Cálculo de Volume pelas Seções Transversais
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Então meus caros, já vimos como calcular volumes de sólidos de revolução. Parece que vimos tudo de volume mas pensa comigo: existe uma infinidade de outros tipos de sólidos que não são necessariamente sólidos de revolução!!! Saca só:
Já que é assim, vamos imaginar então uma situação bem maluca, mas que tem tudo a ver. Imagina que, por algum motivo qualquer, Pedro, um confeiteiro, resolveu fazer um bolo nesse formato:
Isso mesmo, uma pirâmide de base quadrada, o que certamente não é um sólido de revolução. Agora você, esperto que só, resolve pegar um pedacinho do bolo enquanto ele está fora. Mas um pedaço beeeeeeeeeeem pequenino mesmo. Então você resolve pegar seu sabre de luz ou faca, o que for mais prático pra você, e faz um corte paralelo a base e olha como sua fatia fica:
Oras, mas você cortou um pedaço pequeno até demais! Isso não mata fome de ninguém! Seu pedaço foi tão minúsculo que ele parece um prisma de base quadrada e de altura infinitesimal . Se você for calcular o volume que você comeu, como o volume de um prisma é área da base vezes altura, você terá:
Fome ainda? Não tem problema! O Pedro não chegou, dá pra roubar outro pedaço. Vai lá, corta de novo!
Opa, agora que você cortou mais em cima sua fatia ficou ainda menor! Isso aconteceu porque a área diminuiu. Se quisesse uma fatia maior era só pegar uma ainda mais embaixo. Que tal a própria base, que é logo a maior que você pode pegar?
Viu só o que aconteceu? Dependendo da altura que você fizer o corte da sua fatia, a área da base do prisma vai mudar! Oras, então isso quer dizer que é uma função de . Representamos isso da seguinte forma:
E portanto o volume da fatiazinha fica:
Como o Pedro ainda vai demorar pra voltar, porque não comer o bolo todo? Se eu somar os infinitos volumeszinhos das fatias, eu acho o volume inteiro do bolo, não é mesmo? Então:
Como a integral pode ser interpretada como uma soma de infinitas unidades, esse resultado pode ser escrito como:
E bem, o bolo tem que ter um volume definido! Então não dá pra usarmos integrais indefinidas, né não? Já que é assim, vai existir um intervalo ao longo do eixo no qual o sólido está definido. Portanto, fechamos a modelagem adicionando os limites de integração:
E isso meus caros é o método de cálculo de volumes por seções transversais! O truque vai estar em saber achar a expressão de , que varia em cada problema, e achar os limites de integração. Outros exemplos podem, ainda, ter a área variando com outros eixos, então cuidado na hora de montar a função da área, belê? Bom, como estamos falando da área da seção transversal, vamos tentar achar . Saca só a figura da base da pirâmide:
Como todo bom quadrado, a área da base vai ser:
Por convenção, vamos usar letras maiúsculas pra representar a base e letras minúsculas para representar o corte transversal, ok? Como o corte transversal também tem área quadrada, pra qualquer fatia feita a uma altura , a área da seção transversal vai ser:
Agora, dá uma olhada em como o nosso bolo fica se colocarmos algumas linhas nele:
Show, temos um eixo bem definido , da qual a área da seção transversal é dependente. Mas pera, não acabamos de escrever como uma função de ? Bem, como queremos pra podermos integrar, basta a gente escrever como uma função de e substituir na fórmula da área! Pra isso, dá pra gente fazer uma semelhança de triângulos:
Vamos ter:
E logo:
Como Pedro estava fazendo um bolo pra muita gente, ele resolveu que a altura do bolo e o lado da base iam ser iguais a . Sendo assim:
O volume da pirâmide vai ser:
Feshow então. Só pra fins comparativos, note que a fórmula direta, sem usar Cálculo, para o volume de uma pirâmide é:
E como:
O volume fica:
Que olha só! Não é que é a mesma coisa? Em resumo, podemos citar um passo a passo pra questões desse tipo:
- Escolher um eixo para fazer os cortes das seções transversais. Ex:
- Identificar a geometria da seção transversal e encontrar sua área. Ex:
- Relacionar variáveis da fórmula da área da seção transversal com o eixo escolhido. Ex:
- Encontrar sobre o eixo escolhido os valores no qual o sólido está definido, isto é, encontrar os limites de integração. Ex:
- Integrar:
Agora é exercitar! Mãos a obra!