Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Resumo Completo

Provavelmente você não sabe calcular o volume desse sólido (rosa) acima. Vamos dar ferramentas para você conseguir fazer isso.

Imagina que você tem um serrote, ou um facão, ou uma espada, ou uma serra elétrica, ou... Bem... Imagina que você corte esse sólido perpendicularmente ao eixo x . Você vai encontrar uma seção transversal (na figura, a área azul, por exemplo).

Essa seção transversal tem uma área A ( x ) (está em função de x porque a área da seção vai ser diferente dependendo em que ponto do eixo x você fizer o corte). Se essa seção é muuuuito fina, no limite de tão fina que ela é, ela vai ter uma espessura d x . Portanto, o volume dessa seção é:

A x d x

Se integrarmos de a até b , teremos o volume do sólido no intervalo a , b . Assim:

V = a b A ( x ) d x

Vamos usar como exemplo, o volume de um cilindro reto com altura h e raio r .

Nesse sólido:

A x = π r 2   ( área do círculo )

V = 0 h π r 2 d x = π r 2 x 0 h   = π r 2 h - π r 2 0 =

= π r 2 h

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.1 – 3

Considere um sólido com base circular de raio 2 . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base são triangulares. Triângulos estes, isósceles com medidas de base e altura iguais. Encontre o volume deste sólido.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para fazermos esse volume vamos tentar achar uma equação para essas áreas transversais, vamos dar uma interpretada gostosa no enunciado primeiro.

Ele disse que a base é um círculo de raio 2 , a equação da base vai ser

x 2 + y 2 = 4

A parte confusa a vera aqui é essa história de secções transversais paralelas, perpendiculares à base. Isso nada mais é que se cortarmos a base, perpendicularmente esse sólido, vamos encontrar triângulos isósceles.

A ideia é mais ou menos assim

Aqui cortamos em um x qualquer. Se cortarmos em um y , mantendo paralelo ao eixo x a base vai ser 2 x , meio louco isso né? Vamos olhar para a circunferência.

Essa linha vermelha é a base do triângulo que ele disse. Para cada valor de y vamos ter uma área diferente, então podemos perceber que

A y = á r e a   d o   t r i â n g u l o

Mas a área do triângulo é base vezes altura sobre 2 , como a base e altura são iguais vamos ter

A y = 2 x . 2 x 2 = 4 x 2 2 = 2 x 2

Mas queremos uma função de y , então vamos usar a equação da circunferência da base que relaciona x e y

x 2 + y 2 = 4

x 2 = 4 - y 2

A y = 2 4 - y 2

O valor de y vai da parte de baixo da circunferência até a parte de cima, ou seja, vai de - 2 até 2

Passo 2

Agora vamos fazer a integral do volume, temos a fórmula da área da secção transversal, e seu limites, a integral vai ser

V = - 2 2 A y d y

V = - 2 2 2 4 - y 2 d y = - 2 2 8 - 2 y 2 d y = 8 y - 2 y 3 3 x = - 2 2

V = 8.2 - 2 . 2 3 3 - 8 - 2 - 2 - 2 3 3 = 16 - 16 3 - - 16 + 16 3

V = 48 - 16 3 - - 48 + 16 3 = 32 3 - - 32 3 = 32 3 + 32 3

V = 64 3

Resposta

V = 64 3

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 a – 3

Encontre o volume do sólido S cuja base é a região parabólica

S = { ( x , y ) | x 2 y 1 }

e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vou tentar esboçar o que está acontecendo aí. É meio estranho mas vou explicar:

Eu tentei indicar todas as retas ali com as condições sobre os pontos onde elas passam. Fica confuso, mas eu explico vamos lá: originalmente no plano x y nós só teríamos que nos concentrar nessa região S hachurada em azul claro entre o gráfico vermelho ( x 2 ) e a reta ( y = 1 , z = 0 ) . Ok, aí ele pega, e estica isso, mantendo a mesma seção transversal (é como um prisma, saca?), que é, nesse caso, uma seção em forma da região S , indo até aquele formato que botei em azul escuro, ok?

Passo 2

Bom, ele diz que as seção transversal perpendicular, ou seja, A , é quadrada. Logo, dessa informação podemos retirar a altura do prisma. Logo, temos que o volume do prisma será:

V = h . ( S )

S podemos achar por essa integral:

Passo 3

Vamos fazer essa integral

a b L - f x d x = a b 1 - x 2 d x

Onde a e b são as interseções de x 2 com 1 .

x 2 = 1 x = ± 1

S = - 1 1 1 - x 2 d x = x - x 3 3 [ 1 - 1

= 2 3 - - 2 3 = 4 3

Sabendo que os dois lados de A são iguais, h será igual ao lado que vai de uma interseção do x 2 com o 1 até a outra, ou seja:

h = 1 - - 1 = 2

Assim, achamos o volume:

V = h . S = 2 4 3 = 8 3

Resposta

V = 8 3 u . v .

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