Formas Quadráticas – Cônicas

Teoria Completa

Introdução

Fala, galera! Tudo bem? Hoje nós vamos continuar estudando as famosas cônicas. Porém agora de uma maneira um pouquinho diferente do que a gente está acostumado.

Antes de mais nada, vamos relembrar as equações das cônicas que já estudamos:

  • Elipse:
  • x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

    Se a = b temos uma circunferência.

  • Hipérbole:
  • x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

  • Parábola:
  • 4 p y - y 0 = x - x 0 2

    Qualquer dúvida volte na parte de “seções cônicas”.

    Beleza! Agora considere a seguinte equação:

    9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 + 30 x - 40 y = 5

    A princípio ela não se encaixa em nenhuma das cônicas que vimos. Mas e se eu te disser que essa equação é sim uma cônica???

    WTF!!

    CALMA, CALMA, NADA DE PÂNICO! Ela é uma cônica, porém está rotacionada e deslocada da origem.

    Vamos ver, a seguir, tudo que você precisa saber sobre esse assunto. Não se preocupe. Nós iremos com calma, passo a passo e você vai ver que não é tão complicado quanto parece.

    Representação Matricial:

    Como já dito, vimos basicamente 3 tipos de equações de cônicas. Mas na verdade, cônica é o conjunto dos pontos que satisfazem a equação:

    A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y = F

    Onde A , B , C não são todos nulos.

    Voltando ao exemplo incial, reparem que a equação:

    9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 + 30 x - 40 y = 5

    É uma cônica e que pode ser reescrita na forma matricial:

    x y   9 - 2 - 2 6   x y +   30 - 40   x y = 5

    Veja que ambas as expressões são equivalentes. Fazendo a multiplicação matricial temos:

    9 x - 2 y - 2 x + 6 y x y + 30 - 40   x y = 5

    9 x 2 - 2 y x - 2 x y + 6 y 2 + 30 x - 40 y = 5

    9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 + 30 x - 40 y = 5

    Portanto, quando você tiver uma equação assim, você pode reescrevê-la na forma matricial, da seguinte maneira:

    A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y = F → r e e s c r e v e n d o   x y   A C / 2 C / 2 B ⏟ Q   x y +   D E   x y = F

    E quando reescrevemos na forma matricial, aparece ali uma matriz Q que vai ser fundamental pro nosso desenvolvimento!!

    Essa matriz Q associada à cônica é simétrica e diagonalizável!!!! Isso significa que podemos escrevê-la em função de seus autovalores e autovetores. E é isso que nós precisamos pra fazer nossa contas!

    Cônicas Rotacionadas

    Bom, vamos voltar a equação na forma incial:

    9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 + 30 x - 40 y = 5

    Os termos quadráticos de x e y indicam que essa equação é de uma forma quadrática, mesmo nome lá do título. Isso quer dizer, essencialmente, que estamos trabalhando com cônicas no caso de só ter x e y na equação, ou quádricas no caso de ter x , y e z , que veremos em outro capítulo mais pra frente (não se preocupe com isso agora).

    Então, vamos falar das cônicas. Temos duas observações muito importantes:

  • Os termos lineares de x e y (ex: 30 x e - 40 y ) indicam que essa cônica está deslocada em relação à origem, ou seja, seu centro NÃO é o ponto (0;0) do plano cartesiano.
  • Os termos x y da equação indicam que ela está rotacionada, ou seja, os eixos de simetria da cônica NÃO são paralelos aos eixos x e y do plano cartesiano.

Como nossa cônica está rotacionada e com o centro fora da origem, nós temos que encontrar os eixos ( x ' e y ' ) nos quais a cônica está certinha. Olha só:

Tinhamos a equação de uma cônica qualquer da forma:

A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y = F

Reescrevemos ela na forma matricial:

x y   A C / 2 C / 2 B ⏟ Q   x y +   D E   x y = F

Para encontrar os eixos x ' e y ' , vamos reescrever a equação da cônica utilizando os autovalores e autovetores da matriz Q .

A equação deverá ficar assim:

x ' y ' λ 1 0 0 λ 2 x ' y ' + D E u 1 v 1 u 2 v 2 x ' y ' = F

Aonde D , E e F são os mesmos da equação geral que vimos ali em cima, e x ' e y ' são os eixos nos quais a cônica está.

Reparem que na equação acima, λ 1 e λ 2 são os autovalores da matriz Q . E os vetores u = ( u 1 , u 2 ) e v = v 1 , v 2 são os autovetores UNITÁRIOS associados a λ 1 e λ 2 , respectivamente! Ou seja, a disposição dos autovetores na matriz deve acompanhar a dos autovalores.

Só pra relembrar, pra achar o UNITÁRIO de um vetor, basta dividir as coordenadas do vetor pelo seu MÓDULO!!!

Então, resumindo:

Pra reescrever as equações “estranhas” de uma forma que nós saibamos dizer com qual cônica estamos tratando, devemos primeiro escrever a equação na forma matricial, pra identificarmos a matriz Q .

A x 2 + B y 2 + C x y + D x + E y = F → r e e s c r e v e n d o   x y   A C / 2 C / 2 B ⏟ Q   x y +   D E   x y = F

Feito isso, calculamos seus autovalores λ 1 e λ 2 e autovetores associados unitários u = ( u 1 , u 2 ) e v = v 1 , v 2 pra depois podermos reescrever a equação da seguinte forma:

x ' y ' λ 1 0 0 λ 2 x ' y ' + D E u 1 v 1 u 2 v 2 x ' y ' = F

Depois de reescrita, é só multiplicar as matrizes e pronto! Tá aí o que a gente queria!!!

Exemplo Completo

Vamos ver um exemplo disso, pro caso daquele exemplo lá do início:

9 x 2 - 4 x y + 6 y 2 + 30 x - 40 y = 5

  1. Escrevemos na forma matricial:
  2. x y   9 - 2 - 2 6 ⏟ Q   x y +   30 - 40   x y = 5

  3. Agora temos que encontrar os autovalores de Q .
  4. Bom, para encontrar os autovalores de uma matriz 2x2 fazemos o seguinte:

    Q = a 11 a 12 a 21 a 22

    Precisamos fazer:

    det ⁡ λ I - Q = 0

    Isso implica :

    λ - a 11 - a 12 - a 21 λ - a 22 = 0

    Montamos um polinômio característico e resolvemos. Os valores encontrados vão ser os autovalores. Vou mostrar:

    λ - a 11 λ - a 22 - - a 12 - a 21 = 0

    No caso, a nossa matriz é:

    Q = 9 - 2 - 2 6

    O polinômio característico vai ser:

    λ - 9 λ - 6 - - 2 - 2 = 0

    λ 2 - 15 λ + 54 - 4 = 0

    λ 2 - 15 λ + 50 = 0

    Resolvendo essa equação, achamos os autovalores de Q , que são λ 1 = 10 e λ 2 = 5

  5. Agora, temos de encontrar os autovetores unitários.
  6. Para uma matriz 2x2:

    Q = a 11 a 12 a 21 a 22

    Com autovalores λ 1 e λ 2 vamos encontrar autovetores associados a cada autovalor.

    Autovetor associado a λ 1 :

    Q - I λ 1 U → = 0

    Onde U → é um vetor qualquer com coordenadas:

    U → = ( x u , y u )

    A expressão matricial fica:

    a 11 - λ 1 a 12 a 21 a 22 - λ 1 x u y u = 0 0

    Fazendo a multiplicação matricial temos o seguinte sistema:

    a 11 - λ 1 x u + a 12 y u = 0

    a 21 x u + a 22 - λ 1 y u = 0

    Autovetor associado a λ 2 :

    Q - I λ 2 V → = 0

    Onde V → é um vetor qualquer com coordenadas:

    V → = ( x v , y v )

    A expressão matricial fica:

    a 11 - λ 2 a 12 a 21 a 22 - λ 2 x v y v = 0 0

    Fazendo a multiplicação matricial temos o seguinte sistema:

    a 11 - λ 2 x v + a 12 y v = 0

    a 21 x v + a 22 - λ 2 y v = 0

    Aplicando ao nosso exemplo:

    λ 1 = 10 ,   λ 2 = 5 , a 11 = 9 , a 12 = - 2 , a 21 = - 2 , a 22 = 6

  • Autovetor associado a λ 1 :
  • U → = ( x u , y u )

    Onde x v , y v obedecem a seguinte equação:

    9 - 10 x u - 2 y u = 0

    - 2 x u + 6 - 10 y u = 0

    Encontramos:

    x u = - 2 y u

    Portanto U → = x u , y u = ( - 2 y u   ,   y u )  

    Arbitrando um valor qualquer para y u , por exemplo y u = - 1 temos:

    U → = ( 2 , - 1 )

    Porém necessitamos do autovetor unitário. Fazemos então:

    u → = U → U → = 2 5 , - 1 5

  • Autovetor associado a λ 2 :

V → = ( x v , y v )