Valor Médio de uma Função
Teoria
Vamos ver aqui como faz pra calcular o valor médio de uma função num intervalo.
Bom, vamos por partes. Pensando primeiro numa função constante, é meio intuitivo que a média será o próprio valor :
Mas e se tivermos uma função como a da figura abaixo?
A ideia é a seguinte: pensa nisso aí em cima como a água em um tanque entre as paredes do tanque, representadas por e . Quando água balança, a altura varia a cada ponto, mas a média é a mesma, pois a quantidade de água dentro do tanque não muda.
Então podemos interpretar essa média como a área limitada pela função dividida pelo intervalo .
Falou em área, falou em integral! Por isso a fórmula:
Por exemplo, o valor médio da função seno no intervalo é:
Pronto! Vamos partir para os exercícios??
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 –1
Encontre o valor médio da função no intervalo dado
Passo 1
Queremos o valor médio da função no intervalo dado. Tudo o que temos que fazer é utilizar a formulazinha esperta para calcular o valor médio de uma função.
Resposta
Exercício Resolvido #2
James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 7
Encontre o valor médio da função no intervalo dado
Passo 1
Novamente, queremos o valor médio da função em dado intervalo. Vamos novamente aplicar a fórmula.
Passo 2
A integral
Sai pelo método da substituição simples:
Voltando para
Passo 3
Agora podemos substituir os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #3
James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 14
Encontre os valores de tais que o valor médio de no intervalo é igual a .
Passo 1
Esse exercício aqui é um pouquinho diferente. Ao invés de te pedir o valor médio da função em um intervalo definido, ele te dá a média e quer saber em qual intervalo a função tem aquele valor médio.
No fundo, vamos usar a mesma fórmula do valor médio. Só que nessa caso, já vamos ter o seu resultado. A gente vai resolver em , substituir como um dos limites de integração e nossa incógnita será Acompanha aqui comigo!
Sabemos que
Utilizando a famosa fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau acima:
As duas raízes são positivas, então as duas são válidas \o/
Resposta
Exercício Resolvido #4
James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 22
A velocidade do sangue que circula em uma veia com raio e comprimento a uma distância do eixo central é
Em que é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e é a viscosidade do sangue.
Encontre a velocidade média (em relação a ) no intervalo . Compare a velocidade média com a velocidade máxima.
Passo 1
Esse exercício pode assustar um pouco. Mas na verdade ele é igual aos outros. Ele está pedindo a média de uma função, só que a diferença é que está contextualizado, ou seja, ao invés de ser uma função qualquer em função de que ele inventou, é uma função que tem um significado físico.
Aquelas letras todas ali assustam, mas se você reparar, ele quer a média da função em função de no intervalo . A variável da função é e todas as outras letras são constantes. Olha só o que tenho que fazer:
Passo 2
Ele pede ainda para compararmos o valor médio da função no intervalo com seu valor máximo. A função é decrescente no intervalo , de modo que seu valor máximo nesse intervalo ocorre em . Em , a função vale:
Para compararmos a média com o valor máximo, fazemos:
Resposta
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