Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Teoria Completa

Então meus caros, já vimos como calcular volumes de sólidos de revolução. Parece que vimos tudo de volume mas pensa comigo: existe uma infinidade de outros tipos de sólidos que não são necessariamente sólidos de revolução!!! Saca só:

Já que é assim, vamos imaginar então uma situação bem maluca, mas que tem tudo a ver. Imagina que, por algum motivo qualquer, Pedro, um confeiteiro, resolveu fazer um bolo nesse formato:

Isso mesmo, uma pirâmide de base quadrada, o que certamente não é um sólido de revolução. Agora você, esperto que só, resolve pegar um pedacinho do bolo enquanto ele está fora. Mas um pedaço beeeeeeeeeeem pequenino mesmo. Então você resolve pegar seu sabre de luz ou faca, o que for mais prático pra você, e faz um corte paralelo a base e olha como sua fatia fica:

Oras, mas você cortou um pedaço pequeno até demais! Isso não mata fome de ninguém! Seu pedaço foi tão minúsculo que ele parece um prisma de base quadrada e de altura infinitesimal d z . Se você for calcular o volume que você comeu, como o volume de um prisma é área da base vezes altura, você terá:

d V = A   d z

Fome ainda? Não tem problema! O Pedro não chegou, dá pra roubar outro pedaço. Vai lá, corta de novo!

Opa, agora que você cortou mais em cima sua fatia ficou ainda menor! Isso aconteceu porque a área diminuiu. Se quisesse uma fatia maior era só pegar uma ainda mais embaixo. Que tal a própria base, que é logo a maior que você pode pegar?

Viu só o que aconteceu? Dependendo da altura z que você fizer o corte da sua fatia, a área da base do prisma vai mudar! Oras, então isso quer dizer que A é uma função de z . Representamos isso da seguinte forma:

A = A z

E portanto o volume da fatiazinha fica:

d V = A z   d z

Como o Pedro ainda vai demorar pra voltar, porque não comer o bolo todo? Se eu somar os infinitos volumeszinhos das fatias, eu acho o volume inteiro do bolo, não é mesmo? Então:

V = ∑ d V

Como a integral pode ser interpretada como uma soma de infinitas unidades, esse resultado pode ser escrito como:

V = ∫ A z   d z

E bem, o bolo tem que ter um volume definido! Então não dá pra usarmos integrais indefinidas, né não? Já que é assim, vai existir um intervalo ao longo do eixo z no qual o sólido está definido. Portanto, fechamos a modelagem adicionando os limites de integração:

V = ∫ a b A z   d z

E isso meus caros é o método de cálculo de volumes por seções transversais! O truque vai estar em saber achar a expressão de A = A z , que varia em cada problema, e achar os limites de integração. Outros exemplos podem, ainda, ter a área variando com outros eixos, então cuidado na hora de montar a função da área, belê? Bom, como estamos falando da área da seção transversal, vamos tentar achar A z . Saca só a figura da base da pirâmide:

Como todo bom quadrado, a área da base vai ser:

A = L 2

Por convenção, vamos usar letras maiúsculas pra representar a base e letras minúsculas para representar o corte transversal, ok? Como o corte transversal também tem área quadrada, pra qualquer fatia feita a uma altura z , a área da seção transversal vai ser:

A = l 2

Agora, dá uma olhada em como o nosso bolo fica se colocarmos algumas linhas nele:

Show, temos um eixo bem definido Z , da qual a área da seção transversal é dependente. Mas pera, não acabamos de escrever A como uma função de l ? Bem, como queremos A = A z pra podermos integrar, basta a gente escrever l como uma função de z e substituir na fórmula da área! Pra isso, dá pra gente fazer uma semelhança de triângulos:

Vamos ter:

l 2 2 L 2 2 = z H

E logo:

l = z . L H

Como Pedro estava fazendo um bolo pra muita gente, ele resolveu que a altura H do bolo e o lado da base L iam ser iguais a 2 m . Sendo assim:

l = z

A = l 2 = z 2

O volume da pirâmide vai ser:

V = ∫ a b A z   d z = ∫ 0 H A z   d z = ∫ 0 2 z 2   d z

V = z 3 3 z = 0 z = 2 = 2 3 3 - 0 3 3

V = 8 3

Feshow então. Só pra fins comparativos, note que a fórmula direta, sem usar Cálculo, para o volume de uma pirâmide é:

V = 1 3 ∙ A ∙ H

E como:

A = L 2 = 2 2 = 4

H = 2

O volume fica:

V = 1 3 ∙ 4 ∙ 2

V = 8 3

Que olha só! Não é que é a mesma coisa? Em resumo, podemos citar um passo a passo pra questões desse tipo:

  1. Escolher um eixo para fazer os cortes das seções transversais. Ex: E i x o   X
  2. Identificar a geometria da seção transversal e encontrar sua área. Ex: A
  3. Relacionar variáveis da fórmula da área da seção transversal com o eixo escolhido. Ex: A = A x
  4. Encontrar sobre o eixo escolhido os valores no qual o sólido está definido, isto é, encontrar os limites de integração. Ex: a , b
  5. Integrar: V = ∫ a b A x d x

Agora é exercitar! Mãos a obra!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Calcule o volume do sólido de revolução abaixo usando Cálculo de Volumes por Seções Transversais. O sólido foi feito girando a curva y = f x = x em torno do eixo x .

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Passo 1

Vamos lá! Pra começar, a gente tem que usar o método de cálculo que aprendemos de Cálculo de Volumes por Seções Transversais. Pra isso, vamos lembrar do passo a passo dele:

  1. Escolher um eixo para fazer os cortes das seções transversais. Ex: E i x o   X
  2. Identificar a geometria da seção transversal e encontrar sua área. Ex: A
  3. Relacionar variáveis da fórmula da área da seção transversal com o eixo escolhido. Ex: A = A x
  4. Encontrar sobre o eixo escolhido os valores no qual o sólido está definido, isto é, encontrar os limites de integração. Ex: a , b
  5. Integrar: V = ∫ a b A x d x

E olha só! O nosso sólido já nos dá algumas dicas! O eixo x mesmo tá cheio de círculos diferentes em alturas diferentes de x ! Então vou escolher ele mesmo e a minha área vai ser a área de um círculo. Por enquanto temos:

V = ∫ A   d x

A = π R 2

Passo 2

Show, agora pra fazer o terceiro passo, vamos ter que arranjar um jeito de escrever A como uma função de x . Bem, na equação da área de um círculo A = π R 2 , como π é uma constante, não vai ter jeito. Escreveremos A = A x da seguinte forma:

A x = π R x 2

Isso aiiiinda não diz muito pra gente pois não sabemos quem é R x . Mas relaxa gafanhoto, pq olhando novamente pra figura da pra pescarmos a ideia. Saca só:

E saca só aquela fatia ali em x = 4 . Pela figura conseguimos ver que o raio é a reta que sai do eixo x e toca a curva y = x , logo:

R = 4 - 0

R = 2 = f 4

Então está feito! Se em x = 4 temos R = f 4 o raio vai ter a seguinte fórmula:

R x = f x = x

E logo:

A x = π x 2

A x = π x

E ainda digo mais em! A imagem já mostra em que intervalos de x o sólido está definido! Então fechamos o passo 4 já que o sólido está definido entre 0 e 4 ao longo do eixo x e modelamos finalmente a expressão do nosso volume:

V = ∫ 0 4 π x   d x

Passo 3

Agora pra fechar com chave de ouro, só calcular o volume. Vamos ter:

V = ∫ 0 4 π x   d x

V = π x 2 2 x = 0 x = 4 = π 4 2 2 - 0 2 2

V = π 16 2

V = 8 π       u . v

Resposta

V = 8 π       u . v

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Deduza o volume de uma esfera usando Cálculo de Volumes por Seções Transversais.

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Passo 1

Partiu então. Pra começar, vamos das uma olhada na esfera num ambiente 3D:

Beleza. Pela simetria então dessa esfera linda aí de cima, qualquer corte transversal perpendicular aos eixos resultará em um círculo. Se fizermos então perpendicular ao eixo x vamos ter:

E somando as áreas dos infinitos círculos que podemos tirar com esse fatiamento, usamos a integral e achamos o volume da esfera:

V = ∫ a b A d x

Show, mas vamos modelar isso um pouco melhor. Veja, como a esfera está centrada na origem, em todos os eixos, ela está delimitada entre – R e R . Pô, maravilha, então já sei os limites de integração:

V = ∫ - R R A   d x

E como todas as seções transversais são círculos a área deles vai ser:

A = π r 2

E logo:

V = ∫ - R R π r 2   d x

O que falta agora vai ser achar uma expressão r = r x pra essa integral ficar certinha e conseguirmos integrar. Bora lá então.

Passo 2

Agora pra pensar em como escrever o raio da seção transversal em função de x , vamos olhar de novo pro corte que fizemos:

Note o seguinte, o raio do corte transversal lá de trás é maior que o corte transversal da frete! Só ver pela linha verde. Então de fato, a posição x do corte determina o tamanho do raio. No plano X Y podemos ver então os diferentes raios com diferentes tamanhos dependendo do corte:

Mas olha que bacana: todos eles saem do eixo x e tocam na circunferência! Isso quer dizer que o tamanho deles é:

r = y - 0

r = y

Como a equação da circunferência é:

x 2 + y 2 = R 2

Isolamos o y e ficamos com:

y 2 = R 2 - x 2

Como a integral era:

V = ∫ - R R π r 2   d x

Modificamos ela pra:

V = ∫ - R R π r 2   d x = ∫ - R R π y 2   d x

V = ∫ - R R π R 2 - x 2   d x

E agora sim da pra integrar!

Passo 3

Integrando então:

V = ∫ - R R π R 2 - x 2   d x

V = π R 2 x - x 3 3 x = - R x = R = π 3 R 2 x - x 3 3 x = - R x = R

V = π 3 R 3 - R 3 3 - - 3 R 3 + R 3 3

V = π 2 R 3 3 - - 2 R 3 3

O que finalmente, resulta em:

V = π 2 R 3 3 + 2 R 3 3

V = 4 π R 3 3

Resposta

V = 4 π R 3 3

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Dexter estava tomando sorvete quando de repente sentiu uma vontade enorme de saber o volume da casquinha. Tendo ela 10   c m de altura e sendo composta por dois cone, um exterior com 3   c m de raio e outro interior com 2,5   c m de raio inscrito ao primeiro, ache o volume pro Dexter enquanto ele come.

Dica: o interior do cone menor é oco

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Passo 1

O primeiro passo é colocar em 3D essa brincadeira pra entender melhor:

Ok, tá, isso não ajuda muito. Talvez com eixos fique melhor:

Beleza, já que o interior do cone menor é oco, a gente pode entender o volume da casquinha como o volume do cone maior menos o volume do cone menor. Vamos ter então:

V = V m a i o r - V m e n o r

Passo 2

Bem, como são dois cones, vamos primeiro fazer de forma literal e depois trocar os valores, ok? Note o seguinte, se fizermos cortes transversais perpendiculares ao eixo Z , acharemos sempre fatias circulares. Saca só essa fatia feito em determinada altura z :

Como as fatias são circulares, a gente tem uma área dada por:

A = π r 2

E somando os infinitos círculos que existem dentro desse cone pra diferentes alturas z que possamos escolher pra fazer a fatia, temos:

V = ∫ a b A   d z

Alguma simplificação a gente já consegue de cara fazer. Veja só, a pontinha do cone está na origem e o cone acaba exatamente numa altura igual sua própria altura h . Pô, então sabemos os limites de integração:

V = ∫ 0 h A   d z

E saca só, como fatias em alturas z diferentes dão círculos com áreas diferentes, temos então:

V = ∫ 0 h A z   d z = ∫ 0 h π r z 2   d z

Pra fechar com chave de ouro então, falta só modelar r z . Bora lá!

Passo 3

Nesse passo, vamos olhar de novo a mesma figura com mais calma:

Opa, temos dois triângulos semelhantes ai em! Fazendo semelhança de triângulos, tiramos:

z h = r R

E logo:

r z = z ∙ R h

O volume fica:

V = ∫ 0 h π r z 2   d z = ∫ 0 h π z ∙ R h 2   d z

V = π ∙ R 2 h 2 ∫ 0 h z 2   d z = π ∙ R 2 h 2 ∙ z 3 3 z = 0 z = h

V = π ∙ R 2 h 2 ∙ h 3 3 - 0 3 3 = π ∙ R 2 h 2 ∙ h 3 3

No final das contas, vamos ter: V = π ∙ R 2 ∙ h 3

Passo 4

Agora que achamos o volume de um cone de forma literal, como temos dois cones, basta aplicar! Pro cone maior, o raio era 3   c m e a altura era 10   c m . Logo:

V m a i o r = π ∙ 3 2 ∙ 10 3 = 90 π 3

E o cone menor tem a mesma altura em! O que muda é o raio que é de 2,5   c m . Seu volume vai ser:

V m e n o r = π ∙ 2,5 2 ∙ 10 3 = 62,5 π 3

E finalmente podemos dizer pro Dexter o volume do cone, que vai ser:

V = 90 π 3 - 62,5 π 3

V = 27 , 5 π 3   c m 3

Resposta

V = 27,5 π 3   c m 3

Exercício Resolvido #4

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.1 – 3

Considere um sólido com base circular de raio 2 . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base são triangulares. Triângulos estes, isósceles com medidas de base e altura iguais. Encontre o volume deste sólido.

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Passo 1

Para fazermos esse volume vamos tentar achar uma equação para essas áreas transversais, vamos dar uma interpretada gostosa no enunciado primeiro.

Ele disse que a base é um círculo de raio 2 , a equação da base vai ser

x 2 + y 2 = 4

A parte confusa a vera aqui é essa história de secções transversais paralelas, perpendiculares à base. Isso nada mais é que se cortarmos a base, perpendicularmente esse sólido, vamos encontrar triângulos isósceles.

A ideia é mais ou menos assim

Aqui cortamos em um x qualquer. Se cortarmos em um y , mantendo paralelo ao eixo x a base vai ser 2 x , meio louco isso né? Vamos olhar para a circunferência.

Essa linha vermelha é a base do triângulo que ele disse. Para cada valor de y vamos ter uma área diferente, então podemos perceber que

A y = á r e a   d o   t r i â n g u l o

Mas a área do triângulo é base vezes altura sobre 2 , como a base e altura são iguais vamos ter

A y = 2 x . 2 x 2 = 4 x 2 2 = 2 x 2

Mas queremos uma função de y , então vamos usar a equação da circunferência da base que relaciona x e y

x 2 + y 2 = 4

x 2 = 4 - y 2

A y = 2 4 - y 2

O valor de y vai da parte de baixo da circunferência até a parte de cima, ou seja, vai de - 2 até 2

Passo 2

Agora vamos fazer a integral do volume, temos a fórmula da área da secção transversal, e seu limites, a integral vai ser

V = ∫ - 2 2 A y d y

V = ∫ - 2 2 2 4 - y 2 d y = ∫ - 2 2 8 - 2 y 2 d y = 8 y - 2 y 3 3 x = - 2 2

V = 8.2 - 2 . 2 3 3 - 8 - 2 - 2 - 2 3 3 = 16 - 16 3 - - 16 + 16 3

V = 48 - 16 3 - - 48 + 16 3 = 32 3 - - 32 3 = 32 3 + 32 3

V = 64 3

Resposta

V = 64 3

Exercício Resolvido #5

UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 a – 3

Encontre o volume do sólido S cuja base é a região parabólica

S = { ( x , y ) | x 2 ≤ y ≤ 1 }

e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.

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Passo 1

Olha, a princípio essa questão parece meio doida visto que a única real informação é a região da base. Vamos começar trabalhando então com ela e depois interpretamos o resto, belê? Saca só, do enunciado e de S , podemos tirar:

y ≥ x 2 y ≤ 1

Agora temos como ver melhor o esboço. A região está de alguma forma delimitada pela parábola x 2 e pela constante 1 . No gráfico, isso fica:

Como a região que eu quero é a abaixo da constante e acima da curva, vamos ter a interseção entre as duas regiões:

O que dá:

Show, entendemos a região da base. Segura essa informação na cachola que vamos precisar dela nos próximos passos.

Passo 2

Agora a gente parte pra interpretação de texto. Olha o que o enunciado disse:

“ [ . . . ]   s e ç õ e s   t r a n s v e r s a i s   p e r p e n d i c u l a r e s   a o   e i x o   y   s ã o   q u a d r a d a s . ”

Então pra entender bem, vamos fazer vários cortes perpendiculares ao eixo y em S :

E saca só! Pra cada corte y , o comprimento C do segmento marcado vai ser do – x até o x correspondente aquela altura de corte y . Veja por exemplo o corte em y = 1 . Como y = x 2 temos:

y = 1 = x 2

x = ± 1

C = 1 - - 1 = 2

Agora vamos colocar isso em função de y uma vez que os cortes estão feitos ao longo desse eixo:

y = x 2

x = ± y

C = y - - y = 2 y

Ok, mas e daí? Onde que isso nos leva!? Oras meus caros! Esse comprimento que calculamos nada mais é do que o lado de um quadrado! Isso porque as seções transversais, segundo o enunciado, são quadradas. Como conhecemos áreas de quadrados, a área da seção transversal vai ser então:

A = A y = C 2 = 2 y 2 = 4 y

Maravilha, então conseguimos modelar   A y . E sabemos os limites de integração também porque eles são os valores de y que fecham a região da base do sólido: o limite inferior 0 e o limite superior 1 . Da formulinha de volume por seções traversais, temos:

V = ∫ 0 1 A y d y

V = ∫ 0 1 4 y d y = 2 y 2 y = 0 y = 1

V = 2   u . v

Resposta

V = 2   u . v

Exercício Resolvido #6

Lista Volume por Fatiamento – Q47- Calc II UFCG

Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pelas curvas y = x e y = x ² cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados

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Passo 1

Bem, a gente não tem e nem vai ter a cara dessa figura, infelizmente, pra ajudar a gente. Mas relaxa gafanhoto, ainda da pra se safar. Pra começar, vamos enxergar a base da figura. Pra saber em quais valores de x a região da base se fecha basta igualar:

y = x 2

y = x

E logo:

x 2 = x

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0

As soluções são então x = 0   e x = 1 . Show de bola. Como y = x 2 é uma parábola e y = x uma reta, o gráfico da região que representa a base vai ser:

Passo 2

Ok, beleza, temos a base. Mas como isso nos ajuda? Bem, da uma olhada numa informação crucial do exemplo:

“ . . .   c u j a s   s e ç õ e s   t r a n s v e r s a i s   p e r p e n d i c u l a r e s   a o   e i x o   x   s ã o   q u a d r a d o s . ”

Se as seções transversais são perpendiculares ao eixo x , no plano X Y , podemos marcar algumas retas representando diferentes cortes transversais:

E olha só! Como essas sessões são quadradas essas linhas vermelhas não só são as bases do corte transversal, mas também a altura! Como cada linha vermelha tem o tamanho:

l = x - x 2

E como a área de um quadrado é:

A = l 2

Vamos ter:

A = x - x 2 2

A x = x 4 - 2 x 3 + x 2