Derivada da Função Inversa

Resumo Completo

Podemos relacionar a derivada de uma função e da sua inversa da seguinte maneira:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Dessa forma, podemos obter a derivada de uma dada função se tivermos a derivada de sua inversa, e vice-versa.

Repare ali também que temos x na derivada da esquerda e y na da direita. Isso acontece, porque, a função é função de x e sua inversa de y .

Agora, temos um detalhe! Só podemos usar essa relação quando a função é invertível. Ora, e como saber se ela será invertível ou não? Para isso usamos o Teorema da Função Inversa, que diz:

Se f x é derivável e f ' x 0 então f x tem inversa.

Simples assim, basta garantir que a função nunca terá sua derivada nula e que essa derivada exista.

Assim, por exemplo, se

y = f x = x 5 + x

Quando vale f - 1 ' 2 =   ?

Para resolver essa derivada inversa vamos achar a derivada da função e usar o Teorema da Função inversa:

f ' x = 5 x 4 + 1

Como 5 x 4 é sempre maior ou igual a 0 , f ' x = 5 x 4 + 1 será sempre maior que 0 , o que garante que a função é inversível pelo Teorema da Função Inversa.

Quando y = 2 :

f x = 2 = x 5 + x x = 1

Agora, usamos a relação da derivada da inversa:

f ' x = 1 f - 1 ' y f ' 1 = 1 f - 1 ' 2 f - 1 ' 2 = 1 f ' 1

Então é só substituir os valores:

f - 1 ' 2 = 1 f ' 1 = 1 5 1 4 + 1 = 1 6

Teorema da Função Inversa Inconclusivo

O Teorema da Função Inversa nos diz que:

Se f x é derivável e f ' x 0 então f x tem inversa.

Detalhe que a recíproca dele é falsa, ou seja, dá pra ter f ' x = 0   e a função ser invertível!

Lá do pré-calculo, temos que para uma função ser invertível, ou seja, para ter uma função inversa, ela deve ser bijetora.

Puts, bijetora... que diabos é isso mesmo? Caso você tenha pensado isso, pode ficar tranquilo(a) que vou relembrar!

Funções Injetoras

Vamos começar falando das funções injetoras.

A definição é bem simples, basicamente uma função f é dita injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 x 2

Tivermos:

f x 1 f ( x 2 )

Ou seja, dois valores de x diferentes do domínio retornam valores de f x diferentes. Tranquilo?

Por exemplo, a função da figura abaixo é injetora:

Funções Sobrejetoras

Agora, funções sobrejetoras são aquelas onde a imagem é igual ao contradomínio. Cuidado pra não confundir os dois!

A não ser que o enunciado da questão explicite o contrário, o contradomínio das funções que vamos estudar é o R .

Ou seja, pra uma função ser sobrejetora a imagem dela precisa ser R , beleza?

Por exemplo, a função f x = x 2 não é sobrejetora, pois a imagem dela não inclui os números negativos.

Já a função f x = x + 3 é sobrejetora, porque a imagem dela é o próprio R .

Funções Bijetoras

As funções bijetoras simplesmente são aquelas que são injetoras e sobrejetoras. Só isso!

A função f x = x + 3 que eu citei agora a pouco, por exemplo, é uma função bijetora, assim como qualquer função do primeiro grau.

Voltando ao que interessa...

Repetindo o que eu disse lá atrás: se uma função é bijetora, então ela tem inversa. E isso vale sempre!

Geralmente é mais conveniente usar o Teorema da Função Inversa, mas quando ele falha é assim que vamos resolver a questão.

Exemplo 1: A função f x = 1 2 x 3 - 5 é invertível em todo o R ?

Passo 1: Tentar aplicar o Teorema da Função Inversa

Derivando:

f ' x = 3 2 x 2

Igualando a zero:

f ' x = 3 2 x 2 = 0

x = 0

Muita calma nessa hora! No ponto x = 0 deu ruim, mas isso NÃO garante que f seja invertível para todo x 0 .

Isso só nos garante que, se pegarmos algum intervalo que não tenha o 0 e seja um intervalo só, f é invertível.

Mo doidera ne? Mas é assim mesmo.

Passo 2: Determinar se função é bijetora

A função f é bem parecida com a função y = x 3 , cujo gráfico é:

Repare que essa função é bijetora. Ela é injetora, pois não temos dois valores de x diferentes que deem um mesmo valor de y , e ela é sobrejetora pois sua imagem é R .

Agora vejamos a função f . O gráfico dela é bem parecido, a diferença é que ele cresce mais devagar e é deslocado de 5 pra baixo:

Da mesma forma, podemos ver que ela é:

  • injetora, pois ela não para de crescer, então não vamos ter dois x diferentes com o mesmo valor de f x
  • sobrejetora, pois ela vai de - a + , ou seja, sua imagem é o R

Então f é bijetora sim! Logo, ela é invertível em todo o R . Isso resolve o nosso problema do ponto x = 0 onde o Teorema da Função Inversa não era válido.

Normalmente mostrar que é bijeção é um pouco complicado, mas com prático conseguirmos fazer isso =D

Agora vem comigo ver uns exercícios! :)

Boa, agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2015.1 – 3 ab - Modificada

Considere g a função inversa de f . Sejam f 2 = 3 , f ' 2 = 5 . Determine:

a Determine g 3 .

b Determine g ' 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da inversa.

Ora, se f 2 = 3 , sabemos que f - 1 3 = 2 . O cara nos disse que a inversa de f x é a função g x , que será igual, portanto, a f - 1 x . Assim:

g 3 = 2

Passo 2

b Se g é a inversa de f , nós temos que:

g ' x = 1 f ' g x

Queremos g ' quando x = 3 , portanto:

g ' 3 = 1 f ' g 3 = 1 f ' 2

Do enunciado, temos que f ' 2 = 5 :

g ' 3 = 1 f ' 2 = 1 5

Resposta

a   g 3 = 2

b   g ' 3 = 1 5

Exercício Resolvido #2

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2015.1 - 1 d

Ache g ' 1 , sendo g a inversa de f , e f x = x 5 + x 3 + 7 x + 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

A derivada da inversa de uma função é dada da seguinte maneira:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Se g é a inversa de f , teremos:

g ' x = 1 f ' g x

Como f 0 vale, pela função dada:

f 0 = 0 5 + 0 3 + 7 0 + 1 = 1

vemos que para sua inversa valerá que g 1 = 0 . Então, g ' x pode ser calculado da seguinte maneira:

g ' 1 = 1 f ' 0

Sendo o ponto coordenado x , y = 0,1 .

Passo 2

Vamos derivar f para achar o f ' 0 :

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 7 + 0

f ' 0 = 5 0 4 + 3 0 2 + 7

f ' 0 = 7

Assim,

g ' 1 = 1 f ' 0 = 1 7

Resposta

g ' 1 = 1 7

Exercício Resolvido #3

Enunciado

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.2 – 3

Seja f x = x 2 - 2 x para x < 1

a A função f é inversível?

b Determine uma expressão pra a função f - 1 , a inversa de f

c Calcule a derivada de f - 1 em y = 7

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Para sabermos se a função é inversível vamos usar o Teorema da Função Inversa.

É só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de 0

f ' x = 2 x - 2

E vamos ter que essa derivada só vai ser 0 em

2 x - 2 = 0

2 x = 2

x = 1

Como esse valor não está incluído no domínio (pois ele diz que x < 1 ) ela sempre vai ser diferente de 0 . Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

Passo 2

b Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o x com o y e achar o novo y , assim

Nos temos

y = x 2 - 2 x

Vamos isolar o x

Devemos fazer alguma coisa para chegar em x sozinho. Vamos fazer um negócio chamado completar quadrado. Concorda que:

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

certo? Então, se eu somar um de cada lado, fica assim:

y + 1 = x 2 - 2 x + 1

Vamos ter com isso

y + 1 = x - 1 2

x - 1 = ± y + 1

x = 1 ± y + 1

Como ele disse que x < 1 devemos ter esse cara com sinal de na raiz, já que a raiz gera um termo positivo e 1 - C , onde C é positivo, será menor que 1

x = 1 - y + 1

Essa é a nossa função inversa

f - 1 y = 1 - y + 1

Podemos mudar agora esse y por x na resposta final, só para deixar bonitinho com uma função inversa de x

f - 1 x = 1 - x + 1

Passo 3

c Vamos aplicar o teorema da função inversa

f ' x = 1 f - 1 ' y

Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de f x

f - 1 ' y = 1 f ' x

Ele quer f - 1 ' 7 isso nos diz que y = 7 vamos achar o valor de x para isso

y = x 2 - 2 x

7 = x 2 - 2 x

x 2 - 2 x - 7 = 0

Usamos Bhaskara:

x = - - 2 ± - 2 2 - 4 1 - 7 2.1 = 2 ± 4 + 28 2 = 2 ± 32 2 = 2 ± 4 2 2 = 1 ± 2 2

Como o valor de x < 1 , vamos ter x = 1 - 2 2

Passo 4

Agora que sabemos o valor de x podemos aplicar o teorema da função inversa

f - 1 ' y = 1 f ' x

Vamos ter

f - 1 ' 7 = 1 f ' 1 - 2 2

A derivada de 1 - 2 2 vai ser

f ' x = 2 x - 2

f ' 1 - 2 2 = 2 1 - 2 2 - 2 = 2 - 4 2 - 2 = - 4 2

f - 1 ' 7 = 1 - 4 2

Resposta

a   a   f u n ç ã o   é   i n v e r s í v e l

b   f - 1 x = 1 - x + 1

c   f - 1 ' 7 = 1 - 4 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFF - Cálculo IA - P2 Sérgio Almaraz 2014.2 – 2

Considere a função

f x = 1 + a x 3 s e   x 0 1 - x 2 - x 3 s e   x > 0

Onde a é uma constante.

a Mostre que f restrita a 0 , + possui uma inversa f - 1

b Determine f - 1 - 1

c Determine f - 1 ' - 1

d Determine um valor de a tal que f seja inversível em R

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Para sabermos se a função é inversível é só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de 0 . Para x > 0 , f x vale:

f x = 1 - x 2 - x 3

Nessa situação, a derivada vale:

f ' x = - 2 x - 3 x 2 = - x 2 + 3 x

Repara que a função tem derivada f ' x < 0 para todo x > 0 . Significa que ela é sempre decrescente nessa faixa do domínio. Com isso, ela sempre vai ser diferente de 0. Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

A função vai ser inversível para x 0 , + .

Passo 2

b Para determinar f - 1 - 1 temos que procurar quando a função f x valerá

f x = - 1

Isso pode acontecer em duas regiões: x > 0 e x 0

1 - x 2 - x 3 = - 1           ;           1 + a x 3 = - 1

Não faz muito sentido olhar para esse segundo caso se não conhecemos o valor de a . Então vamos focar em achar um x que gere:

1 - x 2 - x 3 = - 1

Na malandragem, eu fui usando alguns valores de x bons de mexer, como 0 ,   1   e 2 . Como a função é decrescente em toda essa região, como vimos na letra a , se acharmos um x que satisfaça esse será o único valor possível para solucionar a questão.

Por tentativa, descobriremos x = 1 :

1 - 1 2 - 1 3 = - 1         1 - 1 - 1 = - 1

- 1 = - 1 O k !

Logo,

f - 1 - 1 = 1

Passo 3

c Pelo derivada da Inversa, teremos:

f - 1 ' - 1 = 1 f ' 1

Derivamos f x , fica assim:

f ' x = - 2 x - 3 x 2

Usando x = 1 ficará:

f ' 1 = - 2 1 - 3 1 2 = - 2 - 3

= - 5

Logo,

f - 1 ' - 1 = 1 - 5 = - 1 5

Passo 4

d Para a função ser inversível para todo real, ela deve ser inversível nos seus dois domínios: para x 0 e para x > 0 . Já provamos na a que isso vale para x > 0 . Vamos olhar o outro domínio.

A função aqui é

f x = 1 + a x 3

Para que f x seja inversível em todo o domínio precisamos ter f ' x 0 . Nessa região a derivada é dada por:

f ' x = 3 a x 2

Rapaz, repara, posso chutar qualquer valor de a ali nesse cara, mas eu vou ter sempre essa derivada zerando em 0 . No resto domínio, ela manterá o mesmo sinal de a , sempre para x < 0 .

Agora, em x = 0 supondo algum valor de a que faça da função contínua, poderíamos fazer as derivadas laterais e igualá-las:

- x 2 + 3 x = 3 a x 2

Não importa o lado, em x = 0 ambas zeram.

Enfim, a conclusão é que nenhum a satisfaz isso!

Resposta

a   ( d e m o n s t r a ç ã o   n o   P a s s o   1 )

b   f - 1 - 1 = 1

c f - 1 ' - 1 = - 1 5

d   n e n h u m   v a l o r   d e   a

Exercício Resolvido #5

Enunciado

UFF - Cálculo IA - P2 Humberto 2014.2 – 2

Sejam f , g e h funções reais de classe C , com g uma função inversível e

f x = g - 1 x cosh h x

a Calcule f ' em termos de g , g - 1 , h , g ' e h ' . Justifique sua resposta.

b Calcule f ' 0 sabendo que g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 . Justifique sua resposta.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

Aqui vamos usar algumas regras de derivação, primeiro a regra do quociente

f ' x = g - 1 x ' . cosh h x - g - 1 x . cosh h x ' cosh h x 2

Precisamos achar essas derivadas

Passo 2

Vamos começar por

g - 1 x '

Bom, temos que sua derivada será dada por:

g ' y = 1 g - 1 x '

Se y = g - 1 x

Logo, teremos

g - 1 x ' = 1 g ' y

Passo 3

Vamos para

cosh h x '

Usamos a Regra da Cadeia para chegar nisso:

cosh h x ' = senh h x . h ' x

Passo 4

Recaptulando, temos

f ' x = g - 1 x ' . cosh h x - g - 1 x . cosh h x ' cosh h x 2

E acabamos de calcular

g - 1 x ' = 1 g ' y

cosh h x ' = senh h x . h ' x

Substituindo isso na equação que está ali no inicio desse passo

f ' x = 1 g ' g - 1 x . cosh h x - g - 1 x . senh h x . h ' x cosh h x 2

Passo 5

( b ) Ele quer a derivada em um ponto, no caso x = 0

Vamos pegar a fórmula que achamos no fim do passo 4 e trocar x por 0 .

f ' 0 = 1 g ' g - 1 0 . cosh h 0 - g - 1 0 . senh h 0 . h ' 0 cosh h 0 2

Usando os dados do enunciado, temos g 0 = 1 , g ' 0 = 2 , g 3 = 0 , g ' 3 = 5 , h 0 = 0 e h ' 0 = 7 .

Do g 3 = 0 , concluímos que g - 1 0 = 3 .

Temos também a situação que:

Sabemos também que

cosh 0 = e 0 + e - 0 2 = 1

senh 0 = e 0 - e - 0 2 = 0

Passo 6

Substituindo isso tudo, teremos:

f ' 0 = 1 g ' g - 1 0 . cosh 0 - g - 1 0 . senh h 0 . h ' 0 cosh h 0 2

= 1 g ' 3 . cosh 0 - g - 1 0 . senh 0 . 7 cosh 0 2

= 1 5 . 1 - 3 . 0 . 7 1 2

= 1 5

Resposta

( a )       f ' x = 1 g ' g - 1 x . cosh h x - g - 1 x . senh h x . h ' x cosh h x 2

b         f ' 0 = 1 5

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Seja a função

f x = 6 x 4 + 8 x 2 + 1

Determine o maior intervalo onde f é invertível.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

A primeira coisa é tentar aplicar o Teorema da Função Inversa. Pra isso vamos derivar a função:

f ' x = 24 x 3 + 16 x

Igualando a zero:

f ' x = 24 x 3 + 16 x = 0

x 24 x 2 + 16 = 0

Então temos x = 0 ou:

24 x 2 = - 16

O que é impossível!! Isso porque 24 x 2 0 .

Ok, então o único ponto onde deu problema foi x = 0 mesmo. Então garantimos que f x é invertível em - ,   0 ou em 0 ,   + .

Mas ele quer o maior intervalo possível, vamos ver se temos a função inversível no R

Passo 2

Agora resta testar se f é bijetora. Se for o caso, ela será invertível em todo o R .

Vamos dar uma olhada nessa função:

f x = 6 x 4 + 8 x 2 + 1

Hmm... Reparou alguma coisa?

Nenhum dos termos que aparece nessa função pode ser negativo! Temos que:

6 x 4 0

8 x 2 0

1 > 0

6 x 4 + 8 x 2 + 1 > 0

f x > 0

Opa! Isso significa que a imagem de f não inclui os números negativos (nem o zero, aliás), portanto f não é sobrejetora f não é bijetora em todo o R . Desta forma, considerando o intervalo 0 ,   + como sendo o domínio da função, percebemos que f é bijetora neste domínio.

Essa é uma possível resposta então, se preferir, pode falar que o maior intervalo é o de - ,   0 pois aqui também a função é Bijetora.

PORÉM CUIDADO! A resposta é um ou outro, você quem escolhe, mas não pode ser os dois ao mesmo tempo, heim!

Resposta

M a i o r   i n t e r v a l o :   0 ,   +

Outra resposta possível:

M a i o r   i n t e r v a l o :   - ,   0

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