Nããão! Vamos lá!

Rotação em torno do eixo x

É um sólido com um buraco no meio. Nesse caso, sempre haverá uma diferença de volumes. O volume será dado pela diferença entre o volume da região maior e o volume da região menor. Basta descobrir os dois raios: o raio externo ( R E ) e o raio interno ( R I ) .

No caso em que estou simplesmente girando em torno do eixo x , o raio externo será a função que está acima, no caso da figura, f ( x ) e o raio interno a função que está abaixo. No caso da figura, g ( x ) .

V = a b π R E 2 - π   R I 2   d x

V = a b π f x 2 - π g x 2 d x

Exemplo: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = e x   e y = x e pelas retas x = 0 e x = 2 .

V = 0 2 π R E 2 - π   R I 2   d x

V = 0 2 π e x 2 - x 2 d x

V = π 0 2 e 2 x - x 2 d x = π e 4 2 - 8 3 - 1 2   u . v .

Rotação em torno de uma reta paralela ao eixo x

Nesse caso, essa reta y = L   passa a ser o eixo de revolução. Aí os raios externo e interno não são mais f ( x ) e g ( x ) porque a distância ao eixo de revolução passa a ser a distância de cada curva até essa reta y = L . O que temos é o seguinte:

R E = f x - L

R I = g x - L

V = a b π R E 2 - π   R I 2   d x

V = a b π f x - L 2 - g x - L 2 d x

Rotação em torno do eixo y

Nesse caso, a única coisa que muda é que ambas as funções têm que estar definidas em função da variável y . Assim como no caso de volume de um sólido gerado pela rotação de uma região limitada por uma curva e o eixo, a variável independente tem que ser a mesma do eixo em relação em torno do qual faço a rotação.

V = a b A ( y ) d y = a b π f y 2 - π g y 2 d y

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de

y = e x ,       y = 0 ,       x = 0 ,       x = 1

Em torno do eixo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos esboçar isso aí antes de tudo. Vou traçar primeiro y = 0 , x = 0 e x = 1 , que são mais simples de serem desenhados. Aí substiuirei y = e x quando x = 0 e x = 1 .

e 0 = 1   ; e 1 = e

O gráfico ficará assim:

Aquele A ali representa a área que eu vou girar em torno do eixo x .

Bom, o raio de rotação da figura será y = e x , nesse caso. Então a integral a ser feita vai ser:

V = a b π f x 2 d x = 0 1 π e x 2 d x = π 0 1 e 2 x d x

Passo 2

Integrando essa moleza aí:

π 0 1 e 2 x d x = π e 2 x 2 [ 1 0 = π e 2 1 2 - π e 2 0 2 = π 2 ( e 2 - 1 )

E é isso, pessoal.

Resposta

V = π 2 ( e 2 - 1 )

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFF - Cálculo IIA – GMA – 2008.2 – Lista 6 – 15

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x , pelo método que achar mais conveniente.

R : y = x 4 + 1 s e - 4 x < 0 y = 1 - x 2 s e 0 x < 1 y = 0 s e 1 x 4

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Essa região na verdade são 3 regiões, cada uma com sua função. Vamos separar em 3 partes.

R 1 : - 4 x < 0

R 2 : 0 x 1

R 3 : 1 x 4

E calcular cada volume separado. Vamos ver R

A grande dúvida aqui é qual dos métodos usar. Em todas as regiões temos f x , ou seja, uma função de x que gira em torno do eixo x . Então, vamos usar o método dos discos circulares.

V = a b π f x 2 d x

Passo 2

Vamos começar pela região R 1 , os limite são os valores do intervalo, nesse caso - 4 e 0

V 1 = a b π f x 2 d x = - 4 0 π x 4 + 1 2 d x

V 1 = π - 4 0 x 2 16 + 2 x 4 + 1 d x = π x 3 16.3 + x 2 2.2 + x - 4 0 = π 0 - π - 4 3 48 + - 4 2 4 + - 4

V 1 = 0 - π - 4 3 + 4 - 4 = 4 π 3

Passo 3

Vamos para a região R 2 , os limite são os valores do intervalo, nesse caso 0 e 1

V 1 = a b π f x 2 d x = 0 1 π 1 - x 2 2 d x

V 2 = π 0 1 1 - x 2 d x = π x - x 3 3 0 1 = π 1 - 1 3 - π 0

V 2 = π 2 3 - 0 = 2 π 3

Passo 4

O volume da terceira região vai ser zero, porque a função é y = 0 , não tem nada para rotacionar aí

V 3 = 0

Passo 5

Então o volume total vai ser

V = V 1 + V 2 + V 3

V = 4 π 3 + 2 π 3 + 0 = 6 π 3 = 2 π

Resposta

V = 2 π

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2013.1 – 3b

Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta y = - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar vendo como fica o gráfico dessa função, temos uma parábola com o coeficiente de x 2 negativo. Além disso, as raízes vão ser

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

A parábola vai ser

Mas ele só quer de 0 à 2 , então vamos ter

Passo 2

Para calcularmos o volume temos que entender que estamos com duas funções ali, uma que é

y = 4 - x 2

E outra que é

y = 0

E vamos rotacionar essa área ao redor da reta y = - 1

Vamos ver um desenho para nos ajudar

Vamos ver a fórmula para o cálculo de cada um dos volumes, como vamos rodar em torno de um eixo paralelo ao eixo x vamos achar A x .

Primeiro da parábola em azul, a área vai ser

A x = π f x - - 1 2 = π 4 - x 2 - - 1 2

Colocamos aquele - 1 porque estamos rotando em torno dele.

A x = π 5 - x 2 2

O seu volume vai ficar

V 1 = 0 2 π 5 - x 2 2 d x = π 0 2 25 - 10 x 2 + x 4 d x = π 25 x - 10 x 3 3 + x 5 5 x = 0 2

V 1 = π 25.2 - 10 . 2 3 3 + 2 5 5 - 25.0 - 10 . 0 3 3 + 0 5 5 = π 50 - 80 3 + 32 5 =

V 1 = π 750 - 400 + 96 15 = 446 π 15

Passo 3

Vamos ao cálculo do outro volume, que é a rotação da reta verde.

A área vai ser

A x = π f x - - 1 2 = π 0 - - 1 2

Colocamos aquele - 1 porque estamos rotando em torno dele.

A x = π 1 2 = π

O volume vai ficar

V 2 = 0 2 π d x = π x x = 0 2 = π 2 = 2 π

Passo 4

O volume total vai ser

V = V 1 - V 2

Isso porque o volume de rotação da reta verde vai ser vazio.

V = 446 π 15 - 2 π = 446 π - 30 π 15 = 416 π 15

Resposta

V = 416 π 15

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UERJ - Cálculo 2 - Lista de Integrais Professora Renata- 34e

Seja R a região limitada pela curva y = x 3 e pelas retas y = 8 e x = 0 . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno, do eixo x = - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro eu preciso desenhar a região:

Repara que a área que eu estou trabalhando é essa entre o vermelho, o pontilhado do nível 8 e o eixo y . Bom, como vou integrar em y , preciso da minha função em y :

y = x 3 x = y 3

Agora integro no formato da integral para seções transversais. Repara só em uma coisa, minha função raio será a própria função + 1 , já que o eixo de rotação dista 1 do eixo y :

V = a b π f y 2 d y = 0 8 π y 1 3 + 1 2 d y

= π 0 8 y 2 3 + 2 y 1 3 + 1 d y = π y 5 3 5 3 + 2 y 4 3 4 3 + y 0 8 = π 8 5 3 5 3 + 2 8 4 3 4 3 + 8

= π 96 5 + 96 4 + 8 = π 1024 20 = 256 π 5

E aí, acabou? Não, é essencial que você não esqueça que entre o eixo y e o de rotação fica um vácuo que você precisa levar em conta. Ele vai gerar um cilindro de raio 1 e altura 8 , ou seja:

V c i l = π r 2 h = 8 π

O volume total da figura, então, é:

256 π 5 - 8 π = 216 π 5

Resposta

V = 216 π 5

Exercício Resolvido #5

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo 1 - P3 2010.2 – 3

Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo- x , da região limitada pelo gráfico de f x = x 2 e g x = 2 - x 2 no intervalo x   [ - 1,1 ] .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar desenhando essa região, sendo que uma parábola tem boca para cima e seu vértice na origem e a outra tem boca para baixo e vértice em ( 0,2 ) :

Eu aproveitei e já marquei o intervalo de x bem onde as parábolas se encontram, repara aqui:

f x = g x x 2 = 2 - x 2

2 x 2 = 2

x 2 = 1

x = ± 1

Legal até aí.

Passo 2

Agora a questão é ver como faremos essa diferença de rotações. Repara que na região delimitada em relação ao eixo de rotação, que é o eixo x , a que está mais afastada é a parábola azul, ou seja, g x = 2 - x 2 . A mais próxima é a vermelha, f x = x 2 . Resumindo a brincadeira, vamos fazer a diferença da rotação da mais externa com a mais interna. Ficará assim, usando a fórmula de seções transversais:

V = - 1 1 π g x 2 d x - - 1 1 π f x 2 d x

= - 1 1 π [ 2 - x 2 2 - x 2 2 ] d x

= - 1 1 π 4 - 4 x 2 d x

= π 4 x - 4 x 3 3 [ 1 - 1

= π 4 1 - 4 1 3 3 - 4 - 1 - 4 - 1 3 3

= π 4 - 4 3 + 4 - 4 3

= π 16 3

= 16 π 3

Resposta

V = 16 π 3

Exercício Resolvido #6

Enunciado

USP - Cálculo 1 - P3 2011.1 – 2

Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = 9 , da região

A = { ( x , y ) R 2   : y x 2 , y x - 3 2 , y x + 3 2 }

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos começar desenhando a região e tentando definir de que área ele está tratando:

Bom, se você for procurar entender o espaço onde y x 2 e y x - 3 2 , y x + 3 2 , ficaríamos com a região dentro do vermelho (acima da linha vermelha) e abaixo da azul:

Essa região em verde é a que procuramos. Se trabalharmos as igualdades da parte vermelha com a parte azul da direita temos

x 2 = x - 3 2

E achamos

x = 3 2

Se fizermos a outra igualdade, dessa vez da vermelha com a parte azul da esquerda temos

x 2 = x + 3 2

E achamos

x = - 3 2

A região que está girando vai ser separada em duas parte, uma a direita do eixo y e uma a esquerda do eixo y . A da direita vai ser o giro do x 2 menos o do x + 3 2 no eixo y = 9 , onde vamos ter x indo de - 3 / 2 à 0 .

A partira daí fazemos, no mesmo eixo, giro do x 2 menos o do x - 3 2 , com x entre 0 e 3 / 2 . Podemos então armar a operação:

V = - 3 / 2 0 π x 2 - 9 2 d x - - 3 / 2 0 π x + 3 2 - 9 2 d x + 0 3 / 2 π x 2 - 9 2 d x - 0 3 / 2 π x - 3 2 - 9 2 d x

Por simetria, podemos calcular só de um lado e multiplicar por 2 , ou seja:

V = 2 0 3 2 π x 2 - 9 2 d x - 0 3 2 π x - 3 2 - 9 2 d x

= 2 π 0 3 2 x 2 - 9 2 - x - 3 2 - 9 2 d x

= 2 π 0 3 2 x 2 - 9 2 - x 2 - 6 x 2 d x

= 2 π 0 3 2 x 4 - 18 x 2 + 81 - ( x 4 - 12 x 3 + 36 x 2 ) d x

= 2 π 0 3 2 12 x 3 - 54 x 2 + 81 d x

= 2 π 3 x 4 - 18 x 3 + 81 x [ 3 / 2 0

= 2 π 3 3 2 4 - 18 3 2 3 + 81 3 2 - 3 0 4 - 18 0 3 + 81 0

= 2 π 1215 16 = 1215 π 8

Resposta

V = 1215 π 8

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de

y = x 2 ,       y = x  

Em torno de x = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro vou esboçar a região:

Bom, tenho que definir qual vai ser o meu raio de rotação nesse caso aí. Para o volume do sólido gerado na rotação do gráfico vermelho ( y = x ) , fica assim:

r = 2 - x = 2 - y 2  

Pois, se   x é a distância do eixo y até o gráfico e do eixo y até x = 2 a distância é 2 , vale essa relação. Para o azul y = x 2 a mesma coisa:

r = 2 - x = 2 - y

Assim, o volume será dado pela resolução da integral:

V = a b π { f y 2 - g y 2 } d y = 0 1 π { 2 - y 2 2 - 2 - y 2 } d y

Repara que com o giro em torno de uma reta paralela ao eixo y eu integro em y . Agora é conta.

Passo 2

0 1 π 2 - y 2 2 - 2 - y 2 d y = 0 1 π 4 - 4 y 2 + y 4 - 4 + 4 y - y d y

π - 4 y 3 3 + y 5 5 + 8 3 y 3 2 - y 2 2 0 1 = π - 4 3 + 1 5 + 8 3 - 1 2 = 31 π 30

Resposta

V = 31 π 30

Exercício Resolvido #8

Enunciado

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2010.1 – 5

Na figura abaixo, seja A o ponto de interseção da curva y = e x 2 e a reta L , e seja B o vértice da parábola 4 y = x - 2 2 . Suponha que a reta L passa pelos pontos A e B .

Calcule o volume gerado pela rotação da região sombreada S em torno do eixo- y .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos o esboço da região S a ser rotacionada em torno de y , mas não temos a função da reta L . Logo, isso é a primeira coisa que temos que achar.

A equação genérica da reta é dada por y = a x + b . Temos dois pontos pertencentes a reta e, tcharan(!), uma reta é definida por dois pontos. Logo, é só substituirmos o x e y pelas coordenadas dos pontos para acharmos a reta.

Depois, iremos calcular o volume de revolução. Repare que vamos ter que dividir a área em duas. Além disso, como queremos rotacionar em torno de y , vamos usar as funções em função de y e não de x . Assim:

a b π r direita 2 - π r esquerda 2 d y

Passo 2

Achando as coordenadas de A :

x A = 1 y A = e x A 2 = e

A : ( 1 , e )

Achando as coordenadas de B :

y B = 0 4 y B = x B - 2 2 x B - 2 = 0 x B = 2

B : ( 2,0 )

Achando a equação da reta L :

y A = a x A + b e = a + b       ( 1 )

y B = a x B + b 0 = 2 a + b       ( 2 )

Fazendo 2 - ( 1 ) :

a = - e b = 2 e

Logo:

L   : y = - e x + 2 e

Passo 3

Colocando as funções em função de y :

y = e x 2 ln y = x 2 ln e x = ± ln y

4 y = x - 2 2 x = ± 2 y + 2

y = - e x + 2 e x = 2 e - y e

Como 0 x 2 , temos as seguintes curvas:

x = ln y ,   x = 2 - 2 y ,   x = 2 e - y e

Vamos dividir a região S em duas regiões da seguinte maneira:

Passo 4

Vamos calcular através de integrais:

S = S 1 + S 2

S 1 = 0 1 π 2 e - y e 2 - 2 - 2 y 2 d y =

= 0 1 π 4 e 2 - 4 e y + y 2 e 2 - 4 + 8 y - 4 y d y =

= 0 1 π - 4 ( 1 + e ) e y + 1 e 2 y 2 + 8 y 1 2 d y =

= π - 2 1 + e e y 2 + 1 3 e 2 y 3 + 16 3 y 3 2 0 1 =

= π - 2 1 + e e + 1 3 e 2 + 16 3 - π 0 = π - 2 e + 1 3 e 2 + 10 3

S 2 = 1 e π 2 e - y e 2 - ln y 2 d y =

= 1 e π 4 - 4 y e + y 2 e 2 - ln y d y =

= π 4 y - 2 e y 2 + 1 3 e 2 y 3 1 e - π 1 e ln y d y

Vamos calcular a integral do final pelo método da integração por partes (repare que aparece uma função logarítmica e um d y ).

u = ln y d u = 1 y d y d v = d y v = y

u d v = u v - v d u

ln y d y = y ln y - y 1 y d y = y ( ln y - 1 )

Substituindo em S 2 :

= π 4 y - 2 e y 2 + 1 3 e 2 y 3 - y ln y - 1 1 e =

= π 4 e - 2 e + e 3 - 0 - 4 - 2 e + 1 3 e 2 + 1 =

= π 7 e 3 - 5 + 2 e - 1 3 e 2

Calculando a área total:

S 1 + S 2 = π - 2 e + 1 3 e 2 + 10 3 + π 7 e 3 - 5 + 2 e - 1 3 e 2 =

= π - 5 3 + 7 e 3 = π 7 e - 5 3

Resposta

O volume é igual a

π 7 e - 5 3 .

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