Derivada da Função Inversa

Teoria Completa

Podemos relacionar a derivada de uma função e da sua inversa da seguinte maneira:

f ' x = 1 f - 1 ' ( y )

Dessa forma, podemos obter a derivada de uma dada função se tivermos a derivada de sua inversa, e vice-versa.

Repare ali também que temos x na derivada da esquerda e y na da direita. Isso acontece, porque, a função é função de x e sua inversa de y .

Agora, temos um detalhe! Só podemos usar essa relação quando a função é invertível. Ora, e como saber se ela será invertível ou não? Para isso usamos o Teorema da Função Inversa, que diz:

Se f x é derivável e f ' x ≠ 0 então f x tem inversa.

Simples assim, basta garantir que a função nunca terá sua derivada nula e que essa derivada exista.

Assim, por exemplo, se

y = f x = x 5 + x

Quando vale f - 1 ' 2 =   ?

Para resolver essa derivada inversa vamos achar a derivada da função e usar o Teorema da Função inversa:

f ' x = 5 x 4 + 1

Como 5 x 4 é sempre maior ou igual a 0 , f ' x = 5 x 4 + 1 será sempre maior que 0 , o que garante que a função é inversível pelo Teorema da Função Inversa.

Quando y = 2 :

f x = 2 = x 5 + x ⟹ x = 1

Agora, usamos a relação da derivada da inversa:

f ' x = 1 f - 1 ' y ⟹ f ' 1 = 1 f - 1 ' 2 ⟹ f - 1 ' 2 = 1 f ' 1

Então é só substituir os valores:

f - 1 ' 2 = 1 f ' 1 = 1 5 1 4 + 1 = 1 6

Teorema da Função Inversa Inconclusivo

O Teorema da Função Inversa nos diz que:

Se f x é derivável e f ' x ≠ 0 então f x tem inversa.

Detalhe que a recíproca dele é falsa, ou seja, dá pra ter f ' x = 0   e a função ser invertível!

Lá do pré-calculo, temos que para uma função ser invertível, ou seja, para ter uma função inversa, ela deve ser bijetora.

Puts, bijetora... que diabos é isso mesmo? Caso você tenha pensado isso, pode ficar tranquilo(a) que vou relembrar!

Funções Injetoras

Vamos começar falando das funções injetoras.

A definição é bem simples, basicamente uma função f é dita injetora se para dois pontos quaisquer pertencentes ao domínio de f : x 1 ≠ x 2

Tivermos:

f x 1 ≠ f ( x 2 )

Ou seja, dois valores de x diferentes do domínio retornam valores de f x diferentes. Tranquilo?

Por exemplo, a função da figura abaixo é injetora:

Funções Sobrejetoras

Agora, funções sobrejetoras são aquelas onde a imagem é igual ao contradomínio. Cuidado pra não confundir os dois!

A não ser que o enunciado da questão explicite o contrário, o contradomínio das funções que vamos estudar é o R .

Ou seja, pra uma função ser sobrejetora a imagem dela precisa ser R , beleza?

Por exemplo, a função f x = x 2 não é sobrejetora, pois a imagem dela não inclui os números negativos.

Já a função f x = x + 3 é sobrejetora, porque a imagem dela é o próprio R .

Funções Bijetoras

As funções bijetoras simplesmente são aquelas que são injetoras e sobrejetoras. Só isso!

A função f x = x + 3 que eu citei agora a pouco, por exemplo, é uma função bijetora, assim como qualquer função do primeiro grau.

Voltando ao que interessa...

Repetindo o que eu disse lá atrás: se uma função é bijetora, então ela tem inversa. E isso vale sempre!

Geralmente é mais conveniente usar o Teorema da Função Inversa, mas quando ele falha é assim que vamos resolver a questão.

Exemplo 1: A função f x = 1 2 x 3 - 5 é invertível em todo o R ?

Passo 1: Tentar aplicar o Teorema da Função Inversa

Derivando:

f ' x = 3 2 x 2

Igualando a zero:

f ' x = 3 2 x 2 = 0

⇒ x = 0

Muita calma nessa hora! No ponto x = 0 deu ruim, mas isso NÃO garante que f seja invertível para todo x ≠ 0 .

Isso só nos garante que, se pegarmos algum intervalo que não tenha o 0 e seja um intervalo só, f é invertível.

Mo doidera ne? Mas é assim mesmo.

Passo 2: Determinar se função é bijetora

A função f é bem parecida com a função y = x 3 , cujo gráfico é:

Repare que essa função é bijetora. Ela é injetora, pois não temos dois valores de x diferentes que deem um mesmo valor de y , e ela é sobrejetora pois sua imagem é R .

Agora vejamos a função f . O gráfico dela é bem parecido, a diferença é que ele cresce mais devagar e é deslocado de 5 pra baixo:

Da mesma forma, podemos ver que ela é:

  • injetora, pois ela não para de crescer, então não vamos ter dois x diferentes com o mesmo valor de f x
  • sobrejetora, pois ela vai de - ∞ a + ∞ , ou seja, sua imagem é o R

Então f é bijetora sim! Logo, ela é invertível em todo o R . Isso resolve o nosso problema do ponto x = 0 onde o Teorema da Função Inversa não era válido.

Normalmente mostrar que é bijeção é um pouco complicado, mas com prática conseguimos fazer isso =D

Agora vem comigo ver uns exercícios! :)

Boa, agora vamos aos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2015.1 – 3 ab - Modificada

Considere g a função inversa de f . Sejam f 2 = 3 , f ' 2 = 5 . Determine:

a Determine g 3 .

b Determine g ' 3 .

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Passo 1

a Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da inversa.

Ora, se f 2 = 3 , sabemos que f - 1 3 = 2 . O cara nos disse que a inversa de f x é a função g x , que será igual, portanto, a f - 1 x . Assim:

g 3 = 2

Passo 2

b Se g é a inversa de f , nós temos que:

g ' x = 1 f ' g x

Queremos g ' quando x = 3 , portanto:

g ' 3 = 1 f ' g 3 = 1 f ' 2

Do enunciado, temos que f ' 2 = 5 :

g ' 3 = 1 f ' 2 = 1 5

Resposta

a   g 3 = 2

b   g ' 3 = 1 5

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo B - P4 2015.1 - 1 d

Ache g ' 1 , sendo g a inversa de f , e f x = x 5 + x 3 + 7 x + 1 .

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Passo 1

Ele não perguntou sobre a existência da inversa, então vamos focar só na fórmula da derivada inversa.

A derivada da inversa de uma função é dada da seguinte maneira:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Se g é a inversa de f , teremos:

g ' x = 1 f ' g x

Como f 0 vale, pela função dada:

f 0 = 0 5 + 0 3 + 7 0 + 1 = 1

vemos que para sua inversa valerá que g 1 = 0 . Então, g ' x pode ser calculado da seguinte maneira:

g ' 1 = 1 f ' 0

Sendo o ponto coordenado x , y = 0,1 .

Passo 2

Vamos derivar f para achar o f ' 0 :

f ' x = 5 x 4 + 3 x 2 + 7 + 0

f ' 0 = 5 0 4 + 3 0 2 + 7

f ' 0 = 7

Assim,

g ' 1 = 1 f ' 0 = 1 7

Resposta

g ' 1 = 1 7

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo B - P2 2013.2 – 3

Seja f x = x 2 - 2 x para x < 1

a A função f é inversível?

b Determine uma expressão pra a função f - 1 , a inversa de f

c Calcule a derivada de f - 1 em y = 7

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Passo 1

a Para sabermos se a função é inversível vamos usar o Teorema da Função Inversa.

É só ver se a sua derivada vai ser sempre diferente de 0

f ' x = 2 x - 2

E vamos ter que essa derivada só vai ser 0 em

2 x - 2 = 0

2 x = 2

x = 1

Como esse valor não está incluído no domínio (pois ele diz que x < 1 ) ela sempre vai ser diferente de 0 . Portanto pelo teorema da função inversa ela é inversível.

Passo 2

b Para descobrirmos essa expressão devemos trocar o x com o y e achar o novo y , assim

Nos temos

y = x 2 - 2 x

Vamos isolar o x

Devemos fazer alguma coisa para chegar em x sozinho. Vamos fazer um negócio chamado completar quadrado. Concorda que:

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

certo? Então, se eu somar um de cada lado, fica assim:

y + 1 = x 2 - 2 x + 1

Vamos ter com isso

y + 1 = x - 1 2

x - 1 = ± y + 1

x = 1 ± y + 1

Como ele disse que x < 1 devemos ter esse cara com sinal de na raiz, já que a raiz gera um termo positivo e 1 - C , onde C é positivo, será menor que 1

x = 1 - y + 1

Essa é a nossa função inversa

f - 1 y = 1 - y + 1

Podemos mudar agora esse y por x na resposta final, só para deixar bonitinho com uma função inversa de x

f - 1 x = 1 - x + 1

Passo 3

c Vamos aplicar o teorema da função inversa

f ' x = 1 f - 1 ' y

Vamos trocar isso aí porque ele quer a derivada da inversa e temos a derivada de f x

f - 1 ' y = 1 f ' x