Valor Médio de uma Função

Teoria Completa

Vamos ver aqui como faz pra calcular o valor médio de uma função num intervalo.

Bom, vamos por partes. Pensando primeiro numa função constante, é meio intuitivo que a média será o próprio valor c :

Mas e se tivermos uma função como a da figura abaixo?

A ideia é a seguinte: pensa nisso aí em cima como a água em um tanque entre as paredes do tanque, representadas por x = a e x = b . Quando água balança, a altura varia a cada ponto, mas a média é a mesma, pois a quantidade de água dentro do tanque não muda.

Então podemos interpretar essa média como a área limitada pela função dividida pelo intervalo b - a .

Falou em área, falou em integral! Por isso a fórmula:

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   ∫ a b f x d x

Por exemplo, o valor médio da função seno no intervalo 0 , π   é:

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   ∫ 0 π s e n   x   d x = 1 π - cos ⁡ x 0 π

⇒ V a l o r   m é d i o = 2 π

Pronto! Vamos partir para os exercícios??

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 –1

Encontre o valor médio da função no intervalo dado

f x = 4 x - x 2 ,     0,4

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Passo 1

Queremos o valor médio da função no intervalo dado. Tudo o que temos que fazer é utilizar a formulazinha esperta para calcular o valor médio de uma função.

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   ∫ a b f x d x

V a l o r   m é d i o = 1 4 - 0   ∫ 0 4 4 x - x 2 d x

V a l o r   m é d i o = 1 4   4 x 2 2 - x 3 3 4 0

V a l o r   m é d i o = 1 4   4.16 2 - 64 3

V a l o r   m é d i o = 1 4   32 - 64 3 = 1 4 96 - 64 3

V a l o r   m é d i o = 8 3

Resposta

V a l o r   m é d i o = 8 3

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 7

Encontre o valor médio da função no intervalo dado

f x = cos 4 ⁡ x sen ⁡ x     [ 0 , π ]

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Passo 1

Novamente, queremos o valor médio da função em dado intervalo. Vamos novamente aplicar a fórmula.

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   ∫ a b h x d x

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   ∫ 0 π cos 4 ⁡ x   s e n   x d x

Passo 2

A integral

∫ cos 4 ⁡ x   s e n   x   d x

Sai pelo método da substituição simples:

u = c o s x → d u = - sen ⁡ x d x

s e n   x   d x =   - d u

∫ cos 4 ⁡ x   s e n   x   d x = ∫ - u 4   d u

= - u 5 5

Voltando para x :

∫ cos 4 ⁡ x   s e n   x   d x = - cos 5 ⁡ x 5

Passo 3

Agora podemos substituir os valores:

V a l o r   m é d i o = 1 π - 0   ∫ 0 π cos 4 ⁡ x   s e n   x d x

V a l o r   m é d i o = 1 π - cos 5 ⁡ x 5 π 0  

V a l o r   m é d i o = 1 π - cos 5 ⁡ x 5 π 0  

V a l o r   m é d i o = 1 π - - 1 5 5 - 1 5 5  

V a l o r   m é d i o = 1 π - - 1 5 - 1 5  

V a l o r   m é d i o = 2 5   π

Resposta

V a l o r   m é d i o = 2 5   π

Exercício Resolvido #3

James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 14

Encontre os valores de b tais que o valor médio de f x = 2 + 6 x - 3 x 2 no intervalo 0 , b é igual a 3 .

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Passo 1

Esse exercício aqui é um pouquinho diferente. Ao invés de te pedir o valor médio da função em um intervalo definido, ele te dá a média e quer saber em qual intervalo a função tem aquele valor médio.

No fundo, vamos usar a mesma fórmula do valor médio. Só que nessa caso, já vamos ter o seu resultado. A gente vai resolver em x , substituir b como um dos limites de integração e nossa incógnita será b . Acompanha aqui comigo!

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   ∫ a b h x d x

V a l o r   m é d i o = 1 b - 0   ∫ 0 b 2 + 6 x - 3 x 2 d x

V a l o r   m é d i o = 1 b - 0     2 x + 6 x 2 2 - 3 x 3 3 b 0

V a l o r   m é d i o = 1 b     2 x + 3 x 2 - x 3 b 0

Sabemos que v a l o r   m é d i o = 3

3 = 1 b     2 b + 3 b 2 - b 3

3 = 2 + 3 b - b 2

b 2 - 3 b - 2 =   - 3

b 2 - 3 b + 1 = 0

Utilizando a famosa fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau acima:

b = 3 ±   9 - 4 2 = 3 ± 5 2

As duas raízes são positivas, então as duas são válidas \o/

Resposta

b = 3 ± 5 2

Exercício Resolvido #4

James Stewart, Cálculo Volume I, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, pp 419 – 22

A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é

v r = P 2 η l R 2 - r 2

Em que P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue.

Encontre a velocidade média (em relação a r ) no intervalo 0 ≤ r ≤ R . Compare a velocidade média com a velocidade máxima.

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Passo 1

Esse exercício pode assustar um pouco. Mas na verdade ele é igual aos outros. Ele está pedindo a média de uma função, só que a diferença é que está contextualizado, ou seja, ao invés de ser uma função qualquer em função de x que ele inventou, é uma função que tem um significado físico.

Aquelas letras todas ali assustam, mas se você reparar, ele quer a média da função v em função de r no intervalo [ 0 , R ] . A variável da função é r e todas as outras letras são constantes. Olha só o que tenho que fazer:

V a l o r   m é d i o = 1 b - a   ∫ a b v r d r

V a l o r   m é d i o = 1 R - 0   ∫ 0 R P 2 ƞ l R 2 - r 2 d r

V a l o r   m é d i o = 1 R   P 2 ƞ l ∫ 0 R R 2 - r 2 d r

V a l o r   m é d i o = 1 R   P 2 ƞ l     R 2 r - r 3 3 R 0